Zeitentwicklung in der Quantenmechanik

Wir müssen den Operator berücksichtigen, der nicht explizit zeitabhängig ist.

$\frac{\partial A}{\partial t} = 0$

Wenden wir die Kommutatorformel rekursiv an:

$\frac{d^2 A}{d t^2} = \left(\frac{i}{\hbar}\right)^2[H,[H,A]]$

$\frac{d^3 A}{d t^3} = \left(\frac{i}{\hbar}\right)^3[H,[H,[H,A]]]$

usw

Dann kombinieren wir diese Ableitungen in einer Reihe für$A(t)$

$A(t)=A(0)+\frac{d A}{d t}t+\frac{1}{2!}\frac{d^2 A}{d t^2}t^2+\frac{1}{3!}\frac{d^3 A}{d t^3}t^3+...$

$A(t)=A(0)+\frac{i}{\hbar}[H,A]t+\frac{1}{2!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2[H,[H,A]]t^2+\frac{1}{3!}\left(\frac{i}{\hbar}\right)^3[H,[H,[H,A]]]t^3+...$

Und dann kommt man mit dieser Formel zum Ergebnis:

$e^XYe^{-X} = Y+\frac{1}{1!}[X,Y]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+...$