Erwartungswert der zeitlichen Ableitung des Operators gegenüber der zeitlichen Ableitung nach dem Operator

Problem 3.18 in Griffiths' Introduction to Quantum Mechanics (3. Aufl.) fordert die Anwendung des verallgemeinerten Ehrenfest-Theorems auf Operatoren wie den Hamilton-Operator und den Impulsoperator. Der Zweck der Übung besteht darin, klassische Formeln aus den Gleichungen hervortreten zu lassen. Die allgemeine Form lautet:

$$\frac{d\langle Q\rangle}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat Q] + \left< \frac{\partial Q}{\partial t}\right>.$$ Als ich dies nun auf den Hamilton-Operator in einem stationären Potential anwandte, sagte mir meine Intuition, dass es werden müsste:

$$\frac{d\langle H\rangle}{dt} = 0,$$

weil dies auf die Energieerhaltung zu verweisen scheint. In ähnlicher Weise sollten wir für den Impuls erhalten:

$$m\langle a\rangle=\left<-\frac{\partial V}{\partial x}\right>,$$

von dem ich weiß, dass es dem 2. Gesetz von Newton in Bezug auf das Potenzial einer konservativen Kraft ähnelt. Das Problem, das mir bei der Lösung dieser Probleme klar wurde, war, dass dies nicht offensichtlich war$\langle \partial \hat H/\partial t\rangle=0$oder$\langle \partial \hat p/\partial t\rangle=0$: insbesondere, da lineare Operatoren (scheinbar) immer multiplikativ wirken, habe ich interpretiert$\langle \partial \hat p/\partial t\rangle$folgendermaßen:

$$\begin{align} \left<\frac{\partial \hat p}{\partial t}\right>&=\left<\Psi(x,t)\mid\frac{\partial \hat p}{\partial t}\Psi(x,t)\right>\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}\overline{\Psi(x,t)}\left(\frac{\partial \hat p}{\partial t}\right)\Psi(x,t)dx\\&=\int^{+\infty}_{-\infty}\overline{\Psi(x,t)}\frac{\partial}{\partial t}\Big(\hat p\:\Psi(x,t)\Big)dx \end{align}$$

Ich bin eindeutig nicht der einzige, der Probleme hat, diese Ableitung zu interpretieren, und bis zu diesem Punkt denke ich, dass meine Sorgen in den verlinkten Threads beantwortet wurden (wir sollten so tun, als ob die Ableitung uns dazu zwingt, sie anzusehen$\hat Q$als ob es eine Funktion wäre, die explizit von der Zeit abhängen und den Operator selbst als solchen ableiten könnte).

Ich habe mich jedoch gefragt: Was ist, wenn ich "den erwarteten Wert des zutreffenden Operators ausdrücken möchte$\partial/\partial t$nach Bewerbung$\hat Q$"? Die im verallgemeinerten Ehrenfest-Theorem verwendete Notation sollte nicht als solche interpretiert werden, daher ist die einzige andere Möglichkeit, dies auszudrücken, das Schreiben

$$\left<\frac{\partial}{\partial t}\hat Q\right>.$$ Ist das richtig? Warum gilt die multiplikative Notation von Operatoren nicht in diesem Satz, aber überall sonst (soweit ich weiß, nachdem ich 130 Seiten gelesen habe)?