Was ist der Unterschied zwischen impliziter, expliziter und totaler Zeitabhängigkeit, zB ∂ρ∂t∂ρ∂t\frac{\partial \rho}{\partial t} und dρdtdρdt\frac{d \rho} {dt}?

Ich erkläre es meistens so:

$$\rho = \rho(t,x(t),p(t))$$ $$\frac{\partial\rho}{\partial t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\rho(t+\Delta t,x(t),p(t))-\rho(t,x(t),p(t))}{\Delta t}$$ $$\frac{d\rho}{d t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\rho(t+\Delta t,x(t+\Delta t),p(t+\Delta t))-\rho(t,x(t),p(t))}{\Delta t}$$

Sie fragen im Wesentlichen nach der materiellen Ableitung, wenn Sie eine Gesamtableitung in Bezug auf die Zeit diskutieren.

Nehmen wir an, Sie betrachten die Luftgeschwindigkeit in Ihrem Raum. Es gibt überall eine andere Geschwindigkeit, und sie ändert sich mit der Zeit, also

$$v = v(x,y,z,t)$$

Wenn Sie ein Derivat wie nehmen

$$\frac{\partial v}{\partial t}$$

Sie sagen: "Ich werde die Windgeschwindigkeit an genau derselben Stelle in meinem Zimmer abtasten und feststellen, wie schnell sich diese Geschwindigkeit ändert."

Wenn Sie andererseits nehmen

$$\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}$$

Sie sagen jetzt: "Verfolgen Sie weiterhin ein bestimmtes kleines Stück Luft und sehen Sie, wie schnell sich seine Geschwindigkeit ändert (dh finden Sie seine Beschleunigung)."

(Anmerkung: Marek hat den Unterschied zwischen diesen beiden Verwendungen von gut klargestellt$t$in den Kommentaren zu dieser Antwort.)

Sie sind durch die Kettenregel miteinander verbunden

$$\frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t} + \frac{\partial v}{\partial y}\frac{ \textrm{d}y}{\textrm{d}t} + \frac{\partial v}{\partial z}\frac{\textrm{d}z}{\textrm{d}t}$$

Das besagt, wenn Sie sich ein bestimmtes kleines Luftteilchen ansehen, ändert sich seine Geschwindigkeit teilweise, weil sich das gesamte Geschwindigkeitsfeld ändert. Aber selbst wenn sich das gesamte Geschwindigkeitsfeld nicht ändern würde, würde sich die Geschwindigkeit des Teilchens dennoch ändern, weil es sich zu einer neuen Stelle bewegt, und die Geschwindigkeit an dieser Stelle auch anders ist.

Nehmen wir als weiteres Beispiel an, dass eine Ameise über einen Hügel kriecht. Es hat eine Höhe, die eine Funktion der zweidimensionalen Position ist

$$h = h(x,y)$$

Wenn wir uns anschauen$\partial h/\partial x$, wir betrachten die Steigung in x-Richtung. Sie finden es, indem Sie sich ein wenig in x-Richtung bewegen, während y gleich bleibt, die Änderung in z finden und durch die Entfernung dividieren, die Sie bewegt haben.

Da wir andererseits die Ameise verfolgen, möchten wir vielleicht wissen, wie stark sich ihre Höhe ändert, wenn sie sich ein wenig in x-Richtung bewegt. Aber die Ameise bewegt sich auf ihrem eigenen verschlungenen Pfad, und wenn sie sich in x-Richtung bewegt, ändert sie am Ende auch ihre y-Koordinate.

Die Gesamtänderung in der Höhe der Ameise ist die Änderung ihrer Höhe aufgrund der Bewegung in x-Richtung plus der Änderung aufgrund der Bewegung in y-Richtung. Die Strecke, die sich die Ameise in y-Richtung bewegt, hängt wiederum von der Bewegung in x-Richtung ab. Jetzt haben wir also

$$\frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x} = \frac{\partial h}{\partial x} + \frac{\partial h}{\partial y}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$$

Auf der rechten Seite dieser Gleichung entspricht der erste Term der Höhenänderung aufgrund der Bewegung in x-Richtung. Der zweite Term ist die Höhenänderung durch Bewegung in y-Richtung. Der erste Teil davon,$\partial h/\partial y$ist die Höhenänderung aufgrund der Änderung von y, während der zweite Teil$\textrm{d}y/\textrm{d}x$beschreibt, wie viel y selbst sich tatsächlich ändert, wenn Sie x ändern, und hängt von den Einzelheiten der Bewegung der Ameise ab.

Bearbeiten Ich sehe jetzt, dass Sie sich speziell mit der Quantenmechanik-Gleichung befassen

$$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\langle A \rangle = -\frac{\imath}{\hbar}\langle[A,H]\rangle + \langle \partial A/\partial t \rangle$$

Hier,$\langle \partial A/\partial t\rangle$der Erwartungswert der partiellen Ableitung des Operators ist$A$in Bezug auf die Zeit. Zum Beispiel, wenn$A$der Hamiltonoperator für ein Teilchen in einem zeitabhängigen elektrischen Feld ist, würde dieser Operator die Zeit explizit enthalten. Wir beginnen mit der formalen Differenzierung des Operators selbst und nehmen dann den Erwartungswert.

Auf der anderen Seite$\langle A \rangle$ist einfach eine reellwertige Funktion der Zeit (wenn$A$ist hermitesch), also$\textrm{d} \langle A \rangle / \textrm{d} t$ist die übliche Ableitung einer reellen Funktion einer einzelnen Variablen.

Vielleicht lässt sich eine intuitive Antwort am besten in Bezug auf die klassische Physik geben. Angenommen, Sie betrachten die Bewegung eines klassischen Teilchens. Die relevanten Variablen sind hier Ort und Impuls. Wenn Sie die Bewegung Ihres Systems lösen, werden Ihnen Funktionen präsentiert$x(t)$und$p(t)$.

Nun, es gibt viele abgeleitete Größen, die Sie aus diesen Trajektorien erstellen können. Zum Beispiel Drehimpuls$\vec{L} = \vec{x} \times \vec{p}$. Seit$x$und$p$abhängig von der Zeit,$L$hängt auch von der Zeit ab, aber in diesem Fall nur weil$x$und$p$von der Zeit abhängen. Sie haben im Grunde eine Funktion$L = L(x,p)$was dann wird$L(x(t), p(t))$. Dies liegt daran, dass in der Definition von$L$, die Zeit spielt keine Rolle. Daher sagen wir, dass diese Größe nur eine implizite Zeitabhängigkeit hat. Im Speziellen,$\frac{\partial L}{\partial t} = 0$.

Wenn jedoch Ihre abgeleitete Menge$f$ist aus irgendeinem Grund so definiert, dass die Zeit dann explizit in der Definition vorkommt$\frac{\partial f}{\partial t} \not= 0$. Beispielsweise möchten Sie Ihrer Größe einen zeitabhängigen Phasenfaktor hinzufügen, z$f = \vec{x} \cdot \vec{p} \cdot e^{i\omega t}$. Dann haben wir$f = f(x,p,t) = f(x(t), p(t), t)$, und nun$\frac{\partial f}{\partial t}$ist nicht null.