Wann ist die Gesamtzeitableitung des Hamiltonoperators gleich seiner Teilzeitableitung?

Das behaupte ich

Die partiellen und totalen Zeitableitungen des Hamilton-Operators sind immer dann gleich, wenn der Hamilton-Operator anhand einer Lösung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ausgewertet wird.

Der Einfachheit halber beschränken wir die Diskussion auf Systeme mit einem zweidimensionalen Phasenraum$\mathcal P$mit verallgemeinerten Koordinaten$(q,p)$.

Es ist wichtig zu beachten, was die Gesamtzeitableitung und die Teilzeitableitung in diesem Zusammenhang bedeuten. Erinnern Sie sich insbesondere daran, dass der Hamilton-Operator eine Funktion ist, die ein Paar abbildet, das aus einem Punkt besteht$(q,p)$im Phasenraum und einem Punkt$t$in der Zeit zu einer reellen Zahl$H(q,p,t)$. Wenn wir sagen, dass wir die partielle zeitliche Ableitung von nehmen$H$, wir meinen, dass wir eine Ableitung in Bezug auf sein letztes Argument (in meiner Notation) nehmen. Wenn wir sagen, dass wir eine Gesamtzeitableitung nehmen, denken wir daran, die Phasenraumargumente des Hamilton-Operators auf einem parametrisierten Pfad auszuwerten$(q(t), p(t))$im Phasenraum, dann Ableitung bzgl$t$des resultierenden Ausdrucks, so;

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\Big(H(q(t), p(t), t)\Big) \end{align}$$ Wenn wir die Kettenregel anwenden, stellen wir fest, dass diese Gesamtzeitableitung mit der Teilzeitableitung von in Beziehung gesetzt werden kann $H$folgendermaßen: $$\begin{align} \frac{d}{dt}\Big(H(q(t), p(t), t)\Big) = \frac{\partial H}{\partial q}(q(t), p(t), t) \dot q(t) + \frac{\partial H}{\partial p}(q(t), p(t), t) \dot p(t) + \frac{\partial H}{\partial t}(q(t), p(t), t) \end{align}$$ Ich habe hier absichtlich keine abgekürzte Schreibweise verwendet, um deutlich zu machen, was genau vor sich geht, damit es keine Verwirrung gibt. Zum Beispiel der Ausdruck $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial q}(q(t), p(t), t) \end{align}$$ bedeutet, dass wir die partielle Ableitung von nehmen $H$in Bezug auf sein erstes Argument (das ich bezeichnet habe $q$), dann werte ich die resultierende Funktion weiter aus $(q(t), p(t), t)$. Nun stellt sich die Frage, wann sind die totalen und partiellen Zeitableitungen gleich? Nun, die Beziehung zwischen ihnen, die wir oben hergeleitet haben, zeigt, dass dies genau dann passiert, wenn die anderen Dinge in der Gleichung verschwinden; $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial q}(q(t), p(t), t) \dot q(t) + \frac{\partial H}{\partial p}(q(t), p(t), t) \dot p(t)=0 \end{align}$$ Beachten Sie nun, dass diese Gleichung definitiv nicht für einen allgemeinen Pfad gilt $(q(t), p(t))$im Phasenraum. Ich überlasse es Ihnen, ein einfaches Gegenbeispiel zu finden. Für welche Pfade gilt diese Beziehung also? Beachten Sie, dass diese Beziehung erfüllt ist, vorausgesetzt, dass der Pfad die Hamilton-Gleichungen erfüllt; $$\begin{align} \dot q(t) &= \frac{\partial H}{\partial p}(q(t), p(t), t) \\ \dot p(t) &= -\frac{\partial H}{\partial q}(q(t), p(t), t) \end{align}$$ Mit anderen Worten, wir haben die Behauptung demonstriert, mit der ich begonnen habe.