Vollzeitableitung, Poisson-Klammern und Hamilton-Gleichungen (klassische Mechanik)

Question

Vollzeitableitung, Poisson-Klammern und Hamilton-Gleichungen (klassische Mechanik)

Zeit
Physik
Differenzierung
Poisson-Klammern
klassische Mechanik
Hamiltonscher Formalismus

Janek_Kozicki

Während des Studiums der Poissonschen Klammern in der klassischen Mechanik und der Ableitung von $\dot{q_j}=\{q_j,H\}$ Und $\dot{p_j}=\{p_j,H\}$ In Form von Hamiltons Gleichungen bin ich auf eine Surpsing-Identität gestoßen, was mich zu der Annahme veranlasste, dass ich bei der Vollzeitableitung vielleicht etwas falsch gemacht habe, was wie folgt lautet:

\frac{D F (Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{N}, P_{1}, P_{2}, \dots, P_{N}, T)}{D T} = \sum_{J = 1}^{N} (\frac{\partial F}{\partial Q_{J}} \underset{= \dot{Q_{J}} = \frac{\partial H}{\partial P_{J}}}{\underset{⏟}{\frac{\partial Q_{J}}{\partial T}}} + \frac{\partial F}{\partial P_{J}} \underset{= \dot{P_{J}} = - \frac{\partial H}{\partial Q_{J}}}{\underset{⏟}{\frac{\partial P_{J}}{\partial T}}}) + \frac{\partial F}{\partial T} = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial T}

$\frac{d\,f(q_1,q_2,\dots,q_N,p_1,p_2,\dots,p_N,t)}{dt}=\sum_{j=1}^{N}\left( \frac{\partial f}{\partial q_j} \underbrace{\frac{\partial q_j}{\partial t}}_{=\dot{q_j}=\frac{\partial H}{\partial p_j}}+ \frac{\partial f}{\partial p_j} \underbrace{\frac{\partial p_j}{\partial t}}_{=\dot{p_j}=-\frac{\partial H}{\partial q_j}} \right)+\frac{\partial f}{\partial t} =\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}$

Wenn ich nun zB function verwende $f$ als $q_k$ , indem er sagt: $f(q_1,q_2,\dots,q_N,p_1,p_2,\dots,p_N,t)=q_k$ dann bekomme ich folgendes:

\frac{D Q_{k}}{D T} = \sum_{J = 1}^{N} (\underset{= δ_{k J}}{\underset{⏟}{\frac{\partial Q_{k}}{\partial Q_{J}}}} \frac{\partial H}{\partial P_{J}} - \underset{= 0}{\underset{⏟}{\frac{\partial Q_{k}}{\partial P_{J}}}} \frac{\partial H}{\partial Q_{J}}) + \frac{\partial Q_{k}}{\partial T} = {Q_{k}, H} + \frac{\partial Q_{k}}{\partial T} = \underset{= \dot{Q_{k}}}{\underset{⏟}{\frac{\partial H}{\partial P_{k}}}} + \underset{\overset{?}{=} \dot{Q_{k}}}{\underset{⏟}{\frac{\partial Q_{k}}{\partial T}}} \overset{?}{=} 2 \dot{Q_{k}}

$\frac{dq_k}{dt}=\sum_{j=1}^{N}\left( \underbrace{\frac{\partial q_k}{\partial q_j}}_{=\delta_{kj}} \frac{\partial H}{\partial p_j}- \underbrace{\frac{\partial q_k}{\partial p_j}}_{=0} \frac{\partial H}{\partial q_j} \right)+\frac{\partial q_k}{\partial t} =\{q_k,H\}+\frac{\partial q_k}{\partial t} = \underbrace{\frac{\partial H}{\partial p_k}}_{=\dot{q_k}} + \underbrace{\frac{\partial q_k}{\partial t}}_{\stackrel{?}{=}\dot{q_k}}\stackrel{?}{=}2\dot{q_k}$

Wenn ich die durchstreiche $\frac{\partial q_k}{\partial t}$ auf beiden Seiten der Gleichung $\{q_k,H\}+\frac{\partial q_k}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial p_k}+\frac{\partial q_k}{\partial t}$ dann stelle ich die Hamilton-Gleichung wieder her $\dot{q_k}=\{q_k,H\}$ . Aber wenn ich das nicht tue, und weitermachen mit dem $2\dot{q_k}$ das erscheint am Ende bekomme ich diese sehr überraschende Identität:

\frac{D Q_{k}}{D T} \overset{?}{=} 2 \dot{Q_{k}}

$\frac{dq_k}{dt}\stackrel{?}{=}2\dot{q_k}$

oder anders geschrieben:

\frac{D Q_{k}}{D T} \overset{?}{=} 2 \frac{\partial Q_{k}}{\partial T}

$\frac{dq_k}{dt}\stackrel{?}{=}2\frac{\partial q_k}{\partial t}$

Meine Frage ist folgende: ist das wirklich wahr? Wenn nicht, was habe ich falsch gemacht? Wenn ja, warum wird es dann nirgendwo in den Lehrbüchern erwähnt - wäre das nicht eine andere Möglichkeit, das zu finden? $\dot{q_k}$ ?

Hinweis: Die Ableitung geht genauso für $\dot{p_k}$ .

EDIT : Dank deiner Antworten habe ich jetzt die falschen Gleichheiten mit markiert $\stackrel{?}{=}$ da ich es hasse, falsche Mathematik getippt zu sehen. Aber ich wollte diese Frage trotzdem so bewahren, wie sie ursprünglich geschrieben wurde. Auch in der ersten Gleichung die Vollzeitableitung für $\dot{q_j}$ Und $\dot{p_j}$ sollte so verwendet werden:

\frac{D F}{D T} = \sum_{J = 1}^{N} (\frac{\partial F}{\partial Q_{J}} \underset{= \dot{Q_{J}} = \frac{\partial H}{\partial P_{J}}}{\underset{⏟}{\frac{D Q_{J}}{D T}}} + \frac{\partial F}{\partial P_{J}} \underset{= \dot{P_{J}} = - \frac{\partial H}{\partial Q_{J}}}{\underset{⏟}{\frac{D P_{J}}{D T}}}) + \frac{\partial F}{\partial T}

$\frac{df}{dt}=\sum_{j=1}^{N}\left( \frac{\partial f}{\partial q_j} \underbrace{\frac{d q_j}{d t}}_{=\dot{q_j}=\frac{\partial H}{\partial p_j}}+ \frac{\partial f}{\partial p_j} \underbrace{\frac{d p_j}{d t}}_{=\dot{p_j}=-\frac{\partial H}{\partial q_j}} \right)+\frac{\partial f}{\partial t}$

AccidentalFourierTransform

Weil

\frac{\partial q_{k}}{\partial t} = 0 \neq {\dot{q}}_{k}

$\frac{\partial q_k}{\partial t}=0\neq \dot q_k$ .

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/9122/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (1)

Vollzeitableitung, Poisson-Klammern und Hamilton-Gleichungen (klassische Mechanik)

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/9122/2451 und darin enthaltene Links.

SuperCiocia · Answer 1

Das Problem ist, dass Sie zu viele Dinge gleichsetzen $\dot{q_k}$ .

Normalerweise $\dot{q_k} = \frac{dq_k}{dt}$ , eine totale Ableitung, im Gegensatz zu einer partiellen Ableitung.

Wenn $q_k$ hat keine explizite Zeitabhängigkeit , dh es hängt nicht direkt von ab $t$ sich dann $\frac{\partial q_k}{\partial t} = 0.$

In diesem Fall reduziert sich die Poisson-Klammer auf: $\frac{dq_k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}$ , jetzt kann man also sagen $\dot{q_k} = \frac{\partial H}{\partial p_k}$ .

Wenn Sie jetzt Ihre betrachten $q_k$ eine Zeitabhängigkeit haben, so $q_k(t)$ , die Poisson-Klammer wird, wie Sie darauf hingewiesen haben: $\frac{dq_k}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_k}+\frac{\partial q_k}{\partial t}$ , So $\dot{q_k} =\frac{\partial H}{\partial p_k} +\frac{\partial q_k}{\partial t}$ .

ERGÄNZUNG nach Diskussion in den Kommentaren:

$\frac{d}{dt}f$ ist eine totale Ableitung nach der Zeit, d. h. sie nimmt ALLE Zeitabhängigkeiten von auf $f(t, x(t), y(t), z(t))$ . Gemeinsam anrufen $x,y,z$ als $\{x_i\}$ .

Unter Verwendung der Kettenregel

\frac{D}{D T} = \frac{\partial}{\partial X_{ich}} \frac{\partial X_{ich}}{\partial T} = \frac{\partial}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial T} + \frac{\partial}{\partial j} \frac{\partial j}{\partial T} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial T} + \frac{\partial}{\partial T} \underset{1}{\underset{⏟}{\frac{\partial T}{\partial T}}} = u \cdot \nabla + \frac{\partial}{\partial T} .

$\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\frac{\partial t}{\partial t}}_1 = \mathbf{u}\cdot\mathbf{\nabla}+\frac{\partial}{\partial t}.$

In der Hamiltonschen Mechanik parametrisiert man eine Funktion hinsichtlich ihrer Positionen $\{q_i\}$ und seine Impulse $\{p_i\}$ . Grundsätzlich die $\{x_i\}$ von früher sind jetzt $\{q_i, p_i\}$ .

\frac{D F}{D T} = \frac{\partial F}{\partial X_{ich}} \frac{\partial X_{ich}}{\partial T} = \frac{\partial F}{\partial Q_{ich}} \frac{\partial Q_{ich}}{\partial T} + \frac{\partial F}{\partial P_{ich}} \frac{\partial P_{ich}}{\partial T} + \frac{\partial F}{\partial T} .

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial t}.$

Die Definition der Poisson-Klammer lautet:

{F, H} = (\frac{\partial F}{\partial Q_{ich}} \frac{\partial H}{\partial P_{ich}} - \frac{\partial F}{\partial P_{ich}} \frac{\partial H}{\partial Q_{ich}}) .

$\{f,H\}=\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right).$

Einsetzen der Hamilton-Gleichungen:

{F, H} = (\frac{\partial F}{\partial Q_{ich}} \frac{D Q_{ich}}{D T} + \frac{\partial F}{\partial P_{ich}} \frac{D P_{ich}}{D T}),

$\{f,H\}=\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{dq_i}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{dp_i}{dt} \right),$ Wenn

q_{i}

$q_i$ Und

p_{i}

$p_i$ sind die fundamentalen Variablen, also sind sie keine Funktionen von

x, y, z

$x, y, z$ aber nur zeit. Dies bedeutet, dass, wenn man die Formel von vorher anwendet,

\frac{\partial q_{i}}{\partial t} = \frac{d q_{i}}{d t}

$\frac{\partial q_i}{\partial t} = \frac{dq_i}{dt}$ , So:

{F, H} = (\frac{\partial F}{\partial Q_{ich}} \frac{\partial Q_{ich}}{\partial T} + \frac{\partial F}{\partial P_{ich}} \frac{\partial P_{ich}}{\partial T}) .

$\{f,H\}=\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t} \right).$

Wie du sehen kannst $\frac{\partial f}{\partial t}$ geht nicht in die Definition ein.

Abschließend,

\frac{D F}{D T} = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial T} .

$\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}.$

PS Ich habe Einsteins Summationskonvention verwendet: Wiederholte Indizes implizieren Summation.

\frac{\partial F}{\partial P_{ich}} \frac{\partial P_{ich}}{\partial T} = \sum_{ich = 1}^{N} \frac{\partial F}{\partial P_{ich}} \frac{\partial P_{ich}}{\partial T} .

$\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t} = \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t}.$

Vielen Dank, aber in diesem Fall wird die Lehrbuchdefinition der Poisson-Klammer problematisch, da sie verwendet wird $\frac{\partial q_j}{\partial t}$ und es wird null. ich meine das $\{f,H\}=\sum_{j=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_j}\underbrace{\frac{\partial q_j}{\partial t}}_{=0}+\frac{\partial f}{\partial p_j}\underbrace{\frac{\partial p_j}{\partial t}}_{=0} \right)$ . Oder wir haben hier drei verschiedene Arten von Derivaten, und davon wusste ich einfach nichts? Oh, Moment mal
Oh warte, vielleicht ist es richtig, wenn ich es so schreibe: $\{f,H\}=\sum_{j=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial q_j}\frac{dq_j}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{dp_j}{dt} \right)$ ?
Lassen Sie mich etwas zu meiner Frage hinzufügen, mal sehen, ob das mehr Ihrer Fragen beantwortet.
Habe ich recht, dass entscheidend für das Verständnis dieses Problems die Zeitabhängigkeit ist: beim Einstecken der Hamilton-Gleichungen $q_i(t)$ hängt nur von einer Variablen innerhalb der Poisson-Klammer ab: $\frac{dq(t)_i}{dt}=\frac{\partial q(t)_i}{\partial t}$ , während in einer anderen Situation $\frac{\partial q(NOT\,t)_i}{\partial t}=\frac{\partial q()_i}{\partial t}=0$ bei Verwendung der Funktion $f(q_1,q_2,\dots,q_N,p_1,p_2,\dots,p_N,t)=q_i()$ in Formel $\frac{df}{dt}=\{f,H\}+\frac{\partial q()_i}{\partial t}$ ?
wenn q keine explizite Zeitabhängigkeit hat, dh q(x) und NICHT q(t) , obwohl x(t), dann partial_t q = total_t q, ja.

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