Hamilton-Gleichungen aus der Formulierung der Poisson-Klammer

Question

Hamilton-Gleichungen aus der Formulierung der Poisson-Klammer

Zeit
Physik
Notation
Unterscheidung
Poisson-Klammern
Hamiltonscher Formalismus

Opisthofulax

Bezug nehmend auf Wikipedia haben wir die Bewegungsgleichung für a $f(q, p, t)$ kommt von der Formel

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} f (p, q, t) = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{d q}{d t} + \frac{\partial f}{\partial p} \frac{d p}{d t} + \frac{\partial f}{\partial t} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p, q, t) = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial t} \tag{1} \end{equation}$ das heißt, un die Notation der Poisson-Klammer

\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d t} f (p, q, t) = {f, H} + \frac{\partial f}{\partial t} \end{matrix}

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p, q, t) = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} \tag{2}$ Nun, viele Bücher sagen, dass, wenn wir die Hamilton-Gleichungen von hier erhalten wollen, Sie nur jeweils die erste und die zweite Gleichung ersetzen müssen (

k = 1, \dots, 2 \cdot 3 N

$k= 1, \dots, 2\cdot3N$ Gleichungen eigentlich für ein System mit

N

$N$ Partikel u

3

$3$ Freiheitsgrade)

f (q, p, t) = q (t)

$f(q, p, t) = q(t)$ und

f (q, p, t) = p (t)

$f(q, p, t) = p(t)$ . Sie sollten also die beiden Gleichungen erhalten:

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} q = {q, H} + \frac{\partial q}{\partial t} \end{matrix}

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} q = \{q, H\} + \frac{\partial q}{\partial t}\tag{3}$ und

\begin{matrix} (4) & \frac{d}{d t} p = {p, H} + \frac{\partial p}{\partial t} \end{matrix}

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p = \{p, H\} + \frac{\partial p}{\partial t}\tag{4}$ Um also zu den Hamilton-Gleichungen zurückzukehren, sollten wir haben

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial q}{\partial t} = 0, \end{matrix}

$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\partial q}{\partial t} = 0,\tag{5}$ aber warum ist es so? Warum die Teilzeitableitung Null ist, wenn

q

$q$ und

p

$p$ sind Funktion der Zeit?

Eric Türme

Sie sollten sich wahrscheinlich auf eine einzige Reihenfolge für die Argumente zu Ihrer Funktion einigen

f

$f$ . Wie in Ihrem ersten Satz erklärt, sagt die Kettenregelanwendung in Gleichung (1) "die Ableitung von

f

$f$ in Bezug auf seinen ersten Slot multipliziert mit der zeitlichen Ableitung des Dings, das wir in seinen zweiten Slot einfügen,

q

$q$ , plus (derselbe Satz mit „first“ und „second“ vertauscht und „

q

$q$ " Ersetzt mit "

p

$p$ ") plus die Ableitung von

f

$f$ in Bezug auf seinen dritten Slot", was falsch ist.

Antworten (4)

Hamilton-Gleichungen aus der Formulierung der Poisson-Klammer

Sie sollten sich wahrscheinlich auf eine einzige Reihenfolge für die Argumente zu Ihrer Funktion einigen $f$ . Wie in Ihrem ersten Satz erklärt, sagt die Kettenregelanwendung in Gleichung (1) "die Ableitung von $f$ in Bezug auf seinen ersten Slot multipliziert mit der zeitlichen Ableitung des Dings, das wir in seinen zweiten Slot einfügen, $q$ , plus (derselbe Satz mit „first“ und „second“ vertauscht und „ $q$ " Ersetzt mit " $p$ ") plus die Ableitung von $f$ in Bezug auf seinen dritten Slot", was falsch ist.

J. Murray · Answer 1

Die Verwirrung rührt von ein wenig mathematischer Schlamperei her. Es ist eine nützliche Nachlässigkeit ~~erforderlich~~ , denn wie Sie gleich sehen werden, ist die volle Maschinerie ein Schmerz, aber es ist hilfreich, zu sehen und im Hinterkopf zu behalten, wenn solche Verwirrungen auftreten.

Phasenraumtrajektorien

Ich werde mir nicht die Mühe machen, das Kotangensbündel zum Konfigurationsraum und all dieses Durcheinander zu konstruieren - wir können mit der intuitiven Vorstellung des Phasenraums beginnen $\Omega$ . Ein Punkt $x\in\Omega$ können durch die entsprechende Position gekennzeichnet werden $q$ und Schwung $p$ (dh $x\equiv(q_x,p_x)$ ). Es ist wichtig, das zu beachten $q$ und $p$ sind keine Funktionen der Zeit oder irgendetwas anderem - es sind nur Zahlen, die einen bestimmten Ort im Phasenraum kennzeichnen.

Von hier aus betrachten wir den Begriff einer Trajektorie durch den Phasenraum. Eine Flugbahn $\gamma$ ist eine kontinuierliche Karte, die eine reelle Zahl (die Zeit) nimmt und sie auf einen Punkt im Phasenraum abbildet:

γ : R \to Ω

$\gamma:\mathbb{R} \rightarrow \Omega$

t \mapsto γ (t)

$t \mapsto \gamma(t)$

Wenn wir füttern $\gamma$ eine Zeit, es sagt uns den Ort des Systems im Phasenraum. Wenn wir uns in der Zeit vorwärts bewegen, sagt uns die Flugbahn, wie sich der Zustand des Systems entwickelt.

Dynamische Variablen

Eine dynamische Variable $F$ Nimmt einen Punkt im Phasenraum und einen Zeitwert und bildet sie auf eine reelle Zahl ab:

F : Ω \times R \to R

$F :\Omega\times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

(q, p, t) \mapsto F (q, p, t)

$(q,p,t) \mapsto F(q,p,t)$

Als nächstes führen wir die Projektionsfunktionen ein $\mathcal{Q}$ und $\mathcal{P}$ , die einen bestimmten Punkt im Phasenraum auf die entsprechenden Werte von abbilden $q$ und $p$ .

Q : Ω \times R \to R

$\mathcal{Q}:\Omega\times\mathbb R \rightarrow \mathbb{R}$

(x, t) \mapsto Q (x, t) \equiv Q (q_{x}, p_{x}, t) = q_{x}

$(x,t)\mapsto \mathcal{Q}(x,t)\equiv\mathcal{Q}\big(q_x,p_x,t\big) = q_x$ und

P : Ω \times R \to R

$\mathcal{P}:\Omega\times\mathbb R \rightarrow \mathbb{R}$

(x, t) \mapsto P (x, t) \equiv P (q_{x}, p_{x}, t) = p_{x}

$(x,t) \mapsto \mathcal{P}(x,t)\equiv\mathcal{P}\big(q_x,p_x,t\big) = p_x$

Im Wesentlichen, $\mathcal{Q}$ Nimmt einfach einen Punkt im Phasenraum und eine Zeit und sagt Ihnen die Positionskoordinate, während Sie die Impulskoordinate und die Zeit ignorieren, während $\mathcal{P}$ Nimmt einen Punkt im Phasenraum und eine Zeit und sagt Ihnen den Impuls, während die Positionskoordinate und die Zeit ignoriert werden. Beachten Sie, dass diese beiden Funktionen besondere Beispiele für zeitunabhängige dynamische Variablen in dem Sinne sind, dass $\frac{\partial \mathcal{P}}{\partial t} = \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t}=0$ .

Dynamische Variablen entlang Phasenraumtrajektorien

Jetzt können wir diese beiden Konzepte kombinieren. Gegeben eine Flugbahn $\gamma$ und eine dynamische Variable $F$ , können wir sie zu einer Karte kombinieren $F_\gamma$ die eine einzelne reelle Zahl nimmt $t$ und gibt den Wert von zurück $F$ zum Zeitpunkt $t$ eine lange $\gamma$ :

F_{γ} : R \to R

$F_\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

t \mapsto F (γ (t), t)

$t \mapsto F\big(\gamma(t),t\big)$

Wir können diese Definition auf anwenden $\mathcal{Q}$ und $\mathcal{P}$ . Beachte das

Q_{γ} : R \to R

$\mathcal{Q}_\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

t \mapsto Q (γ (t))

$t \mapsto \mathcal{Q}\big(\gamma(t)\big)$ Also

Q_{γ} (t)

$\mathcal{Q}_\gamma(t)$ ist die Positionskoordinate des Systems zum Zeitpunkt

t

$t$ , während

P_{γ} (t)

$\mathcal{P}_\gamma(t)$ ist die Impulskoordinate des Systems zur Zeit

t

$t$ .

Beachten Sie das für eine gegebene dynamische Variable $F$ , das können wir auch schreiben

F_{γ} (t) = F (γ (t), t) = F (Q_{γ} (t), P_{γ} (t), t)

$F_\gamma(t) = F\big(\gamma(t),t\big) = F\big(\mathcal{Q}_\gamma(t),\mathcal{P}_\gamma(t),t\big)$

Derivate insgesamt

Da solche Abbildungen Funktionen einer einzelnen Variablen sind, ist es sinnvoll, eine Gesamtableitung nach der Zeit zu nehmen. Dies ist die Gesamtänderungsrate von $F$ entlang der Flugbahn $\gamma$ :

\frac{d F_{γ}}{d t} \equiv \frac{\partial F}{\partial q} \frac{d Q_{γ}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial p} \frac{d P_{γ}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial t}

$\frac{dF_\gamma}{dt} \equiv \frac{\partial F}{\partial q}\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial p}\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial t}$

Hamiltons Gleichungen

Die Hamilton-Gleichungen sind die Differentialgleichungen, die Phasenraumtrajektorien bestimmen. Ohne sich mit ihrer Ableitung zu befassen, sagen sie uns das

\frac{d γ}{d t} \equiv (\frac{d Q_{γ}}{d t}, \frac{d P_{γ}}{d t}) = (\frac{\partial H}{\partial p}, - \frac{\partial H}{\partial q})

$\frac{d\gamma}{dt} \equiv \left(\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt},\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt}\right) = \left(\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial p},-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial q}\right)$ wo

H

$\mathcal{H}$ ist der Hamilton-Operator - noch eine weitere dynamische Variable.

Einmal der Hamiltonian

H : Ω \times R \to R

$\mathcal{H}:\Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

(q, p, t) \mapsto H (q, p, t)

$(q,p,t) \mapsto \mathcal{H}(q,p,t)$ niedergeschrieben worden ist, dann sind alle möglichen Phasenraumtrajektorien bestimmt worden.

Poisson-Klammer

Unter Verwendung der Hamilton-Gleichungen können wir die Gesamtableitung wie folgt umschreiben:

\frac{d F_{γ}}{d t} = \frac{\partial F}{\partial q} \frac{d Q_{γ}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial p} \frac{d P_{γ}}{d t} + \frac{\partial F}{\partial t} = (\frac{\partial F}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q}) + \frac{\partial F}{\partial t}

$\frac{dF_\gamma}{dt} = \frac{\partial F}{\partial q}\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial p}\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} + \frac{\partial F}{\partial t} = \left(\frac{\partial F}{\partial q}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} - \frac{\partial F}{\partial p}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}\right) + \frac{\partial F}{\partial t}$

Dies motiviert die Definition der Poisson-Klammer zweier dynamischer Variablen:

{EIN, B} \equiv \frac{\partial EIN}{\partial q} \frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial EIN}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q}

$\{A,B\} \equiv \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q}$

An diesem Punkt können wir die Gesamtableitungsformel ein letztes Mal umschreiben:

\frac{d F_{γ}}{d t} = {F, H} + \frac{\partial F}{\partial t}

$\frac{dF_\gamma}{dt} = \{F,H\} + \frac{\partial F}{\partial t}$

Alles erledigt! Beachten Sie, dass die rechte Seite die Flugbahn nicht erwähnt $\gamma$ , aus gutem Grund - sobald wir den Hamilton-Operator und unseren speziellen Ort im Phasenraum spezifiziert haben, dann gibt es keine Freiheit mehr in der Entwicklung des Systems (und daher keine Freiheit mehr in der Entwicklung irgendeiner dynamischen Variablen).

Die Pointe

Wir sind jetzt gerüstet, um Ihre Frage zu beantworten. Betrachten Sie die Funktion $\mathcal{Q}$ (die Funktion, die einen Phasenraumpunkt annimmt $(q,p)$ und gibt seine Positionskoordinate zurück $q$ ) sowie die zugehörige Funktion $\mathcal{Q}_\gamma$ die einer Phasenraumtrajektorie zugeordnet ist. Wir haben das

Q (q, p, t) = q

$\mathcal{Q}(q,p,t) = q$ Also

\frac{\partial Q}{\partial q} = 1

$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial q} = 1$

\frac{\partial Q}{\partial p} = 0

$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial p} = 0$

\frac{\partial Q}{\partial t} = 0

$\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t} = 0$

und deshalb

\frac{d Q_{γ}}{d t} = {Q, H} + \frac{\partial Q}{\partial t}

$\frac{d\mathcal{Q}_\gamma}{dt} = \{\mathcal{Q},\mathcal{H}\}+\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t}$

= (\frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q}) + \frac{\partial Q}{\partial t}

$= \left(\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial q}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} - \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial p}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}\right) + \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial t}$

= \frac{\partial H}{\partial p}

$= \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p}$

und ähnlich,

\frac{d P_{γ}}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial q}

$\frac{d\mathcal{P}_\gamma}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q}$

Da haben Sie es also. Wenn wir alles bis ins kleinste Detail aufschreiben, gibt es keinerlei Zweideutigkeit. $q$ und $p$ sind Zahlen, keine Funktionen, daher ist es sinnlos, sie zu unterscheiden. Was wir eigentlich unterscheiden, wenn wir Physik betreiben, sind die Projektionsfunktionen $\mathcal{Q}$ und $\mathcal{P}$ , sowie deren zugeordnete Funktionen, die an die Phasenraumtrajektorie angehängt sind $\gamma$ entlang der sich das System entwickelt. Auch hier ist es wichtig, dies zu beachten $\mathcal{Q}$ und $\mathcal{Q}_\gamma$ gehören zusammen, sind aber nicht dasselbe .

Wenn ich Physik mache, schreibe ich das natürlich nicht alles auf - ich differenziere $q$ und $p$ genau wie alle anderen. Aber es ist nützlich, Probleme in diesem Zusammenhang einordnen zu können, wenn diese kleinen Verwirrungspunkte auftreten.

Könnten Sie dazu eine Referenz nennen. Im Lagrange sowohl q als auch $\dot{q}$ sind explizit zeitabhängig. Und das sieht intuitiv genug aus, die Koordinaten und die verallgemeinerten Koordinaten ändern sich nur, wenn sich die Zeit ändert, also explizit von der Zeit abhängig. Was Sie geschrieben haben, sieht mathematisch gut aus, aber es kann trotzdem nicht sein, dass Koordinaten implizit von der Zeit abhängen ...
@Shashaank Koordinaten $q$ und $p$ überhaupt nicht von der Zeit abhängig . Sie sind die Bezeichnungen, die wir Punkten im (Phasen-)Raum geben. Was sich mit der Zeit ändert, sind die Funktionen $Q_\gamma(t)$ und $P_\gamma(t)$ , die die Phasenraumkoordinaten entlang der Trajektorie angeben $\gamma$ zum Zeitpunkt $t$ .
@Shashaank Nach Konvention, um Platz zu sparen und weil wir faul sind, verwenden wir $q$ und $p$ manchmal als räumliche Koordinaten (zB $\{A,B\} = \frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}$ ) und manchmal als dynamische Funktionen ( $\dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}$ ), aber das kann verwirrend sein (wie es für das OP war).
Ich verstehe diesen Punkt von Ihnen. Aber betrachten Sie die Lagrange-Funktion. Wir schreiben es explizit als $L(q(t), \dot{q}, t)$ . Was ist das deiner Meinung nach. Wollen Sie damit sagen, dass überall, wo wir diese Dinge schreiben, das q das ist $\dot{q}$ 's die p's waren nie Funktionen der Zeit. Die Aussagen von Goldstein und anderen wie "Lagrange kann sich explizit mit der Zeit oder implizit ändern, wenn sich q mit der Zeit ändert" sind in Bezug auf Ihre Punkte im eigentlichen Sinne nicht korrekt. In der Newtonschen Mechanik war x immer eine Funktion der Zeit und seine totale Ableitung mit der Zeit ist die gleiche wie seine partielle Ableitungszeit
$\theta$ ist eine verallgemeinerte Koordinate für ein einfaches Pendel. Ist es nicht explizit zeitabhängig. Wie werden Sie das, was Sie oben gesagt haben, in diesem Fall anwenden? Ist Theta nur ein Etikett? Es ändert sich mit der Zeit
@Shashaank Um alle Ihre Fragen durchzugehen, müsste ich eine völlig neue Antwort schreiben, und Kommentare sind nicht für längere Diskussionen geeignet. Wenn Sie verstehen möchten, wie dieser Formalismus auf die Lagrange-Mechanik angewendet wird, stellen Sie bitte eine neue Frage, und ich werde sie beantworten.
OK. Vielen Dank. Bitte geben Sie mir etwas Zeit und ich werde eine neue Frage stellen, die aus all diesen ähnlichen Zweifeln besteht. Den Link gebe ich dir hier. Wenn Sie möchten, können Sie die Antwort dort schreiben.

QMechaniker · Answer 2

Die "partielle" Zeitableitung $\frac{\partial}{\partial t}$ bedeutet in diesem Zusammenhang eine explizite Zeitdifferenzierung. Eine Funktion
$(q, p, t) \mapsto f (q, p, t)$ $(q,p,t)~\mapsto~ f(q,p,t)$ von Phasenraum und Zeit soll durch sein letztes Argument eine explizite Zeitabhängigkeit haben $t$ und eine implizite Zeitabhängigkeit durch die Phasenraumvariablen $q^i$ und $p_j$ . Die Gesamtzeitableitung _ $df/dt$ ist dann durch OPs Gl. (1).
Kurze Erklärung: Um OP's Gl. (1) funktionieren auch für die Phasenraumvariablen
$f (q, p, t) = q^{ich} und f (q, p, t) = p_{j}$ $f(q,p,t)=q^i\quad\text{and}\quad f(q,p,t)=p_j$ selbst, ist es natürlich (und in der Praxis nützlich), pragmatisch zu erklären, dass sie per Definition nur implizit von der Zeit abhängen.
Längere Erklärung: Beachten Sie, dass Physiker (im Gegensatz zu Mathematikern) häufig dieselbe Notation für eine Funktion und ihren Wert an einem Punkt verwenden. Daher kann es manchmal schwierig werden, die Liste der Argumente einer Funktion zu kennen. Im vorliegenden Fall der Begriff der Phasenraumvariablen $q^i$ und $p_j$ kann eine andere Liste von Argumenten haben
$q^{ich} (q, p, t) = q^{ich} und p_{j} (q, p, t) = p_{j}$ $q^i(q,p,t)=q^i\quad\text{and}\quad p_j(q,p,t)=p_j$ gegen $t \mapsto q^{ich} (t) und t \mapsto p_{j} (t)$ $t~\mapsto~ q^i(t)\quad\text{and}\quad t~\mapsto~ p_j(t)$ je nach Kontext. Implizite und explizite Abhängigkeit sind streng genommen nur im ersteren Fall definiert.
Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.

Ok, ich sehe den mathematischen Unterschied zwischen partieller Ableitung und totaler Ableitung, mein Zweifel betraf eher die Hamilton-Mechanik, insbesondere die Zeitabhängigkeit von $q_i(t)$ und $p_i(t)$ ... Wie können Sie sagen, dass ihre Abhängigkeit implizit ist? Kennen Sie ein Lehrbuch, das diesen Aspekt streng mathematisch spezifiziert? Danke trotzdem
So, $q$ s und $p$ s hängen per Definition nur implizit von der Zeit ab, ist das richtig?
@QMechaniker $\theta$ ist eine verallgemeinerte Koordinate für ein einfaches Pendel. Ist es nicht explizit zeitabhängig.

DanielC · Answer 3

Ich stimme dem letzten Teil der Antwort von Qmechanic nicht zu. Mathematisch gesehen hängen die Phasenraumvariablen explizit von der Zeit ab, da die Zeit (als Parameter für Kurven im Phasenraum) ihre einzige funktionale Variable ist. Wenn ja, sagen wir mal $q^{i} (t) = q^{i} (z(t))$ , dann wäre ja die Zeitabhängigkeit implizit gewesen (also durch eine andere Funktion $z(t)$ ).

Um auf die Frage im OP zurückzukommen. Die Funktionen $q^i (t)$ und $p_i (t)$ haben nur eine unabhängige Variable, nämlich die Zeit $t$ . Die Bewegungsgleichung für eine generische Observable im Phasenraum $F (q,p,t)$ gilt für sie nicht , weil die Zeitabhängigkeit dieser Funktionen $q$ und $p$ , verglichen mit dem für das Observable, ist NICHT sowohl implizit als auch explizit, es ist nur explizit. Dies kann umformuliert werden, um das zu sagen $q^i (q^i(t),p_i (t), t)$ ist kein gültiges F. Es macht nicht einmal mathematisch Sinn (ähnlich $p_i (q^i(t),p_i (t), t)$ ).

Ich stimme dem ersten Teil Ihrer Argumentation zu, aber nicht dem zweiten Absatz als Funktion $f$ in der Poisson-Bewegungsgleichung darf nicht Funktion von beiden sein $q$ ist und $p$ 's, au contraire kann ich jede beliebige Funktion als wählen $f$ , im Speziellen $q$ und $p$ , wie Sie auch in diesem Buch unter dem Absatz 4.3 Die Poisson - Klammer nachlesen können .
Ich weiß, dass dieser von Ihnen angesprochene Punkt auch im Buch Goldstein, 3. Auflage, enthalten ist. p. 297, oder Jose & Saletan, p. 218.219. Es ist weder im Buch von Landau & Lifschitz noch in den mathematischen von VI Arnold, dann Abraham & Marsden "Foundations of mechanics" (2nd Ed.) und auch Thirring enthalten. Ich habe Ihnen gerade gesagt, dass das beliebige F mit sowohl expliziter als auch impliziter Zeitabhängigkeit nicht einfach in p oder q umgewandelt werden kann, da diese nicht die gleiche funktionale Abhängigkeit von der Zeit haben wie F.
Wie funktioniert der harmonische Oszillator Hamiltonian $\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kq^2$ explizit abhängen $t$ ?
@DanielC Was würden Sie auf die obige Frage antworten. Ich stimme dem, was Sie gesagt haben, vollkommen zu und hatte diese Zweifel über ein Jahr lang. Ich denke dann, dass der harmonische Oszillator keine explizite Funktion der Zeit ist, sondern nur eine implizite durch q und p. Ist das richtig. Würden Sie das auch sagen, wenn man bedenkt, dass unsere Argumentation in dieser Richtung dieselbe ist?

Othin · Answer 4

Sie können es so sehen, dass Sie durch Ihre Argumentation in gewissem Sinne die interessierenden Größen in verschiedenen mathematischen Räumen behandeln. Richtig, q und p sind Funktionen auf Zeit, aber wie würde man den Hamiltonoperator schreiben? Die eigentliche Ableitung dieser Formeln geht davon aus, dass F und H als Funktionen von Ort und Impuls beschrieben werden. Wenn Sie q und p explizit als Funktionen der Zeit beschreiben wollen, müssen Sie dies konsequent tun, indem Sie diese expliziten Relationen in H und F ersetzenauch. Wenn Sie das tun, erhalten Sie am Ende nur Funktionen von t, sodass partielle Ableitungen dieser Größen in Bezug auf q und p und daher {F, H} Null sind. Die partielle und die totale Ableitung von F sind identisch, sodass Sie am Ende die trivialen Gleichungen erhalten

$\frac{dq}{dt}=\frac{dq}{dt}$ und $\frac{dp}{dt}=\frac{dp}{dt}$ ,

was natürlich wahr ist, aber der Klammerformalismus wird nicht sehr nützlich sein, wenn diese Beschreibung verwendet wird. Beschreiben wir das System hingegen durch die Variablen q und p, dann gilt natürlich q=q(q), p=p(p), sie haben so gesehen keine explizite Zeitabhängigkeit.

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