Wann ist der Hamilton-Operator gleich der Energie des Systems?

Question

Wann ist der Hamilton-Operator gleich der Energie des Systems?

MichaelXin

In der klassischen Mechanik ist der Hamilton-Operator durch den Lagrange-Operator gut definiert. Wobei Energie ein sehr vieldeutiger Begriff ist. Wir sagen nur $E=T+U$ , und normalerweise ist es gleich Hamiltonian. Gibt es eine Möglichkeit, durch bloße mathematische Betrachtung des Lagrange-Operators sofort die Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der Energie des Systems zu erkennen?

Und wenn wir ein System haben, dessen Hamiltonoperator nicht gleich Energie ist, was ist dann die physikalische Bedeutung dieses Unterschieds?

flippiefanus

Inwiefern ist Energie mehrdeutig?

QMechaniker

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/11905/2451 , physical.stackexchange.com/q/43135/2451 und Links darin.

bangnab

Intuitiv würde ich sagen, dass der Hamiltonoperator die Energie des Systems ist, wenn das System isoliert ist.

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Wann ist der Hamilton-Operator gleich der Energie des Systems?

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/11905/2451 , physical.stackexchange.com/q/43135/2451 und Links darin.
Intuitiv würde ich sagen, dass der Hamiltonoperator die Energie des Systems ist, wenn das System isoliert ist.

ZeroTheHero · Answer 1

Es gibt einige technische Bedingungen (von der Art der Einschränkungen in Ihrem System), aber betrieblich $H$ ist die Gesamtenergie, wenn $\sum_i \dot q_i p_i$ Ist $2\times$ die kinetische Energie. Dann klar

H = \sum_{ich} {\dot{Q}}_{ich} P_{ich} - L = 2 T - (T - U) = T + U .

$H=\sum_i \dot q_i p_i-L=2T-(T-U)=T+U\, .$

Wenn dies nicht der Fall ist, $H$ kann konserviert werden, aber es ist einfach nicht $E$ . Dies tritt in einer Vielzahl von Systemen auf, wie z. B. dem Flyball-Regler und Systemen, in denen ein externes Mittel eine konstante Rotationsgeschwindigkeit aufrechterhält (z. B. Perlen auf rotierenden Drähten verschiedener Formen). Die Dynamik ist immer noch darauf beschränkt, auf Kurven oder Oberflächen zu bleiben Konstante $H$ , aber es gibt normalerweise keine physikalische Interpretation dieser Erhaltungsgröße.

Die einfachsten Fälle, wo $H$ ist die Energie sind natürliche Systeme, für die die kinetische Energie quadratisch in den Geschwindigkeiten ist

T = \sum_{ich J} M_{ich J} {\dot{Q}}_{ich} {\dot{Q}}_{J}

$T=\sum_{ij} m_{ij}\dot q_i\dot q_j$ und es gibt keine explizite Zeitabhängigkeit von

t

$t$ im Lagrange.

Wann ist der Hamilton-Operator gleich der Energie des Systems?

MichaelXin

flippiefanus

QMechaniker

bangnab

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ZeroTheHero

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