Hamilton-Jacobi-Theorie: Differenzierung bzgl. die konstante EEE?

Nehmen wir an, wir haben einen harmonischen 1D-Oszillator, dessen Hamilton-Oszillator gegeben ist durch

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

Wir möchten es über die Hamilton-Jacobi-Gleichung lösen, also haben wir es

$$\frac{1}{2m}\Big(\frac{\partial S}{\partial x}\Big)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x^2+\frac{\partial S}{\partial t}=0$$

da der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, können wir schreiben

$$S(x,p_0,t)=W(x,p_0)-Et$$ so dass

$$\frac{1}{2m}\Big(\frac{\partial S}{\partial x}\Big)^2+\frac{1}{2}m\omega^2x^2=E$$

und wir können lösen$W$a gut nur durch einfache Integration und erhalten Sie S

$$S=\sqrt {mk}\int\sqrt{2E/k-x^2}dx-Et$$

Wenn wir das Integral lösen, erhalten wir eine Funktion von x

Was ich nicht bekomme, ist Folgendes: Um die Lösung für zu erhalten$x(t)$Was wir tun, ist abzuleiten$S$durch die energie?

$$\beta=\frac{\partial S(x,t,E)}{\partial E}=f(x,t,E)$$ und dann invertieren wir $f(x,t,E)$zu bekommen $x(t)$

Aber was ich nicht verstehe, ist, wie wir bzgl. differenzieren können. die Energie, denn es ist nicht so, dass wir uns ansehen, wie sich unsere Lösung ändert, wenn sich die Energie unseres Systems ändert.

Auch wenn wir ein 2D-System hätten und finden wollten$y(x)$oder$x(y)$Auf diese Weise ändert sich eine Variable in Bezug auf die andere, von der sie üblicherweise abgeleitet wird$p_0$

$$\beta_2=\frac{\partial S(x,t,E)}{\partial p_{0x}}=g(x,y,E)$$

(denn im 2-D-Fall hätten wir$p_{0x}$Und$p_{0y}$Das ist für mich noch rätselhafter, wie können wir davon ableiten$p_0$Wenn wir wissen, dass es sich um eine Konstante für dieses System handelt, wollten wir beim Ableiten der Hamilton-Jacobi-Gleichung ein neues Koordinatensystem finden, für das der neue Hamilton-Operator Null ist, damit die Bewegungsgleichungen trivial werden$\dot{q}=0$Und$\dot{p}=0$($q=q_0$,$p=p_0$), wenn wir also wissen, dass p_0 eine Konstante ist, wir aber trotzdem davon ableiten? wie und warum?