Intuition für die Hamilton-Jacobi-Gleichung, abgeleitet von der kleinsten Wirkung

Ich versuche, die Hamilton-Jacobi-Gleichung ohne den Rahmen der kanonischen Transformationen zu verstehen. Selbst bei einem 1D-freien Partikel bleibe ich hängen.

Das System startet bei festen Koordinaten Q 0 zum Zeitpunkt T 0 . Hamiltonsche Hauptfunktion S ( Q , T ) ist definiert als die entlang des Weges integrierte Wirkung, die die Bewegungsgleichungen (Hamilton-Gleichungen) erfüllt und das System abnimmt Q 0 zum Zeitpunkt T 0 Zu Q zum Zeitpunkt T . Nach meinem Verständnis als Q Und T variieren die Anfangsgeschwindigkeit muss sich anpassen, damit das System aufsetzt Q zum Zeitpunkt T .

Schreiben Sie das Aktionsintegral auf und vergleichen Sie die verschiedenen Pfadintegrale, während ich störe Q Und T Ich kann zeigen, dass diese Funktion S ( Q , T ) erfüllt:

∂ S ∂ T ( Q , T ) = − H ( Q , P , T ) , ∂ S ∂ Q ( Q , T ) = P ,
Wo H ist der Hamiltonoperator und P ist das Momentum des Systems, wenn es erreicht ist Q zum Zeitpunkt T (dh P ist eine Funktion von Q Und T ).

Daher ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung für S Ist

∂ S ∂ T + H ( Q , ∂ S ∂ Q , T ) = 0.

Für ein 1D-freies Teilchen ist der Hamilton-Operator H ( Q , P , T ) = P 2 / 2 M und die HJ-Gleichung ist

∂ S ∂ T + 1 2 M ( ∂ S ∂ Q ) 2 = 0.

Die Lösung der PDE ist

S ( Q , T ) = ± 2 M E Q − E T + C ,
für einige Konstanten E Und C . Uuund ich bin schon verwirrt:
H ( Q , T ) = − ∂ S / ∂ T = E = C Ö N S T A N T ,
die gleiche Konstante für alle Q Und T . Aber das kann nicht stimmen. Wenn das Teilchen bei endet Q = 1 bei T = 1 es sollte eine niedrigere Energie haben, als wenn es bei endet Q = 100 bei T = 1 , da im letzteren Fall schneller gefahren werden muss.

Für diese Situation kennen wir die richtige Antwort: Annehmen Q 0 = 0 Und T 0 = 0 , die Geschwindigkeit des Teilchens ist Q / T (konstant entlang seiner Flugbahn) und die Lagrange-Funktion, die entlang des Pfads zu integriert ist Q , T Ist S ( Q , T ) = 1 2 M Q 2 T .

  1. Wie erkläre ich diesen scheinbaren Widerspruch über die konstante Energie als Funktion von Q Und T ?

  2. Außerdem, wie bekommen wir am Ende des Tages die Lösung für die Bewegung des Teilchens aus der HJ-Gleichung (dh so etwas wie Q = ± 2 E M T )? Ich habe einen Hinweis auf eine partielle Ableitung von gesehen S gegenüber E , aber das ist mir auch ein Rätsel.

Antworten (1)

  1. Ein wichtiger Punkt ist, Hamiltons Hauptfunktion nicht zu verschmelzen

    S ( Q , E , T )   =   ± 2 M E Q − E T
    und die On-Shell-Aktion
    S ( Q F , T F ; Q ich , T ich )   =   M 2 ⋅ ( Q F − Q ich ) 2 T F − T ich .
    Sie beantworten unterschiedliche Fragen, da unterschiedliche Variablen konstant gehalten werden.

    Beachten Sie, dass aus Sicht des HJ eq. (das ist eine PDE in S ), die Energie E ist eine Integrationskonstante, die als neuer Impuls uminterpretiert wird P und eine Konstante der Bewegung . Der Wert von E hängt von der Flugbahn ab.

  2. Beachten Sie bei der letzten Frage von OP, dass Hamiltons Hauptfunktion S ( Q , E , T ) ist als Typ 2 CT mit dem neuen Schwung definiert

    P   =   E
    gleich der Energie. Seit dem Kamiltonian K ≡ 0 identisch Null ist, die neue Position
    Q   =   ∂ S ∂ P   =   ± M 2 P Q − T
    ist eine Bewegungskonstante. Dies führt zu
    Q ˙   =   ± 2 P M .

Viele der Fragen von OP werden in diesem Phys.SE-Beitrag behandelt und das Lemma meiner Phys.SE-Antwort hier .

Vielen Dank für die Links, aber ich würde dies gerne zu den Begriffen verstehen, die ich in meiner Frage dargelegt habe, insbesondere ohne Bezugnahme auf kanonische Transformationen. Meine ersten beiden Gleichungen stammen aus der gleichen Argumentation, die Sie in Ihrem Lemma verwenden (obwohl ich die Einschränkung, die Sie in Abb. 2 machen, nicht auferlegen muss, dass die Variation in Q F ist abhängig von der Variation in T F ; deine Gl. 16).Ich sehe nicht, dass ich Dinge vermische: vergiss, wie ich diese Funktionen nenne -- einfach alle Größen so zu nehmen, wie ich sie definiere, scheint zu einem Widerspruch zu führen.
Ich habe die Antwort aktualisiert.
Danke. Können Sie Ihren Punkt #1 präzisieren? Der S ( Q , E , T ) löst die HJ-Gleichung, wenn E ist eine Konstante (const E kommt ins Spiel, wenn die Trennung von Variablen verwendet wird). Aber mir ist aufgefallen, dass das, was Sie die On-Shell-Aktion nennen, S = ( 1 / 2 ) M Q 2 / T , löst auch die HJ eqn und gibt mir die "richtige" Lösung: die Aktion als Funktion des Endpunkts Q zum Zeitpunkt T . Ist die Frage, wie man die HJ PDE denn die beiden integriert S 's gehorchen nicht denselben Anfangsbedingungen? Wie ist die Auslegung der S = ± 2 M E Q − E T Lösung? Können Sie das ohne kanonische Transformationen erklären?
Ich habe die Antwort aktualisiert.
Danke. Ich denke, der Schlüssel zu meiner Verwirrung liegt in der Erkenntnis, dass die Lösung für die HJ-PDE nicht eindeutig ist. Dh die "On-Shell"-Aktion als Funktion des Endpunkts S ( Q , T ) (für einen festen Startpunkt) löst die HJ-Gleichung, aber eine gegebene Lösung S ' ( Q , T ) zum HJ eqn muss das nicht sein S ( Q , T ) Funktion. Wenn Sie die Integrationskonstante in schreiben S ' ( Q , T ) bezüglich Q Und T und wieder einstecken S ' bekommt man immer S ( Q , T ) . Ich kann dies zeigen, indem ich verwende S ' als erzeugende Funktion, aber ich würde trotzdem gerne wissen, ob die HJ-Theorie entwickelt werden kann, ohne Funktionen/kanonische Transformationen zu erzeugen.
Intuition für die Hamilton-Jacobi-Gleichung, abgeleitet von der kleinsten Wirkung
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v