Ist Del (oder Nabla) ein Operator oder ein Vektor?

Lassen Sie uns das zunächst sagen$\nabla$Und$\vec \nabla$sind zwei äquivalente Notationen für dasselbe "Objekt". Diese Notation wird bei der Darstellung von drei wichtigen Vektoroperatoren verwendet : Gradient, Curl und Divergenz.

Der Gradientenoperator wirkt auf eine skalare differenzierbare Funktion$f(\vec x)$, Wo$\vec x \in \mathbb R^n$, und gibt einen Vektor zurück:

Wo$\{\vec e_i \dots\vec e_n\}$ist eine orthogonale Basis von$\mathbb R^n$.

Der Divergenzoperator wirkt auf ein Vektorfeld$\vec F(\vec x)$, Wo$\vec x,\vec F \in \mathbb R^n$, und gibt eine Skalarfunktion zurück:

Der Curl-Operator wirkt auf ein Vektorfeld$\vec F(\vec x)$, Wo$\vec x,\vec F \in \mathbb R^3$, und gibt ein Vektorfeld zurück:

Wo$\hat i, \hat j, \hat k$sind die Einheitsvektoren der drei kartesischen Achsen.

Beachten Sie, dass der Curl-Operator im Gegensatz zu Gradient und Divergenz nicht einfach in verallgemeinert$n$Maße. Auch die Notation$\nabla \times \vec F$ist nur ein mnemonisches Hilfsmittel nützlich, wenn wir in kartesischen Koordinaten arbeiten: in anderen Koordinatensystemen gelten$\nabla \times \vec F$hält das falsche Ergebnis.

Wir sollten wahrscheinlich auch den Laplace-Operator erwähnen , der die Divergenz des Gradienten ist:

Also, um es zusammenzufassen,$\nabla$ist nur eine nützliche Notation, die bei der Darstellung von drei verschiedenen Vektoroperatoren verwendet wird. Es stellt sich heraus, dass wir oft formal manipulieren können$\nabla$ als ob es ein Vektor wäre, aber es ist kein Vektor im üblichen Sinne:$\nabla$allein ist bedeutungslos.

Um dies zu sehen, betrachten Sie einfach eine der grundlegenden Eigenschaften von Vektorräumen: Wenn$v,w$sind Elemente des Vektorraums$V$, Dann$v+w$ist auch Bestandteil von$V$.

Betrachten wir den Vektorraum$\mathbb R^n$: Welche Bedeutung sollten wir einem Ausdruck wie z

die antwort ist: überhaupt keine bedeutung , weil$\nabla$ist kein Vektor.

Beide. Es ist ein Operator, der sich unter Drehungen als Covektor transformiert. Dies bedeutet, dass beim Drehen des Koordinatensystems der Farbverlauf im neuen Koordinatensystem,$\nabla'$, kann geschrieben werden als:

Ich hasse es, diese Karte zu spielen, aber es hängt davon ab, auf welches Objekt sie wirkt (und manchmal, wen Sie fragen.) Beispiel: Viele (Professoren, Kollegen usw.) werden darauf bestehen, zwischen dem Schreiben zu unterscheiden$\vec{\nabla}$Und$\nabla$(Erwägen Sie, sich zu verpflichten, wenn Ihre Note / Ihr Einkommen davon abhängt.) In Wirklichkeit jedoch$\nabla$ist KEIN spezifischer Operator, sondern eine bequeme mathematische Notation. Man kann zum Beispiel schreiben$\vec{\nabla}\cdot\vec{j}$oder$\nabla\cdot \vec{j}$und es "sollte" aus der Notation ersichtlich sein, dass die Bedeutung von$\nabla$In diesem Fall handelt es sich um eine Vektoroperation, unabhängig davon, ob das Vektorsymbol darüber enthalten ist oder nicht. Ein anderes Beispiel: Man darf schreiben$(\vec{v}\cdot\vec\nabla) \vec{j}$oder$\vec{v}\cdot\nabla{\vec {j}}$. In jedem Fall wird die gleiche Menge produziert. Ich schätze die letztere Notation jedoch, weil sie die Handlungsfreiheit hervorhebt$\nabla$auf$\vec{j}$zuerst (Matrix erstellen) und dann weitermachen$\vec{v}$um einen Vektor zu bekommen, oder um den zu handeln$\vec{v}$An$\nabla$zuerst (Erzeugung eines Skalaroperators) und dann weiterarbeiten$\vec{j}$Herstellung eines identischen Vektors.

Es ist ein Operator, da er Vektoren aus einem Vektorraum auf Vektoren in einem anderen Vektorraum abbildet. Die hier in Rede stehenden Räume sind Funktionsräume.

Wenn Sie mit Fourier-Transformationen oder Potenzreihen vertraut sind, wissen Sie, dass beliebige glatte Funktionen als Summe von Polynomen oder Sinus und Cosinus geschrieben werden können (es gibt viele weitere Sätze von Funktionen, die wir verwenden können, aber diese reichen aus, um Ihnen eine Idee zu vermitteln ). Das heißt, wenn ich eine reibungslose Funktion habe$f(x)$, ich kann es schreiben als

Es sollte kein großer Sprung sein, das dann zu sehen$f(x)$kann als Vektor mit Einträgen dargestellt werden

Die Ableitung von$f(x)$ist dann ein weiterer Vektor in diesem Raum, da er auch eine Fourier-Transformation hat. Dies ist der Sinn, in dem$\nabla$ist ein Operator. Es nimmt Vektoren in einem Funktionenraum zu Vektoren in einem Funktionenraum.

Nun könnten wir bei einer gegebenen Funktion mehrerer Variablen Ableitungen dieser Funktion entlang willkürlicher Kombinationen dieser Variablen bilden. Zum Beispiel gegeben$f(x,y)$wir können nehmen$\frac{\partial}{\partial y}$oder$\frac{\partial}{\partial x}$, oder mache sogar etwas Verrücktes wie „define“.$z=\frac{x}{sin(y)}$und versuchen nehmen$\frac{d}{d z}$. Wir werden nicht das Letzte tun ...

Stattdessen konzentrieren wir uns nur auf "Richtungsderivate". Denken Sie zunächst daran, dass Linearkombinationen von$x$Und$y$Definiere einen Pfeil in$\mathbb{R}^2$, das ist der Pfeil vom Ursprung nach$z=a \hat{x} + b \hat{y}$.

Eine Frage, die wir vielleicht stellen möchten, lautet: „Wovon ist der Raum der Richtungsableitungen$f(x,y)$." Es ist ähnlich dem Raum von$z$s, aber da wir über Ableitungen sprechen, schreiben wir die Vektoren hinein$\mathbb{R}^2$als$a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y}$. Dies ist der Sinn, in dem$\nabla$ist ein Vektor, weil der Raum der Richtungsableitungen von Funktionen von$N$Variablen (funktioniert gleichermaßen auf$\mathbb{R}^N$) Ist$\mathbb{R}^N$.

Wie andere darauf hingewiesen haben, ist es sowohl ein Operator als auch ein Vektor. Es ist ein Vektor im Raum der Richtungsableitungen von Funktionen von$N=3$Variablen, und es ist ein Operator für Funktionen von$N=3$Variablen.