Vektorkreuzproduktformel ohne zweiten Term (Spiegel, Theoretische Mechanik)

Was Sie dort sehen, ist eine Operatorgleichung . Das bedeutet, dass die beiden Operationen auf jeder Seite der Gleichung die gleiche Wirkung auf jeden Vektor haben$\mathbf{A}$:

$$D_F \mathbf{A} = D_M \mathbf{A} + \pmb{\omega} \times \mathbf{A}.$$ Analog, wenn wir zwei Funktionen haben$f$Und$g$, sagt, dass$f = g$ist eine kompaktere Art zu sagen$f(x) = g(x)$für alle$x$.

$\newcommand{\e}{\boldsymbol=}$ $\newcommand{\m}{\boldsymbol-}$ $\newcommand{\x}{\boldsymbol\times}$

Gegeben zwei Vektoren$\:\boldsymbol\omega\:$Und$\:\mathbf x\:$dargestellt durch ihre kartesischen Koordinaten

$$\begin{equation} \boldsymbol\omega\e \begin{bmatrix} \omega_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}\qquad \texttt{and} \qquad \mathbf x\e \begin{bmatrix} x_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{01}\label{01} \end{equation}$$ ihr äußeres (Kreuz-)Produkt ist $$\begin{equation} \boldsymbol\omega\x\mathbf x\e \begin{bmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_1 & x_2 & x_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \e \begin{bmatrix} \omega_2 x_3\m \omega_3 x_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_3 x_1\m \omega_1 x_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_1 x_2\m \omega_2 x_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \e \begin{bmatrix} \hphantom{\m} 0 & \m \omega_3 & \hphantom{\m}\omega_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{\m}\omega_3 & \hphantom{\m} 0 & \m\omega_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \m\omega_2 & \hphantom{\m}\omega_1 & \hphantom{\m}0 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{02}\label{02} \end{equation}$$ Es ist also sinnvoll, das Symbol zu verwenden$\:\boldsymbol\omega\x\:$für den durch a repräsentierten linearen Operator (Transformation).$\:3\times 3\:$Antisymmetrische Matrix $$\begin{equation} \boldsymbol\omega\x \boldsymbol\equiv \begin{bmatrix} \hphantom{\m} 0 & \m \omega_3 & \hphantom{\m}\omega_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{\m}\omega_3 & \hphantom{\m} 0 & \m\omega_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \m\omega_2 & \hphantom{\m}\omega_1 & \hphantom{\m}0 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{03}\label{03} \end{equation}$$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!$

Zugehöriges 1: Geschwindigkeit in einem sich drehenden Bezugssystem .

Zugehöriges 2: Vektorprodukt in einer 4-dimensionalen Minkowski-Raumzeit .

Die Antworten sind bereits ausreichend gegeben, daher wollte ich noch eine weitere Verwendung anbieten$\boldsymbol{r}\times$Begriff.

Finden Sie den Trägheitstensor des Massenträgheitsmoments über dem Ursprung einer Punktmasse$m$befindet sich$\boldsymbol{r}$.

Dafür gibt es zwei Formeln, die beide zum gleichen Ergebnis führen

1. Verwenden

   $$\mathrm{I}_0 = -m [\boldsymbol{r} \times] [\boldsymbol{r} \times] = -m \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix}$$

2. Verwenden

   $$\mathrm{I}_0 = m \left( \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r} \odot \boldsymbol{r} \right) = m \left( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}^\top \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}^\top \right)$$

Wenn Sie rechnen, ergeben beide Ergebnisse

$$\mathrm{I}_0 = m \begin{bmatrix} y^2+z^2 & -x y & -x z\\ -x y & x^2+z^2 & - y z \\ -x z & -y z & x^2+y^2 \end{bmatrix}$$

Meine Präferenz ist zu verwenden$[\boldsymbol{r}\times]$Notation, weil sie die Verbindung zu Kreuzprodukten offensichtlich hält und sich leicht in der Programmierung codieren lässt.

Das Obige erzeugt den Parallelachsensatz in 3D vom Massenmittelpunkt C zum Ursprung 0 as

$$\mathrm{I}_0 = \mathrm{I}_c - m [ \boldsymbol{c}\times][\boldsymbol{c}\times]$$

Obiges hat einen direkten Zusammenhang, wenn der Drehimpuls um einen Drehpunkt liegt

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L}_0 & = \boldsymbol{L}_c + \boldsymbol{c} \times m \boldsymbol{v}_c \\ & = \mathrm{I}_c \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{c} \times m ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{c} ) \\ & = \mathrm{I}_c \boldsymbol{\omega} - m\, \boldsymbol{c} \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{\omega}) \\ & = \mathrm{I}_0 \boldsymbol{\omega} \end{aligned}$$

Darüber hinaus verwenden Sie diesen Begriff auch, wenn Sie die räumliche 6 × 6-Trägheitsmatrix konstruieren

$$\boldsymbol{I} = \begin{Bmatrix} m \boldsymbol{1} & -m [ \boldsymbol{c} \times] \\ m [\boldsymbol{c} \times] & \mathrm{I}_c - m [\boldsymbol{c}\times][\boldsymbol{c}\times] \end{Bmatrix}$$

Nun zurück zur Ableitung von rotierenden Rahmen, dies geschieht mit räumlicher Algebra mit dem folgenden Operator

$$\mathbf{v} \times = \begin{Bmatrix} [\boldsymbol{\omega} \times & [\boldsymbol{v}\times] \\ [0] & [\boldsymbol{\omega}\times] \end{Bmatrix}$$

Also die Beschleunigung aufgrund der Bewegung der Gelenkachse$\mathbf{s}$wird mit gerechnet

$$\mathbf{a} = \mathbf{v} \times \mathbf{s} \,\,\dot{q}$$

Wie Sie sehen können, wird diese Notation in der Robotik und auf allen Ebenen der Dynamik starrer Körper häufig verwendet.