Ich sehe oft den Zusammenhang, dass in einem sich drehenden Bezugssystem, aber woher kommt es eigentlich und wie komme ich auf das Beschleunigungswesen
Gibt es eine einfache Methode, um dies zu sehen? Alle Ansätze, die ich gesehen habe, verwenden eine nicht intuitive Änderung von Differentialoperatoren und so weiter usw .
Seien zwei orthonormale Systeme , mit einer allgemeinen Bewegung (translational plus rotatorisch) zwischen einander und einem Punktteilchen , Siehe Abbildung.
Symbolkonventionen:
1.Die Vektoren für die Position , Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Teilchens in Bezug auf ausgedrückt durch Koordinaten desselben Systems sind mit fetten Großbuchstaben symbolisiert.
2.Die Vektoren für die Position , Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Teilchens in Bezug auf ausgedrückt durch Koordinaten dieses gleichen Systems werden mit fetten Kleinbuchstaben mit Akzent symbolisiert.
3.Die Vektoren für die Position , Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Teilchens in Bezug auf ausgedrückt durch Koordinaten des anderen Systems werden mit fett akzentuierten Großbuchstaben und schließlich symbolisiert
4.Die Vektoren für die Position , Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Teilchens in Bezug auf ausgedrückt durch Koordinaten des anderen Systems werden mit fetten Kleinbuchstaben symbolisiert.
Da die beiden Systeme orthonormal sind, kann jeder akzentuierte Vektor (Großbuchstaben
oder Kleinbuchstaben
), die mit ausgedrückt wird
-Koordinaten können mit ausgedrückt werden
-Koordinaten über eine orthonormale Transformation
TEIL 1 : Geschwindigkeiten
Lassen Sie ein sich bewegendes Teilchen am Punkt sein
zum Zeitpunkt
. Sein Positionsvektor relativ zu
Ist
Und
Von nun an verzichten wir in allen Gleichungen auf die explizite Abhängigkeit von der Zeit und so nimmt die obige Gleichung (04) die einfache Form an
Außerdem verwenden wir einen, zwei oder eine beliebige Anzahl von Punkten, um die zeitlichen Ableitungen der ersten, zweiten oder beliebiger Ordnung für jede Größe (Skalar, Vektor, Matrix usw.) auszudrücken.
Unter Zeitableitung von Gleichung (05) haben wir
Lassen Sie uns nun den Begriff diskutieren in Gleichung (08). Durch Differenzieren der ersten Gleichung in (02) haben wir
TEIL 2 : Beschleunigungen
Unter Zeitableitung von Gleichung (06) haben wir
Für den Begriff haben wir aus Gleichung (13)
Also Beobachter bildet den Beschleunigungsvektor eines Teilchens aus 5 Termen: (1) dem Beschleunigungsvektor aufgrund der Translationsbewegung des Systems insgesamt (2) die Beschleunigung aufgrund der Winkelbeschleunigung der Winkelgeschwindigkeit des Systems insgesamt (3) die Zentripetalbeschleunigung , (4) die Beschleunigung die mit der sogenannten Coriolis-Trägheitskraft und (5) der Beschleunigung zusammenhängt des Teilchens relativ zum System .
Für die Konfiguration der obigen Abbildung haben wir die folgende Rotationsmatrix
Ich glaube nicht, dass Sie viel Besseres tun können, als sich mit der Identität auseinanderzusetzen
Es kann hilfreich sein, dies in Matrixsprache umzuformulieren: für jeden Vektor , Es liest
(z.B. wenn , Dann
Das ist die Intuition hinter der Identität. Operativ ist es am einfachsten anzuwenden (ersetzen Sie einfach ), und es bietet eine eindeutige Möglichkeit, Änderungsraten von Vektorkomponenten von einem Rahmen zu einem anderen zu verbinden. Was gibt es nicht zu lieben?
Diese Gleichung stammt aus der Ableitung eines rotierenden Rahmens (wie Sie erwähnt haben). Es ist möglicherweise einfacher zu verstehen, wenn Sie sich die beiden Komponenten von ansehen
Alles beginnt mit der Positionskinematik. Betrachten Sie einen Punkt A mit Positionsvektor
Wo ist der Positionsvektor des Koordinatenrahmenursprungs und relativer Positionsvektor von A bzgl . O
Die zeitliche Ableitung von Ist , basierend auf Ableitungen auf rotierenden Rahmen , was die Unterscheidung der oben genannten als ermöglicht
Beachten Sie, dass
Und
also zusammen
Wenn der Punkt dann am Rahmen befestigt ist , Und
Was die Gleichung zu deiner Frage angeht, bin ich mir nicht sicher, ob sie hier denn zutrifft verwendet werden sollte die Relativgeschwindigkeit des Punktes und die relative Beschleunigung ignoriert mit der richtigen Gleichung übereinstimmen. Siehe auch hier und hier .
John Alexiou