Verallgemeinerung von F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2 ) in 3-Dimensionen in einer kompakten Notation

Question

Verallgemeinerung von F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2 ) in 3-Dimensionen in einer kompakten Notation

Erstarrung

Ab $F=ma=m\frac{dv}{dt}$ , in 1-Dimension, das ist leicht zu zeigen

\begin{matrix} (1) & F = M v \frac{D v}{D X} = \frac{M}{2} \frac{D}{D X} (v^{2}) . \end{matrix}

$F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2).\tag{1}$ Können wir diese Formel in 3 Dimensionen verallgemeinern? In 3D,

F = M \frac{D v}{D T}

$\textbf{F}=m\frac{d\textbf{v}}{dt}$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow F = M [\frac{\partial v}{\partial X} \dot{X} + \frac{\partial v}{\partial j} \dot{j} + \frac{\partial v}{\partial z} \dot{z}] \end{matrix}

$\Rightarrow \textbf{F}=m\Big[\frac{\partial\textbf{v}}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial\textbf{v}}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial\textbf{v}}{\partial z}\dot{z}\Big]\tag{2}$

Ist es möglich, (2) in einer kompakteren Schreibweise mit Vektoridentitäten zu schreiben?

Benutzer4552

Wenn Sie super schick werden wollen, können Sie dies in Indexnotation im Relativitätsstil schreiben als

F^{a} = m {\dot{r}}^{b} \partial_{b} v^{a}

$F^a=m\dot{r}^b\partial_b v^a$ .

Antworten (2)

Verallgemeinerung von F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2 ) in 3-Dimensionen in einer kompakten Notation

Wenn Sie super schick werden wollen, können Sie dies in Indexnotation im Relativitätsstil schreiben als $F^a=m\dot{r}^b\partial_b v^a$ .

DanielC · Answer 1

Ist das nicht in der Hydrodynamik so geschrieben

\vec{F} = M (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}

$\vec{F} = m \left (\vec {v}\cdot\nabla\right)\vec{v}$ ?

Ja das ist korrekt. Und dann können Sie es in 1/2 grad (v ^ 2) + (curl v) xv (mit 'x' dem Kreuzprodukt) umschreiben. Dies kommt der ursprünglichen Frage in 3D wahrscheinlich so nahe wie möglich
Das beantwortet die Frage nicht wirklich. Häh? Es beantwortet die Frage.

Señor O · Answer 2

Leider nein (soweit ich weiß). Bei höheren Dimensionen ist die $v\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$ Begriff wird durch Begriffe wie ersetzt $v_y\frac{\partial{v_x}}{\partial{y}}$

Zum Beispiel können Sie sehen, dass die x-Komponente der Kraft ist

$F_x = m \left( \frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}v_{x} + \frac{\partial{v_x}}{\partial{y}}v_{y} + \frac{\partial{v_x}}{\partial{z}}v_{z} \right )$

Sie könnten dies jedoch in Matrixform schreiben.

Verallgemeinerung von F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2 ) in 3-Dimensionen in einer kompakten Notation

Erstarrung

Benutzer4552

Antworten (2)

DanielC

lalala

Benutzer4552

Señor O

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