Skalarprodukt in Zylinderkoordinaten

Ich bekomme den Vektor:

$$\vec{V}{(r,θ,z)}=\frac{1}{r}\hat{e_r} + (r\cosθ)\hat{e_θ}+\frac{z^2}{r^2}\hat{e_z}$$

Ich möchte das Skalarprodukt${\vec{\nabla}}\cdot{\vec{V}}$

Wir wissen, dass in Zylinderkoordinaten:

$$\vec{\nabla}=\left<\frac{\partial}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial θ},\frac{\partial}{\partial z} \right>$$

So sollte das Produkt sein

$${\vec{\nabla}}\cdot{\vec{V}} =\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right) + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial θ}(r\cosθ)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2}{r^2}\right) = -\frac{1}{r^2}-\sinθ +\frac{2z}{r^2}$$

In den Antworten wird jedoch die folgende Antwort gegeben:

$${\vec{\nabla}}\cdot{\vec{V}}=\frac{1}{r}\Big\{\frac{\partial}{\partial r}(1)+\frac{\partial}{\partial θ}(r\cosθ)+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial z}(z^2)\Big\}=-\sinθ+\frac{2z}{r^2}$$

Ich verstehe nicht warum$\frac{1}{r}$ausgeklammert wurde und wie ist das möglich. Ich verstehe, dass Sie es für die partielle Ableitung in Bezug auf herausrechnen können$θ$Und$z$aber in der ersten, die in Bezug auf ist$r$, es sollte nicht ausgeklammert werden, es sollte differenziert werden. Irgendwelche Gedanken? Übersehe ich etwas oder ist ein Tippfehler in den Antworten?