Wie ist Gradient die maximale Änderungsrate einer Funktion?

Betrachten Sie eine$n$-dimensionaler Raum (zweidimensional im Bild) und let$f(\vec x)$eine nicht konstante Skalarfunktion sein, wie in Ihrem Fall eine Temperaturverteilung. Lassen$\vec y(t)$Sei eine beliebige Kurve im Raum, so dass die Funktion$f(\vec y(t))=c$entlang dieser Bahn konstant ist (die farbigen Linien).

Berechnen Sie nun das Skalarprodukt$\left\langle ., .\right\rangle$des Gradientenvektors$\vec \nabla f$(die roten Pfeile) an diesem Punkt ausgewertet$\vec y(t)$, mit dem Tangentenvektor$\vec Y(t):=\frac{\text{d}\vec y(t)}{\text{d}t}$entlang derselben Kurve

$$\left\langle \vec Y(t), \left(\vec\nabla f\right)_{\vec y(t)}\right\rangle :=\sum_{i=1}^n\ Y^{\ i}(t)\left(\nabla_i f\right)_{\vec y(t)}=$$ $$=\sum_{i=1}^n \frac{\text{d}y^i(t)}{\text{d}t}\left(\frac{\partial f}{\partial y^i}\right)_{\vec y(t)} =\frac{\text{d}f(\vec y(t))}{\text{d}t} =\frac{\text{d}c}{\text{d}t} =0.$$

Das Ergebnis, dass das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ist, bedeutet, dass der Gradient$\vec \nabla f$ist immer orthogonal zu der Richtung, in der sich die Funktion nicht ändert, dh$\vec Y(t)$. Es zeigt also in Richtung maximaler Veränderung. Auf dem Bild ist die Orthogonalität deutlich zu erkennen.

Und wenn sich die Funktion in Bezug auf räumliche Koordinaten schnell ändert, dann die Komponenten des Gradienten$\nabla_i f\equiv\frac{\partial f}{\partial y^i}$und daher wird der gesamte Gradientenvektor groß sein.

Beachten Sie auch, wie die Dimension$n$wurde in keiner wesentlichen Weise zur Ableitung der Aussage verwendet.

Die gleichung

${\rm d}T~=~ \nabla T \cdot {\rm d}{\bf r}$,

sagt, dass die Änderung in T, nämlich${\rm d}T$, ist das Skalarprodukt von 2 Vektoren,$\nabla T$Und${\rm d}{\bf r}$, was auch geschrieben werden kann als Betrag des 1. Vektors mal Betrag des 2. Vektors mal Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

${\rm d}T~=~ |\nabla T| |{\rm d}{\bf r}|\cos\theta$.

Nehmen wir nun an, dass wir die Länge des infinitesimalen Verschiebungsvektors fixieren, ihn aber bewegen können, indem wir seine Richtung ändern und uns somit ändern$\theta$. Das merkt man$dT$ist maximal wenn$\theta$Ist$0$.

$\theta=0$bedeutet, dass beide Vektoren die gleiche Richtung haben, und da$d{\bf r}$ist der Verschiebungsvektor dann bewegt man sich in diesem Fall in die gleiche Richtung$\nabla T$das macht$dT$maximal.

Daher können Sie interpretieren$\nabla T$als Vektor, dessen Richtung die Richtung ist, entlang der sich die Funktion ändert$T$ist maximal.

Schau mal auf http://en.wikipedia.org/wiki/Del .

Del oder$\nabla$, ist eine Verallgemeinerung des Gradienten auf mehr als eine Dimension. In einer Dimension$\nabla$ist das gleiche wie der Gradient.

Aus der elementaren Infinitesimalrechnung das totale Differential einer Funktion$f(x_1, x_2,...x_n)$wird von gegeben

$$\begin{align*}df &= \frac {\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2} dx_2~...+\frac{\partial f} {\partial x_n} dx_n\\&=\nabla f\cdot\vec {dx} \end{align*}$$

Für$df = 0$,$\nabla f$und das entsprechende Differenzial$\vec {dx}_{min}~~$sind also orthogonal zueinander, da ihr Skalarprodukt null ist. Das Differenzial$\vec{dx}_{max}$orthogonal zu$\vec {dx}_{min}$maximiert$df$, was bedeutet$\vec{dx}_{max}$ist parallel zu$\nabla f$. Damit wir schreiben können

$$\begin{align*}df_{max} &= \nabla f\cdot\vec {dx}_{max}\\ &= |\nabla f||\vec {dx}_{max}|\\ |\nabla f| &= \frac {df_{max}} {|dx_{max}|}\end{align*}$$

Deshalb$\nabla f$ist ein Vektor mit einer Größe gleich der maximalen Änderung in$df$wrt$|dx|$, und eine Richtung entlang$\vec {dx}_{max}$

Formal haben wir die symbolische Gleichung

$$\nabla T\cdot\mathrm d\mathbf r = \begin{pmatrix} \frac{\partial T}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial T}{\partial x^n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm dx^1 \\ \vdots \\ \mathrm dx^n \end{pmatrix} = \sum_i \frac{\partial T}{\partial x^i}\mathrm dx^i = \mathrm dT$$ Allerdings hilft uns das mit unserer Intuition nicht wirklich weiter.

Für eine genauere sowie intuitivere Definition müssen wir Differenzial und Gradient auswerten und (unter Verwendung der Kettenregel für die 2. Gleichheit) zu kommen

$$\begin{align*} \mathrm dT_{\mathbf r}(\mathbf v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big|_{t=0} T(\mathbf r + t\mathbf v) = \nabla T(\mathbf r)\cdot\mathbf v && \forall\mathbf r,\mathbf v\in\mathbb R^n \end{align*}$$ Wie wir hier sehen, ergibt das Differential (oder äquivalent das Skalarprodukt mit dem Gradienten) die (infinitesimale) Änderung von $T$während wir uns entlang der Kurve bewegen $t\mapsto \mathbf r + t\mathbf v$.

Nun können wir fragen, in welche Richtung$\mathbf v$,$||\mathbf v||=1$tut$T$am meisten ändern? Die Antwort geht offensichtlich in Richtung des Gradienten, da das Skalarprodukt maximal ist, wenn$\measuredangle(\mathbf v,\nabla T)=0$. Die Länge von$\nabla T$ist natürlich auch relevant: Sie misst die Stärke (oder Rate) dieser Veränderung.

Gefälle wie z$\nabla T$bezieht sich auf die Vektorableitung von Funktionen von mehr als einer Variablen. Physikalisch erklärt es die Änderungsrate der Funktion im Betrieb durch Gradientenbetrieb.

$\nabla T$ist ein Vektor, der in Richtung des größten Funktionszuwachses zeigt. Die Richtung ist bei lokalem Minimum und lokalem Maximum Null.

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Physikalische Bedeutung der Gleichung${\rm d}T~=~ \nabla T \cdot {\rm d}{\bf r}$:
${\rm d}T$ist die Projektion von$\nabla T$in der Richtung von${\rm d}{\bf r}$.