Was bedeutet es für eine physikalische Größe, wenn ihre gemischten zweiten partiellen Ableitungen ungleich sind?

Die Stellen in der Physik, an denen die Kommutierung partieller Ableitungen wichtig zu sein scheint, sind die Identitäten der Vektorrechnung. Die Situationen, in denen diese Identitäten zusammenzubrechen scheinen, sind, wenn es eine Art topologische Wicklung gibt. Dann pendeln die partiellen Ableitungen an fast allen Punkten, mit Ausnahme einiger kleiner Mengen, wo sie undefiniert sind, aber dennoch eine Bedeutung als Delta-Funktion erhalten können.

Betrachten Sie zum Beispiel das Vektorpotential$\mathbf{A}$und seine Beziehung zum Magnetfeld

Eine Möglichkeit könnte also darin bestehen, das Vektorpotential als kontinuierliche Funktion zu betrachten, die in Kyle Kanos 'Antwort erscheint

Stattdessen wird der magnetische Monopol durch das Vektorpotential eines Dirac-Strings beschrieben:

Die Tatsache, dass wir mehr als eine eichäquivalente Funktion benötigen, und die Tatsache, dass die Funktionen nicht an allen Stellen definiert sind, sind typisch für das Scheitern der Kommutierung von partiellen Ableitungen in der Physik.

Hier ist ein weiteres Beispiel. Gegeben eine Funktion$f(x,y)$von zwei Variablen

Nehmen Sie nun die Funktion$\phi(x,y)$die nur den Winkel von zurückgibt$0$zu$2\pi$. Es gibt eine Diskontinuität an der positiven x-Achse, wo$0$trifft$2\pi$, aber die Steigung von$\phi$kann hier noch fortlaufend definiert werden. Wir könnten eine zweite Funktion in Betracht ziehen$\phi^\prime$was stattdessen den Winkel im Bereich zurückgibt$-\pi$zu$3\pi/4$Verschieben der Diskontinuität auf die negative y-Achse. Diese Funktion hat den gleichen Gradienten wie$\phi$und ist wie das zusätzliche Eichäquivalent-Vektorpotential im obigen Dirac-String-Beispiel.

Wenn wir uns ansehen, wie man Steigungen und Locken in Zylinderkoordinaten nimmt

Aber obwohl die Kräuselung null zu sein scheint, eindeutig das Linienintegral von beiden$\phi$oder$\phi^\prime$um eine geschlossene Schleife, die den Ursprung enthält$2\pi$, was den Satz von Stoke zu verletzen scheint. Allerdings in jeder Spurweite der Winkel$\phi$und sein Gradient sind am Ursprung nicht definiert, und dort bricht die Kommutivität partieller Ableitungen zusammen. Da wir wissen, ist das Linienintegral jeder geschlossenen Schleife um den Ursprung$2\pi$das heisst

Dies mag physikalisch irrelevant erscheinen, aber in Supraflüssigkeiten die Funktion$\phi$ist der Ordnungsparameter, und sein Gradient ist die Suprafluidgeschwindigkeit. Das Suprafluid darf nur im Kern eines topologischen Defekts eine Vorticity ungleich Null (Einrollen der Geschwindigkeit) aufweisen. An der Grenze der Nulldicke ist der topologische Defekt genauso wie die Diskontinuität am Ursprung im obigen Beispiel.

Die allgemeine Anforderung, nach der Sie suchen, ist, dass die jeweilige Funktion Klasse ist$C^1$, wo

...wenn alles in Ordnung ist$p$Partielle Ableitungen, die an einem Punkt ausgewertet werden$\mathbf a$:

$$\frac{\partial^p}{\partial x_1^{p1}\partial x_1^{p2}\cdots\partial x_n^{pn}}f\left(\mathbf x\right)\vert_{\mathbf x=\mathbf a}$$ existieren und sind kontinuierlich, wo $p1,\,p2, ..., pn$, und $p$sind für alle wie oben $\mathbf a$in der Domäne, dann $f$ist nach Ordnung differenzierbar $p$in der gesamten Domäne und hat eine Differenzierbarkeitsklasse $C^p$.

So$C^1$Funktionen haben im Allgemeinen eine diskontinuierliche zweite Ableitung, wie gefordert. Wikipedia gibt als Beispiel für on die folgende Funktion an, die der Symmetrie der 2. Ableitung nicht gehorcht,

Dieser Math Overflow-Beitrag behandelt Funktionen, die überall differenzierbar sind, aber diskontinuierliche Ableitungen haben, aber es scheint, dass keine von ihnen wirklich physikalische Modelle sind. Eine Antwort besagt sogar,

So wie ich das sehe, sind Funktionen, die aber nicht differenzierbar sind$C^1$spielen in der Physik aus dem einfachen und einzigen Grund eine kleine Rolle, dass sie in der Mathematik eine kleine Rolle spielen.

Es ist also möglich, dass multivariate Funktionen das nicht sind$C^2$kann in der Physik nicht gefunden werden, aber wenn jemand ein Beispiel hat, würde ich die Ergänzung zu schätzen wissen.

Wenn Sie physikalisch sein wollen, müssen Sie die Ableitungen physikalisch interpretieren.

Wenn Sie bereits zwei Ableitungen genommen haben, können Sie sich fragen, ob es möglich ist, den Gradienten dieser zweiten Ableitungen zu nehmen. Wenn ja, dann pendeln die zweiten Ableitungen, wenn nicht, dann sind die zweiten Ableitungen seltsam (wenn etwas nicht seltsam wäre, könnten Sie den Gradienten nehmen).

Beachten Sie, dass Sie ein Vektorfeld haben, aber dass es nichts damit zu tun hat, ein Vektor zu sein. Skalare Felder wie Temperatur oder Druck können auch keine zweiten Ableitungen pendeln lassen.

Außerdem, wie nimmt man überhaupt partielle Ableitungen von Vektoren? Sie nehmen Ableitungen der drei Skalarfelder, die den Komponenten entsprechen (mit entsprechenden zusätzlichen Faktoren, wenn sich der Rahmen der Koordinatenvektoren ändert).

Die zweiten Ableitungen pendeln also nicht, wenn die zweite Ableitung seltsam ist. Das ist ziemlich vage. Aber hier ist ein Beispiel. Wenn Sie ein elektrisches Feld haben, dann hängt die erste Ableitung mit der Ladungsdichte zusammen, was also, wenn Sie eine Ladungsdichte wollen, deren Gradient unstetig ist. Dann sind bestimmte Kombinationen der zweiten Ableitungen des elektrischen Feldes diskontinuierlich, sodass einige von ihnen selbst diskontinuierlich sein müssen.

Wenn Sie also eine Ladungsdichte ohne zweite Ableitung wollen, dann hat das elektrische Feld möglicherweise keine pendelnden partiellen Ableitungen.

Das macht Sinn. Die ersten Ableitungen müssen in gewissem Sinne existieren (und denken Sie daran, dass Locken und Divergenzen auch dann existieren können, wenn die üblicherweise zu ihrer Herstellung verwendeten Teiltöne dies nicht tun), damit die Ableitungen des elektrischen Felds der Ladungsverteilung entsprechen können. Die zweiten Ableitungen des elektrischen Felds existieren möglicherweise nicht, wenn die Ladungsverteilung diskontinuierlich ist, aber wenn die Ladung einen Gradienten aufweist, sind die zweiten Ableitungen und der Gradient kontinuierlich, was gut ist. Es ist nicht genug. Wenn jedoch der Gradient der Ladungsverteilung diskontinuierlich ist, dann ist eine Kombination von zweiten Ableitungen des elektrischen Felds diskontinuierlich, so dass eine der zweiten Ableitungen des elektrischen Felds diskontinuierlich sein muss. Das bedeutet jedoch nicht, dass die Partials nicht pendeln, nur dass sie möglicherweise nicht pendeln.

Und es gibt Verallgemeinerungen zu partiellen Ableitungen (sogenannte schwache Ableitungen), die immer kommutieren, wenn sie Funktionen liefern, aber manchmal geben sie Verteilungen anstelle von Funktionen. Und das ist nur ihre Art aufzuhören. Schließlich kann man manchmal nicht einfach immer wieder ein Derivat nehmen.

Und für Leute, die davon ausgehen wollen, dass alles glatt ist, führt das manchmal dazu, dass sich Zeitreisen in einer Region bilden, in der Zeitreisen vermeidbar waren, indem die Dinge nicht glatt gemacht wurden möglich.

Das gesagt. Wenn Sie etwas ohne erste, zweite oder dritte Ableitung haben, fragen Sie sich: Gibt es etwas mit diesen Ableitungen, das experimentell genauso aussieht oder sich so verhält oder sehr ähnlich wie das, was ich habe, und wie wäre ich so sicher, dass ich das stattdessen nicht hätte? ?

Wenn es also etwas mit genügend Derivaten gibt, das dem nahe kommt, was Sie haben, ist es vielleicht tatsächlich das, was Sie haben. Achten Sie darauf, ob Sie etwas herstellen, das empfindlich auf Dinge reagiert, die Sie nicht kontrollieren können. Mangelnde Reproduzierbarkeit ist schließlich kein Freund der Wissenschaft.

Denken Sie daran, dass selbst das Fehlen einer regulären ersten partiellen Ableitung eines elektrischen Felds beispielsweise bei einer Oberflächenladungsverteilung auftritt. Sie können also leicht (mathematisch) eine kontinuierliche Ladungsverteilung erstellen und die Gradienten sogar so ausrichten, dass sie auf einer Oberfläche übereinstimmen, aber so eingerichtet werden, dass die zweiten Ableitungen nicht kontinuierlich sind und die gemischten Teiltöne nicht übereinstimmen, indem Sie nur die formen Ladungsverteilung.

Aber diese Ladungsverteilung ist eine, die Sie im Labor nur annähern können. Wie kann man vermeiden, dass es solche gibt, die dritte Ableitungen haben und nicht haben?

Sagen Sie oft, dass Sie nie genau wissen, was Sie haben, dass es immer einige Annäherungen gibt. Sie sagen also, Sie wollen ein Ding, das einige Ableitungen hat, und betrachten dann alle Dinge, bei denen es und seine ersten m Ableitungen alle ausreichend nahe an dem sind, was Sie sich vorgestellt haben, und stellen sich dann vor, ein zufälliges Ding aus dieser Menge zu verwenden.

Das ähnelt den Spezifikationen, die Sie in Ihren Labornotizen machen würden, dass Sie ein Material mit einem bestimmten Fehler auf eine bestimmte Größe bearbeiten und dann vielleicht auch möchten, dass die Kante bei einem Fehler ein gewisses Wackeln aufweist, und vielleicht möchten Sie das Wackeln, um sich bis zu einem Fehler nicht zu ändern. Aber irgendwann hast du aufgehört zu messen und zu spezifizieren und weißt oder kümmert dich nicht, was du hast. Wenn Sie Ihre Ergebnisse regelmäßig reproduzieren, spielte diese Ungenauigkeit der Spezifikation keine Rolle. Wenn Sie dies nicht können, stellen Sie möglicherweise fest, dass Sie nicht nur möchten, dass die Größe innerhalb von 1 mm liegt, sondern dass Sie auch die Kante benötigen, um nicht von einer Neigung herumzuspringen zu viel, oder vielleicht möchten Sie, dass sich die Steigung nicht zu stark ändert. Wenn es darauf ankommt, geben Sie sie an.

Denken Sie auch an die Unterscheidung zwischen einem makroskopischen (gemittelten) elektromagnetischen Feld und einem mikroskopischen (das um jedes einzelne Atom herum hochschießt). Außerdem ist ein Geschwindigkeitsfeld auch ein gemitteltes Feld, es ist nicht die Geschwindigkeit jedes Wassermoleküls in der Flüssigkeit.

Daher wird das Fehlen der Kommutativität normalerweise weggenommen. Entweder indem Sie zu schwachen Ableitungen wechseln oder Felder betrachten, die eine gewisse Differenzierbarkeit aufweisen, und dann das Zeug betrachten, das und seine Ableitungen dem, was Sie sich vorgestellt haben, ausreichend nahe kommen.

Oder stellen Sie einfach fest, dass Ihre mathematische Funktion nur ein Modell des tatsächlichen Setups war, sodass Details zu Grenzwerten an einem bestimmten Punkt möglicherweise den Rahmen Ihres Modells sprengen.

Zum Beispiel sind diese schwachen Ableitungen tatsächlich nur empfindlich für die durchschnittliche Ableitung in einem endlichen Bereich, sie kümmern sich nicht um einen Punkt.

Eine Unterbrechung im Wasserfluss könnte eine Wand oder eine Verstopfung sein, um die das Wasser immer noch herumkommt, aber nicht direkt durchfließt. Bei endlichem elektrischem Strom könnte es sich um eine Substanz mit einer anderen Leitfähigkeit handeln, insbesondere um Null oder ∞. Theoretisch wären die gemischten partiellen zweiten Ableitungen nicht im Allgemeinen gleich, nur an der Spitze einer Grenze wie dieser. Wenn man in der Praxis eine sogenannte physikalische Diskontinuität genau genug betrachtet, kann man feststellen, dass es sich nur um ein sehr hochwertiges Derivat handelt und überhaupt nicht um eine Diskontinuität, da die Dinge dazu neigen, zu verschwimmen, wenn man sehr genau hinschaut und keine hat scharfe Kanten. Ich bin mir nicht sicher, ob Diskontinuitäten tatsächlich in der Experimentalphysik existieren, aber wir können theoretisch darüber sprechen.

Singularitäten in Funktionen führen oft zu nicht kommutierenden zweiten Ableitungen. Was eine physikalische Interpretation betrifft, denke ich, dass die folgende Übung hilfreich sein kann:

1. Die partielle Ableitung kann nach First Principles geschrieben werden als df(x,y)/dx = (f(x+h,y)-f(x,y))/h, dh die Funktion wird um h und dann um inkrementiert Ableitung gefunden. (x,y+h). .(x+h,y+h)

   (x,y). .(x+h,y)

Wenn Sie den Teil in Bezug auf x und dann in Bezug auf y nehmen, bewegen Sie sich horizontal und dann vertikal. Im anderen Fall bewegt man sich zuerst vertikal und dann horizontal.

Für schöne stetige Funktionen erreicht man dieselbe Stelle, aber wenn die Funktion keine Singularitäten hat und die Ableitungen immer noch nicht kommutieren, dann bedeutet das, dass man sich in einem Raum befindet, in dem (x+y) != (y+x) Pendelräume können auch zu nicht-pendelnden Ableitungen führen.

Alle Derivate sind teilweise leid, ich lerne immer noch Latex, also leid für die seltsame Schriftart.