Physikalische Bedeutung der Divergenz des Konvektionsgeschwindigkeitsterms

Wenn ich die Divergenz des Konvektionsgeschwindigkeitsterms nehme, erhalte ich Folgendes:

∇ ⋅ [ u ⋅ ∇ u ] = ∂ ∂ X ich [ u J ∂ u ich ∂ X J ] = ∂ u J ∂ X ich ∂ u ich ∂ X ich + u J ∂ 2 u ich ∂ X J ∂ X ich = u ⋅ ∇ Q + ( ∇ u ) ⋅ ( ∇ u ) T
Wo Q = ∇ ⋅ u .

Ich weiß, dass der erste Term auf der rechten Seite den konvektiven Term für die Dilatationskomponente des Geschwindigkeitsfelds darstellt (aus der Helmholtz-Zerlegung), aber ich kann die physikalische Bedeutung des zweiten Terms nicht ganz verstehen. Der Geschwindigkeitsgradient ist ein Tensor 2. Ordnung, aber was bedeutet das Produkt eines Tensors 2. Ordnung mit seiner Transponierten physikalisch? Gibt es eine Möglichkeit, es zu manipulieren, um eine bessere physikalische Bedeutung daraus zu ziehen?

Im Allgemeinen finde ich es einfacher, aus der Summennotation eine Bedeutung zu gewinnen als aus der Vektornotation. Beachten Sie auch, dass Sie die Reihenfolge der Begriffe vom vorletzten Teil des Ausdrucks zum letzten Teil des Ausdrucks umgedreht haben. Das heißt, ich spiele damit und versuche herauszufinden, was der Begriff bedeutet ...
In welchen Situationen sind Sie daran interessiert, die Divergenz der Konvektionsgeschwindigkeit zu nehmen? Gibt es hier einen Anwendungsfall oder eine Referenz, der Sie folgen möchten? Ich weiß nicht, ob ich das schon mal gesehen habe, aber es kommt mir trotzdem irgendwie bekannt vor.
Ich schaue mir die Helmholtz-Zerlegung der Navier-Stokes-Gleichungen an. Grundsätzlich kann man die Gleichung in einen Solenoid- (Wirbel) und einen Rotations- (Dilatations-) Teil zerlegen. Das Obige ist ein Stück der Dilatationsform. In Bezug auf das Umdrehen der Bestellung - spielt es wirklich eine Rolle, da es sich um ein Punktprodukt handelt?
Leider sind meine Bücher über komprimierbare Turbulenz, die von der Aufspaltung der Felder sprechen, im Labor, also kann ich sie jetzt nicht nachschlagen, aber ich dachte, diese kommen mir bekannt vor. Und was ich mit den Begriffen umdrehen gemeint habe – der erste Begriff nach dem zweiten = ist das 2. Term nach dem letzten = . Mit anderen Worten, ∂ u J ∂ X ich ∂ u ich ∂ X J = ( ∇ u → ) ⋅ ( ∇ u → ) T . Ich wollte nur sicherstellen, dass allen klar ist, dass sich die Reihenfolge der Begriffe vom vorletzten zum letzten Schritt geändert hat.
Sollte der letzte Term nicht das Doppelpunktprodukt sein? Der erste Begriff, u ⋅ ∇ q ist ein Skalar (Tensor mit Rang Null), aber derzeit wäre der zweite Term ein Tensor mit Rang Eins. Also ich denke, es sollte sein ∇ u   :   ( ∇ u ) T , Rechts?
Es erscheint dieser Begriff, ∇ u   :   ( ∇ u ) T , entspricht einer Wirbeldehnung. Das legt zumindest die von @tpg2114 zitierte These nahe. Danke, übrigens, diese Arbeit enthält einige gute Sachen.
@honeste_vivere Das könnte mit der Idee der Dissipation der Dilatation übereinstimmen - die Wirbeldehnung könnte die Dilatation in Wirbel umwandeln, als Dissipationsterm in dieser Gleichung und als Quellterm in der Wirbelgleichung.
@honeste_vivere Ich glaube, es gab einen Tippfehler, als es in Latex konvertiert wurde - der Begriff ist du_i/dx_j*du_j/dx_i, was ein Tensor mit Rang Null ist, da es keine freien Indizes gibt. Ich hatte nie die Gelegenheit, dies zu posten, aber was interessant ist, wenn Sie den Term in kartesischen Koordinaten erweitern, erhalten Sie 3 quadratische Terme, die eine Dissipation der Dilatation implizieren, da sie niemals negativ sein können, aber Sie werden auch enden mit 3 anderen Begriffen, die negativ sein können oder nicht. Das verdeutlicht nicht wirklich alles, aber es zeigt definitiv, dass es eine dissipierende Komponente gibt.

Antworten (3)

Der Term in der Gleichung lautet:

∂ u ich ∂ X J ∂ u J ∂ X ich

Lassen Sie uns also einen Schritt zurücktreten und darüber nachdenken, welche Arten von Termen in Erhaltungsgleichungen vorkommen können. Es kann einen Produktionsterm, einen Transportterm und einen Dissipationsterm geben. Die Transportlaufzeit ist die u → ⋅ ∇ Q Begriff, den Sie notiert haben. Wenn Sie sich den vollständigen gekoppelten Satz von Gleichungen (Gleichungen für die Erhaltung von Vorticity und Dilatation) ansehen, gibt es einige Produktions- und Dissipationsterme, die die Dilationsgeschwindigkeit in Vorticity und umgekehrt übertragen.

Jetzt bin ich mit der Zerlegung hier speziell nicht vertraut. Wenn ich mir jedoch einige andere Gleichungen anschaue, mit denen ich vertraut bin (turbulente kinetische Energie), werde ich auf die Beine gehen und sagen, dass dieser Term ein Dissipationsterm ist. In allen Erhaltungsgesetzen, die ich gesehen habe, sind Begriffe, die wie der fragliche Begriff aussehen, Dissipationsbegriffe - dies beantwortet Ihre Frage, wie Sie über solche Begriffe im Allgemeinen nachdenken sollen.

Diese Hypothese scheint durch ein paar Papiere gestützt zu werden, die ich schnell gefunden und gescannt habe, und diese These in Gleichung 2.14d , die den fraglichen Term in einen Term für viskose Dissipation wirft.

Meine Stimme - es ist eine Auflösung der Dilatation.

Interessant erscheint, dass ein Dissipationsterm aus den Trägheitstermen entstehen würde, ohne spezifische Fluideigenschaften wie die Viskosität zu berücksichtigen (dh ohne Berücksichtigung jeglicher Art von molekularem Impulstransport usw. über die Fluidoberflächen). Es macht irgendwie Sinn, wenn man bedenkt, dass die beiden Tensoren relative Gradienten der Geschwindigkeit zueinander sind, aber ich würde gerne näher darauf eingehen.
@Kimusubi Ja, ich zögere genauso, es eine viskose Dissipation zu nennen, aber es wird mit diesen Begriffen in einen Topf geworfen. Da wir hier von einem "künstlichen" Ding sprechen, kann es sein, dass neben dem Transport auch nur die Konvektion der Dilatation zu einer Verringerung der Dilatation führt. In gewisser Weise würde dies bedeuten, dass keine Flüsse ohne einen Produktionsbegriff für immer drehungsfrei bleiben können, was ich irgendwie für plausibel halten könnte. Es ist sicherlich interessant, darüber nachzudenken.
Das ist interessant, so darüber nachzudenken. Aber würde dies nicht dem Helmholtz-Persistenztheorem widersprechen - in Abwesenheit von Viskosität muss der Rotationsfluss irrotational bleiben (wobei vorerst der deviatorische Spannungstensor ignoriert wird)? Ich beziehe mich speziell darauf, wo Sie gesagt haben, dass ein irrotationaler Fluss nicht für immer irrotational bleiben würde.
@Kimusubi Es kann nicht sein. Ich frage mich (ich weiß es nicht genau), wie dieser Dissipationsterm in einem irrotativen Fluss aussieht. Es kann in dem Fall 0 sein. Vielleicht ist dieser Term also nur dann ungleich Null, wenn die Strömung eine Rotationskomponente enthält. Auch hier weiß ich es nicht genau und spekuliere nur, da ich noch nie mit den zerlegten Feldern gearbeitet habe.
Könnten wir Divergenz in Bezug auf eine Gruppe von Menschen beschreiben, die eine Gasse hinunter und auf eine breitere Straße rennen? „Verzweigen“ sie sich am Übergang zwischen schmaler Gasse und breiterer Straße?
Meine Intuition sagt mir, dass es keinen Sinn macht, dies einen Dissipationsbegriff zu nennen . Allenfalls könnten wir dies vielleicht einen Dispersionsbegriff nennen , aber ich bin skeptisch. Ich kenne diesen Term als Quellterm in der Druck-Poisson-Gleichung für inkompressiblen Fluss. Dort sorgt dieser Term dafür, dass das Druckfeld so ist, dass die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeitsdivergenz verschwindet.
Ich habe vergessen hinzuzufügen, dass bei inkompressibler Strömung der Term in der zeitlichen Ableitung der Geschwindigkeitsdivergenz erscheint: We have
∂ ∂ T ( ∇ ⋅ u ) = − ( ∇ u ) : ( ∇ u ) T − 1 ρ Δ P
.

Ich entschuldige mich zunächst dafür, dass ich mit den Einzelheiten dieses Problems und der allgemein verwendeten Notation nicht vertraut bin. Ich werde daher die Notation und Terminologie verwenden, an die ich gewöhnt bin; wir können den Gradienten des Geschwindigkeitsfeldes zerlegen als

∂ J u ich = ω ich J + σ ich J + 1 3 δ ich J θ ,
Wo ω ich J = ∂ [ J u ich ] ist der antisymmetrische Teil (Vorticity), σ ich J = ∂ ( J u ich ) − δ ich J θ / 3 ist der symmetrische und spurfreie Teil (Schub) und θ = ∂ ich u ich ist die Spur/Divergenz (Erweiterungsparameter, Q in deiner Notation). Dann der Begriff
∂ ich u J ∂ J u ich = σ 2 + 1 3 θ 2 − ω 2 ,
Wo σ 2 = σ ich J σ ich J , Und ω 2 = ω ich J ω ich J .

Da der andere Term die Änderung des Expansionsparameters entlang des Flüssigkeitsstroms angibt, können wir interpretieren (indem wir die quadrierten Terme auf die andere Seite der Gleichung verschieben), dass Scherung und Expansion ungleich Null dazu dienen, die Expansion entlang des Flüssigkeitsstroms zu verringern , während eine Vorticity ungleich Null dazu dient, die Expansion entlang der Fluidströmung zu erhöhen.

Wir können vielleicht die Bedeutung dieses Begriffs finden, indem wir ein einfacheres Problem betrachten, eine inkompressible Flüssigkeit. Nimmt man in diesem Fall die Divergenz der Navier-Stokes-Gleichung, erhält man:

∇ 2 P = − ρ ( ∇ u ) ⋅ ( ∇ u ) T

Wir können sehen, wie der fragliche Begriff direkt mit dem Laplace-Operator des Druckfelds zusammenhängt. Da dieser Begriff in einem inkompressiblen Fluss existiert, können wir sagen, dass er eine physikalische Bedeutung hat, die über oder sogar anders als die Dilatation hinausgeht.

Wenn wir an eine Stokes-Strömung denken, bei der dieser Term aufgrund der Dominanz viskoser Terme als vernachlässigbar angesehen wird, dient die Nichtigkeit dieses Terms dazu, die Tatsache hervorzuheben, dass es keine Quelle oder Senke für konvektive Beschleunigung aufgrund von Druck gibt.

In einem Fall, in dem dies nicht Null ist, wie in einer turbulenten Strömung (hohe Reynolds-Zahl), sagt uns dies erstens etwas über die Nichtlokalitätseigenschaft des Druckfelds (die Sie sehen könnten, wenn Sie daran denken, die oben gezeigte Gleichheit zu integrieren) . Zweitens: Es sagt uns, wie Druck als Quelle oder Senke einer Flüssigkeit wirkt, nicht durch Ausdehnung oder Kontraktion, sondern durch die rein nichtlineare Natur der Turbulenz. Der Grund dafür ist die Tatsache, dass der fragliche Term hereinkommt, indem die Divergenz des konvektiven Beschleunigungsterms in die NS-Gleichung aufgenommen wird. Die Divergenz des Beschleunigungsfeldes an einem Punkt, wenn sie nicht Null ist, zeigt das Vorhandensein einer Beschleunigungsquelle oder -senke an.

Ihre Ideen zu diesem Begriff sind verwirrt: Der Begriff hat per se nichts mit Turbulenz zu tun (er ist in laminaren Strömungen genauso wichtig), und ich verstehe Ihre Überlegungen zu einer " Quelle oder Senke der konvektiven Beschleunigung aufgrund von Druck" nicht ".
@Pirx Vielen Dank, dass Sie auf meinen Fehler in Bezug auf laminare Strömungen hingewiesen haben. Es sollten eigentlich Stokes-Ströme sein, bei denen die Re-Zahlen so niedrig sind, dass der nichtlineare Begriff ( u ⋅ ∇ ) ( u ) vor dem viskosen Term abbrechen, in diesem Fall erhalten Sie ein linear variierendes Druckfeld entlang der Bewegungsrichtung (durch Lösen der resultierenden Laplace-Gleichung). Was Ihren zweiten Kommentar betrifft, so denke ich, dass der fragliche Term durch die Einnahme von eintritt Divergenz des konvektiven Beschleunigungsterms in der NS-Gleichung, die, wenn sie nicht Null ist, entweder als Quelle oder als Senke interpretiert werden kann.
Physikalische Bedeutung der Divergenz des Konvektionsgeschwindigkeitsterms
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