Warum enthalten die für die Hydrodynamik vereinfachten Navier-Stokes-Gleichungen keine Erdbeschleunigung?

Wenn Sie den Prozess der Nichtdimensionalisierung der Gleichungen durchlaufen, wird die Mathematik klarer. Wenn Sie mit der Impulsgleichung beginnen (ohne viskose Kräfte, weil sie für die Analyse nicht wichtig sind):

$$\frac{\partial u_i}{\partial t} + \frac{\partial u_i u_j}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + g$$

Führen Sie dann relevante Skalen ein, um Dinge nicht zu dimensionieren:$\bar{u}_i = u_i/u_0$,$\bar{x}_i = x_i/L$,$\bar{\rho} = \rho/\rho_0$,$\bar{g} = g/g_0$,$\tau = u_0/L t$und$\bar{p} = p/p_0$, du kriegst:

$$\frac{\partial \bar{u}_i}{\partial \tau} + \frac{\partial \bar{u}_i \bar{u}_j}{\partial \bar{x_j}} = -\frac{\text{Eu}}{\bar{\rho}} \frac{\partial \bar{p}}{\partial \bar{x}_i} + \frac{1}{\text{Fr}^2}\bar{g}$$

$\text{Eu} = \frac{p_0}{\rho_0 u_0^2}$ist die Euler-Zahl und$\text{Fr} = \frac{u_0}{\sqrt{g_0 L}}$ist die Froude-Zahl .

Die Froude-Zahl ist das Verhältnis von Konvektionskräften zu Gravitationskräften. Wenn Konvektionskräfte viel, viel größer als Gravitationskräfte sind, ist die Froude-Zahl groß und so$\frac{1}{\text{Fr}^2} \ll 1$, und der Gravitationsterm kann gegenüber den Konvektionstermen vernachlässigt werden. Auf diese Weise können wir mathematisch rechtfertigen, den Gravitationsterm fallen zu lassen, wenn die Konvektionskräfte groß sind.

Die NS-Gleichungen enthalten den Gravitationsterm, siehe Wikipedia -Eintrag, wo er als Körperkraftterm enthalten ist .

Unter bestimmten Bedingungen kann es vernachlässigt werden: große Froude-Zahl (wie tpg2114 zeigte) oder Hydrostatik (bei der die Schwerkraft durch den Druckgradienten ausgeglichen wird) oder horizontale Strömungen ($g$in$z$-Richtung, aber Strömung ist in$x,\,y$Flugzeug). Es kann auch in andere Begriffe aufgenommen werden: Da die Schwerkraft konservativ ist, kann es in den Druckgradientenausdruck für inkompressible Strömungen aufgenommen werden.

$$-\nabla w+\mathbf g=-\nabla(w+\phi)=-\nabla w'.$$ wo $w=p/\rho$, aber das würde wirklich nicht "ignoriert", wie Sie vorgeschlagen haben.

Ein pädagogischer Grund könnte sein, dass die Lösung in einem Test oder einer Hausaufgabe komplexer wäre als vernünftigerweise erwartet.