Stokessches Gesetz Proportionalität zum Radius

Gibt es eine logische Erklärung, warum Stokes zieht

F D = 6 π R η v

ist proportional zum Radius, R der Kugel?

Naiverweise hätte ich erwartet, dass es proportional zum Querschnitt ist, also zu R 2 .

Wenn die Kraft nur von Viskosität, Geschwindigkeit und Kugelgeometrie abhängt, was sagt Ihnen die Dimensionsanalyse über den erforderlichen Exponenten von R aus?
@ChesterMiller: Nun ja. Aber woher weiß ich, dass es (nur) auf diese Größen ankommt?
Sie haben gefragt, wie es von R und nicht von R ^ 2 abhängt, also habe ich in diesem Zusammenhang geantwortet. Welche anderen Parameter könnten Ihrer Meinung nach beteiligt sein? Wissen Sie, wie man eine Dimensionsanalyse mit dem Buckingham-Pi-Theorem durchführt?

Antworten (2)

Die Antwort auf Ihre Frage finden Sie in Abschnitt 2.3 dieses Dokuments von Lagree.

Kleine Re fließt

Im Wesentlichen ist der Luftwiderstand auf der Kugel gegeben durch F D = 6 π R η v denn die Randbedingungen an der Geschwindigkeit an der Kugeloberfläche und im Unendlichen sorgen dafür, dass Druck und Schubspannung wie skaliert 1 / R 2 . Wenn die Druck- und Scherspannung über die Oberfläche der Kugel integriert werden, stellt man fest, dass die Widerstandskraft mit skaliert R , der Radius der Kugel.

Diese Antwort fasst die Ableitung des Stokes-Gesetzes zusammen, gibt jedoch IMO keinen Einblick, warum das Ergebnis für niedrige und hohe Reynolds-Zahlen unterschiedlich ist.
@sammygerbil, es sei denn, ich habe eine Bearbeitung verpasst, ich glaube nicht, dass eine Erklärung für High Re in der Frage enthalten war.
Bei hohem Re ist der Luftwiderstand gemäß der Intuition des Benutzers proportional zur Fläche. Der Benutzer bittet um Einsicht, warum diese Intuition nicht für niedrige Re gilt.

Betrachten Sie diese alternative Form des Stokes-Widerstands:

F D = 6 π μ R v = 6 π μ v R R 2 ∼ τ w A
Wo τ w ∼ μ v R ∝ R − 1 ist ungefähr die Größe der Schubspannung an der Oberfläche der Kugel und A ∝ R 2 ist die Oberfläche der Kugel.

Offensichtlich handelt es sich um eine algebraische Kombination aus Schubspannung und Oberfläche, die zu einer linearen Abhängigkeit führt R .

Unklar. Wo tut C D ∼ R e − 1 komme aus? Ist das nicht nur gesagt F D ∝ R ohne Erklärung, worum geht es in der Frage?
Ich denke, der Benutzer fragt nach Intuition, physischer Einsicht. In Ihrer Bearbeitung kann ich verstehen τ = F / A aber ich verstehe nicht warum τ ∼ μ v R .
@sammygerbil - Scherspannung ist definiert als τ w = − μ ∂ u ∂ R w , da v Und R die charakteristischen Geschwindigkeits- und Längenskalen sind, folgt daraus näherungsweise τ w ∼ μ v R .
Das macht sehr viel Sinn. Ich hatte den Geschwindigkeitsgradienten vergessen. Deine Annäherung gefällt mir v R . Ich bin mir nicht sicher, ob der erste Teil Ihrer Antwort (für großes Re) tatsächlich benötigt wird.
Stokessches Gesetz Proportionalität zum Radius
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