Intuitive Erklärung des Poiseuilleschen Gesetzes – warum r4r4r^4?

Eine schlupffreie Bedingung erfordert, dass die Geschwindigkeit ist$0$an den Grenzen, dadurch sieht man intuitiv, dass sich das Geschwindigkeitsprofil verhalten muss$a^2-r^2$(mindestens als führende Begriffe in seiner Erweiterung), mit$a$der Radius des Rohres.

Um den hydraulischen Widerstand zu erhalten, benötigen Sie den Massenstrom: Integrieren$a^2$Und$r^2$In einem Abschnitt (Kreis) erhalten Sie Begriffe$a^4$: Der Massenfluss ist in Druckabfallzeiten$a^4$, daher die Abhängigkeit vom hydraulischen Widerstand.

Man kann es sich vielleicht so vorstellen$a^{2+d}$, wobei 2 aus dem quadratischen Profil und stammt$d$ist die Dimension des Raums: In einem Hele-Shaw-Fluss haben Sie einen Fluss$h^3$.

Nicht turbulente Strömung durch ein Rohr mit Radius$r$ist proportional zum Querschnitt$\pi r^2$mal der durchschnittlichen Strömungsgeschwindigkeit. Letztere ist proportional zur Zeit$t$Es dauert, bis der Impuls in der Flüssigkeit zur Wand diffundiert:$t \approx (1/\nu) r^2$. Hier$\nu$ist die kinematische Viskosität ($\eta/\rho$). Daraus folgt, dass der Fluss (Fläche mal Geschwindigkeit) proportional ist$r^4$.