Was stellt die Reynoldszahl einer Strömung physikalisch dar?

Aus dem Wikipedia-Artikel zur Reynolds-Zahl:

In der Strömungsmechanik ist die Reynolds-Zahl (Re) eine dimensionslose Zahl, die ein Maß für das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften angibt und folglich die relative Bedeutung dieser beiden Arten von Kräften für gegebene Strömungsbedingungen quantifiziert.

Zusätzlich zur Messung des Verhältnisses von Trägheits- zu viskosen Kräften in einer Strömung können die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen in dimensionsloser Form geschrieben werden, sodass der einzige Parameter die Reynolds-Zahl ist (ohne Körperkräfte). Das ist sehr schön, weil es die Grundlage für die Gültigkeit von Windkanaltests ist.

Angenommen, wir möchten die Aerodynamik der Umströmung einer Boeing 747 messen. Dafür gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten:

1. Bauen Sie Ihre eigene 747 in voller Größe, instrumentieren Sie sie und fliegen Sie damit. (extrem teuer)
2. Bauen Sie ein kleines Modell einer 747, instrumentieren Sie es, testen Sie es in einem Windkanal (viel weniger teuer)

Aber woher wissen wir, dass die Strömung, die wir im Windkanal messen, auch wirklich im Flug passiert? Wir gleichen die Reynolds-Zahlen ab und die exakt gleichen Gleichungen modellieren beide Situationen – daher muss die Aerodynamik gleich sein. (Ignorieren von Kompressibilitätseffekten.)

Die Reynoldszahl ist definiert als:

$$\text{Re} = \frac{ v D }{ \nu }$$ wo $v$ist die charakteristische Geschwindigkeit für die Strömung, $D$ist eine charakteristische Größe und $\nu$ist die kinematische Viskosität.

Nun, warum sollten wir uns darum kümmern? Warum ist die Reynoldszahl wichtig? Nun, das erste, was zu erkennen ist, ist, dass die Reynolds-Zahl eine dimensionslose Zahl ist. Das bedeutet, dass es eine gewisse Kraft hat, die dimensionale Zahlen nicht haben. Es ist eine reine Zahl und hängt in keiner Weise von Ihrer speziellen Wahl der Einheiten ab. Dies bedeutet, dass es eine Art intrinsische oder universelle Bedeutung außerhalb menschlicher Konstrukte hat.

Insbesondere kann man sich vorstellen, dass die Reynolds-Zahl die relative Geschwindigkeit der Strömung misst. Wir würden erwarten, dass die Physik von Flüssigkeiten für langsame und schnelle Strömungen unterschiedlich sein sollte, aber diese Frage an und für sich ist nicht gut definiert. Langsam oder schnell im Vergleich zu was ? Das sagt uns die Reynoldszahl. Es sagt uns, ob die Strömung langsam oder schnell ist, indem es ein natürliches dimensionsloses Maß für die Strömungsgeschwindigkeit bildet. Da es sich um eine reine Zahl handelt, erwarten wir qualitativ unterschiedliche Verhaltensweisen, wenn$\text{Re} \ll 1$und$\text{Re} \gg 1$.

Und genau das beobachten wir. Die niedrige Reynoldszahlgrenze entspricht Dingen wie Murmeln, die in Maissirup fallen, oder Wolkentröpfchen in der Luft oder Bakterien in Wasser. Dies sind langsame viskose Strömungen, bei denen die Widerstandskräfte proportional zur Geschwindigkeit sind.

Auf der anderen Seite haben wir in der oberen Strömungsgrenze eine turbulente Strömung, bei der hinter unserem Objekt oder um Kanten in Rohren Wirbel erzeugt werden. Dies ist die allgemeine Grenze, der die meisten Dinge in der Luft auf menschlicher Ebene entsprechen, also sind Sie mit turbulent vertraut fließen intuitiv. In dieser Grenze ist der Luftwiderstand proportional zu$v^2$. Große Dinge wie Menschen befinden sich selbst bei Geschwindigkeiten von nur 0,1 m/s oder so in diesem turbulenten Regime in der Luft. Dies ist die Grenze, bei der die Viskosität unwichtig wird, und zum größten Teil können wir uns das Fließen in einer Flüssigkeit so vorstellen, dass die Flüssigkeit einfach vor unseren interessierenden Körpern aufgewirbelt wird.

Betrachten Sie zum Beispiel die von einer Kugel empfundene Widerstandskraft als Funktion der Reynoldszahl (aus Wikipedia ) .

In der unteren Grenze der Reynoldszahl skaliert der Luftwiderstandsbeiwert als$\text{Re}^{-1}$während es in der oberen Grenze ungefähr konstant ist.

Impulsfluss

Betrachten Sie es anders. Die kinematische Viskosität ist die Diffusionskonstante für den Impuls in einer Flüssigkeit. Es gibt an, wie schnell sich der Impuls aufgrund von Kollisionen zwischen den verschiedenen Molekülen in einer Flüssigkeit ausbreitet. Werfen wir einen Blick auf ein paar relevante Zeiten für den Flüssigkeitsfluss.

Das bemerken wir zunächst$\nu/D$hat die Dimension einer Geschwindigkeit, also$D^2/\nu$hat die Dimensionen der Zeit. (Hier$D$ist eine charakteristische Größe des Objekts und$\nu$ist die kinematische Viskosität). Was stellt diese Zeit dar? Da die kinematische Viskosität eine Diffusionskonstante für Impuls ist, ist das Verhältnis$D^2/\nu$gibt uns die Zeitskala für den Impuls an, um sich um eine charakteristische Distanz zu bewegen$D$. Seit$D$die Größe unseres Objekts ist, sollte dies ungefähr der Zeit entsprechen, die es dauert, bis die Anwesenheit des Objekts durch die Flüssigkeit von einem Ende des Objekts zum anderen übertragen wird. Es ist die Zeit, die die Flüssigkeit benötigt, um um das Objekt herum zu "fließen". (Genauer gesagt ist es die Zeit, die die Impulsstörungen in der Flüssigkeit benötigen, um das Objekt zu umströmen).

Aber es gibt noch eine andere charakteristische Zeit:$D/v$. Diese zweite Zeit entspricht der Zeit, die ein Objekt benötigt, um sich um eine Distanz zu bewegen, die seiner Größe entspricht.$v$ist die Geschwindigkeit, mit der es sich bewegt (relativ zur Flüssigkeit) und$D$ist seine Größe, also bewegt es sich eine Strecke$D$rechtzeitig$D/v$.

Die Reynolds-Zahl ist das Verhältnis dieser beiden Zeiten

$$\text{Re} = \frac{ D^2 / \nu}{ D/v} = \frac{ v D }{ \nu}$$ Es misst also das Verhältnis der Zeit, die die Flüssigkeit benötigen würde, um ein Objekt zu umfließen, zu der Zeit, die das Objekt benötigt, um sich um eine Distanz zu bewegen, die seiner Größe entspricht. Wenn dieses Verhältnis groß ist, erwarten wir hier eindeutig, dass sich die Flüssigkeit überhaupt nicht aus dem Weg bewegt und nur mitgerissen wird, während wir bei einem niedrigen Verhältnis eine merkliche Strömung um das Material herum erwarten.

Klein beiseite

Tatsächlich können Sie mit dieser Idee die normale Luftwiderstandsgleichung für die Kraft "ableiten". Wir können im einfachsten Fall davon ausgehen, dass ein Ball, der durch Luft fliegt, einfach auf alle Luftmoleküle vor ihm stößt. Jedes dieser Moleküle vermittelt eine Impulsänderung von$mv$zum Objekt (wo$m$ist die Masse eines Luftmoleküls). Wie viele Moleküle treffen wir? Nun, wenn wir eine Zeit lang umziehen$\Delta t$, wenn unser Objekt eine Querschnittsfläche von hat$A$, fegt es ein Volumen von$A v \Delta t$, also ist die Masse der Luft in diesem Volumen$\rho A v \Delta t$, also die Anzahl der Luftmoleküle$\rho A v \Delta t / m$. Die totale Veränderung in unserer Dynamik ist

$$\Delta p = ( \rho A v dt / m ) ( m v ) = 2 \rho A v^2 \Delta t$$ und wir wissen, dass Kraft die Änderungsrate des Impulses ist $$F = \frac{ \Delta p }{ \Delta t } = \rho A v^2$$ was richtig ist außer einem Faktor 2 und einem Luftwiderstandsbeiwert, der aus dimensionalen Gründen nur von der Eigenschaft unseres Körpers (Form, Oberfläche) und der Reynoldszahl abhängen sollte.

Navier Stokes

Wir können auch die Bedeutung der Reynolds-Zahl direkt in der Navier-Stokes-Gleichung erkennen. Wenn Sie mit der Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Strömung beginnen:

$$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + ( \vec v \cdot \nabla )\vec v = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \vec v, \qquad \nabla \cdot \vec v = 0$$ und entdimensionalisieren Sie sie, indem Sie eine charakteristische Größe wählen $D$und Geschwindigkeit $V$, erhalten Sie: $$\frac{\partial \vec v}{\partial t} + ( \vec v \cdot \nabla) \vec v = - \nabla p + \frac{1}{\text{Re}} \nabla^2 \vec v, \qquad \nabla \cdot \vec v = 0$$ Wobei hier deutlich wird das die Reynoldszahl gerade die Bedeutung der ist $\nabla^2 v$Term in der Gleichung. Das ist, ob Sie den Laplace des Geschwindigkeitsfelds berücksichtigen müssen. Das heißt, wie sehr die Flüssigkeit versucht, ihre Geschwindigkeiten in nahe gelegenen Regionen konsistent zu machen. Wenn die Reynoldszahl hoch ist, fällt dieser Term weg, sodass wir sehr starke lokale Änderungen im Geschwindigkeitsfeld haben können, dh turbulente Strömung.