Warum ist die Reynolds-Zahl „so wie sie ist“? Warum ist seine Ordnung so, wie sie ist?

Die Reynolds-Zahl, mit$\rho$die Dichte,$u$die Geschwindigkeitsgröße,$\mu$die Viskosität u$L$eine charakteristische Längenskala (z. B. Kanalhöhe oder Rohrdurchmesser) ist gegeben durch

$$\text{Re}=\frac{\rho~u~L}{\mu}.$$ Dies ist eine dimensionslose Beziehung des Verhältnisses der Trägheitskräfte ( $\rho u u$) zu viskosen Kräften ( $\mu\frac{u}{L}$). Es bedeutet daher die relative Bedeutung von Trägheitskräften gegenüber viskosen Kräften.

Im laminaren Regime dominieren viskose Kräfte (d.h$\text{Re}\ll 1$), während im turbulenten Regime Trägheitskräfte dominieren (dh$\text{Re}\gg 1$). Beim Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung beginnen Trägheitskräfte, viskose Kräfte zu überholen, was einfach bedeutet, dass die Viskosität Geschwindigkeitsgradienten nicht mehr in eine glatte laminare Strömung glätten kann (außer in der Nähe einer Grenze, wo sie noch wichtig sind) und Trägheit der Strömung verursacht es „stolpert“ über sich selbst und verursacht Wirbel und im Allgemeinen chaotisches Verhalten, das mit Turbulenzen verbunden ist.

Die Reynolds-Zahl ergibt sich aus einer Dimensionsanalyse der hydrodynamischen Gleichungen, die die Strömung bestimmen (dh die Navier-Stokes-Gleichungen). Nehmen wir einen stetigen Fluss an (z$\partial_t\mathbf{u}=0$)

$$\rho~\mathbf{u}\cdot\mathbf{\nabla}\mathbf{u}=-\mathbf{\nabla}p + \mu~\mathbf{\nabla}^2\mathbf{u}.$$

Nicht-Dimensionalisieren durch Definieren$\bar{x}=\frac{x}{L}$,$\bar{\mathbf{u}}=\frac{\mathbf{u}}{U}$Und$\bar{p}=\frac{p}{P}$Wo$U$Und$P$charakteristische Geschwindigkeits- bzw. Druckskalen sind, erhalten wir:

$$\rho~\frac{U^2}{L}~\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\frac{P}{L}~\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \mu \frac{U}{L^2}~\bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

Wir können dies vereinfachen, indem wir durch dividieren$\mu\frac{U}{L^2}$und definieren$P=\mu\frac{U}{L}$zu bekommen:

$$\text{Re}~\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

was die Reynolds-Zahl ergibt. Für$\text{Re}\ll 1$, wo die Viskosität dominiert, sehen wir, dass der konvektive Term auf der linken Seite im Vergleich zum Druckgradienten und dem viskosen Spannungstensor auf der rechten Seite vernachlässigbar wird.

Für$\text{Re}\gg 1$Wir können dasselbe tun, außer dass wir dann durch dividieren müssen$\rho\frac{U^2}{L}$und definieren$P=\rho U^2$zu bekommen:

$$\bar{\mathbf{u}}\cdot\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{\mathbf{u}}=-\bar{\mathbf{\nabla}}\bar{p} + \frac{1}{\text{Re}}\bar{\mathbf{\nabla}}^2\bar{\mathbf{u}}$$

Nun wird der viskose Spannungstensor rechts vernachlässigbar gegenüber dem Druckgradienten und dem Konvektionsterm links.

Beachten Sie die charakteristische Druckskala$P$wurde in einer viskosen und Trägheitsskala definiert, abhängig davon, in welchem ​​Regime wir uns befanden. Dies ist notwendig, da es erforderlich ist, dass der dimensionslose Druckgradient von der gleichen Größenordnung wie mindestens ein anderer Term ist.

Beachten Sie auch, dass echte Turbulenzen von Natur aus instabil sind. Meine obige Behandlung der stetigen Navier-Stokes-Gleichungen für verschiedene Regime bestand darin, sich auf die Rolle der Reynolds-Zahl zu konzentrieren und sie einfach so kurz wie möglich zu halten.

Die Frage, die Sie stellen, ist eigentlich die zentrale Frage einer riesigen Teildisziplin der Fluiddynamik. Einige haben es sogar als „das letzte große ungelöste Problem in der klassischen Physik“ bezeichnet. Wenn Sie eine vollständige Antwort erhalten, lassen Sie es mich bitte wissen! (Und sag es niemandem weiter. Bleib einfach unter uns, eh?)

Generell gibt es immer kleine Schwankungen in jeder Strömung, auch wenn die Strömung sehr laminar ist. (Nicht zuletzt gibt es zumindest thermische Schwankungen.) In Laminarströmungsregimen, was im Allgemeinen bei niedrigem Re bedeutet, dämpfen diese Schwankungen schnell. Bei höherem Re wird die Viskosität relativ weniger wichtig und diese Schwankungen können instabil werden. Zum Beispiel kann die Scherströmung in der Nähe der Wand eines Rohrs zu Wirbelröhren aufrollen, und wenn sie nicht gedämpft werden, können sie zu Hufeisen- und dann zu Haarnadelformen gestreckt werden, und jetzt haben Sie eine kleine Struktur mit hoher lokaler Scherung die sich etwas von der Wand wegbewegt hat. Der Prozess kann sich in der Nähe dieser Strukturen wiederholen, und wenn er schnell wächst und sich vermehrt, entsteht eine turbulente Strömung. Das ist nur ein Beispiel,

Es gibt (noch) keine einheitliche Theorie der Instabilität und damit auch keine allgemeingültige Antwort darauf, wann oder warum Turbulenzen entstehen. Es ist ein Problem, über das viele große Köpfe, einschließlich Heisenberg und Feynman, nachgedacht haben, aber es ist immer noch offen. Selbst in einer bestimmten Situation, wie z. B. der Rohrströmung, sind die Details immer noch schlecht verstanden. Aber Sie können sehen, warum ein höherer Re im Allgemeinen dazu neigt, Turbulenzen wahrscheinlicher zu machen – weil bei einem höheren Re die Dämpfung geringer ist und daher eine größere Tendenz zur Instabilität besteht. Sie können auch sehen, warum der Übergang zur Turbulenz empfindlich von den Details der Strömung abhängt; Wenn zum Beispiel die Wände eines Rohrs auch nur ein bisschen rau sind, können sich leichter Instabilitäten aufregen und Turbulenzen bilden, als wenn sie extrem glatt sind.