Gibt es einen Widerspruch zwischen der Kontinuitätsgleichung und dem Poiseuilles-Gesetz?

Question

Gibt es einen Widerspruch zwischen der Kontinuitätsgleichung und dem Poiseuilles-Gesetz?

Nova

Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass die Durchflussrate in verschiedenen Bereichen eines Rohrs erhalten bleiben sollte:

Q = v_{1} A_{1} = v_{2} A_{2} = v π R^{2}

$Q = v_1 A_1 = v_2 A_2 = v\pi r^2$

Aus dieser Gleichung können wir ersehen, dass Geschwindigkeit und Rohrradius umgekehrt proportional sind . Verdoppelt man den Radius, so vervierfacht sich die Strömungsgeschwindigkeit.

Eine andere Möglichkeit, die mir beigebracht wurde, die Durchflussrate zu beschreiben, ist das Poiseuilles-Gesetz:

Q = \frac{π R^{4} Δ P}{8 η L}

$Q = \frac{\pi r^4\Delta P}{8\eta L}$

Wenn ich also die Definition der Durchflussrate der Kontinuitätsgleichungen in das Poiseuilles-Gesetz einfügen würde:

v A = v π R^{2} = \frac{π R^{4} Δ P}{8 η L}

$vA = v\pi r^2= \frac{\pi r^4\Delta P}{8\eta L}$

Deshalb:

v = \frac{R^{2} Δ P}{8 η L}

$v = \frac{ r^2\Delta P}{8\eta L}$

Nun ist in diesem Fall die Geschwindigkeit proportional zum Radius des Rohres . Verdoppelt man den Radius, so vervierfacht sich die Geschwindigkeit.

Was verstehe ich hier falsch? Ich würde eine konzeptionelle Erklärung bevorzugen, da ich der Meinung bin, dass diese Gleichungen wahrscheinlich mit unterschiedlichen Annahmen / in unterschiedlichen Kontexten verwendet werden.

Manvendra Somvanshi

Die erste Gleichung gilt für eine nicht viskose Strömung, während das Poiseuilles-Gesetz für eine viskose Strömung von Wasser in einem zylindrischen Rohr gilt.

Gert

Sie missverstehen Hagen-Poiseuille. HP berücksichtigt den Druck, aber Sie scheinen es nicht zu tun.

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Gibt es einen Widerspruch zwischen der Kontinuitätsgleichung und dem Poiseuilles-Gesetz?

Die erste Gleichung gilt für eine nicht viskose Strömung, während das Poiseuilles-Gesetz für eine viskose Strömung von Wasser in einem zylindrischen Rohr gilt.
Sie missverstehen Hagen-Poiseuille. HP berücksichtigt den Druck, aber Sie scheinen es nicht zu tun.

Schrey · Answer 1

Wenn du aufschreibst $Q = vA$ , ist implizit, dass das Geschwindigkeitsprofil über den Querschnitt A gleichmäßig ist (und rein senkrecht dazu).

Allgemein,

Q = \int v \cdot D A

$Q = \int \mathbf{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}$

Das impliziert das nicht mehr $v \propto \frac{1}{R^2}$ .

Wenn wir davon ausgehen $\mathbf{v}$ hat eine rein radiale Abhängigkeit und ist mit ausgerichtet $\mathrm{d}\mathbf{A}$ wie im Poiseuille-Fluss, dann haben wir:

Q = 2 π \int_{0}^{R} v (R) R D R

$Q = 2\pi \int_0^R v(r) r \mathrm{d}r$

Chet Miller · Answer 2

Für einen festen Volumendurchsatz Q gilt: $\Delta P$ sinkt als $r^4$ , also nimmt v ab als $r^2$ , genau das, was Sie von der Kontinuitätsgleichung erwarten würden.

Gibt es einen Widerspruch zwischen der Kontinuitätsgleichung und dem Poiseuilles-Gesetz?

Nova

Manvendra Somvanshi

Gert

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Schrey

Chet Miller

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