Wie kann ein Gas Zugspannungen aufnehmen?

Question

Wie kann ein Gas Zugspannungen aufnehmen?

Bryson S.

Beim Durcharbeiten einer rigorosen Ableitung der komprimierbaren Navier-Stokes-Gleichungen finde ich, dass der Impulsfluss in X-Richtung nicht nur durch den normalen Druckgradienten angetrieben werden sollte $\frac{\partial p}{\partial x}$ und Scherspannungsterme $\frac{\partial(\tau_{yx})}{\partial x}$ Und $\frac{\partial(\tau_{zx})}{\partial x}$ , sondern auch durch den Gradienten der Normalspannung $\frac{\partial(\tau_{xx})}{\partial x}$ . Mir ist intuitiv klar, wie benachbarte Schichten, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, Impuls über ihre Grenzfläche übertragen können, und daher sind die Scherspannungsterme in der Impulsgleichung leicht verständlich. Der Begriff der Normalspannung hingegen ist weit weniger intuitiv, weil ich nicht sehen kann, wie eine sich frei verformende Flüssigkeit Zugspannungen aushalten kann. Positive Normalspannungen (dh Kompression) sind nicht so schwer zu verstehen, aber es erweist sich als äußerst schwierig, sich vorzustellen, dass ein Element einer Flüssigkeit ein benachbartes Element auf eine Weise „anzieht“, die auch nur annähernd analog zum Verhalten eines Festkörpers unter den gleichen Bedingungen ist . Mir ist auch der Unterschied zwischen "Druck" und "Normalspannung" in der Flüssigkeit unklar. Wie genau unterscheiden sich diese Begriffe? Ich interessiere mich hauptsächlich für Gase, nicht für Flüssigkeiten.

John Alexiou

Eine Flüssigkeit kann nur den Kompressionsmodul tragen

D v = - K v D P

${\rm d}V = -K V {\rm d} P$

Bryson S.

Wenn sich der Begriff der normalen Spannung letztendlich auf den Kompressionsmodul und die volumetrische Dehnung bezieht, können Sie einen physikalischen Einblick geben, wie sich dies tatsächlich manifestiert?

John Alexiou

Ich denke, wenn Sie auf alle Seiten eines Würfels gleichen Druck ausüben, wird es nur eine Volumenänderung und keine Formänderung geben. Es wird keinen "Fluss" geben, sondern nur eine Gesamtskalierung.

Phil Frost

Ist das mehr als das alltägliche Konzept des Saugens?

Bryson S.

@Phil Frost Suction sind nur relative Druckunterschiede. Was ich spreche, läuft effektiv auf Unterdruck (Spannung) hinaus.

tpg2114

@BrysonS. Wer sagt, dass ein Gas einen Unterdruck aushalten kann? Es kann Kräfte unterstützen, die den Druck reduzieren, aber niemals auf 0.

Bryson S.

Das ist genau meine Frage, sind wir sicher , dass ein Gas keine Zugspannung aushalten kann?

Antworten (2)

Wie kann ein Gas Zugspannungen aufnehmen?

Eine Flüssigkeit kann nur den Kompressionsmodul tragen $D v = - K v D P$ ${\rm d}V = -K V {\rm d} P$
Wenn sich der Begriff der normalen Spannung letztendlich auf den Kompressionsmodul und die volumetrische Dehnung bezieht, können Sie einen physikalischen Einblick geben, wie sich dies tatsächlich manifestiert?
Ich denke, wenn Sie auf alle Seiten eines Würfels gleichen Druck ausüben, wird es nur eine Volumenänderung und keine Formänderung geben. Es wird keinen "Fluss" geben, sondern nur eine Gesamtskalierung.
@Phil Frost Suction sind nur relative Druckunterschiede. Was ich spreche, läuft effektiv auf Unterdruck (Spannung) hinaus.
@BrysonS. Wer sagt, dass ein Gas einen Unterdruck aushalten kann? Es kann Kräfte unterstützen, die den Druck reduzieren, aber niemals auf 0.
Das ist genau meine Frage, sind wir sicher , dass ein Gas keine Zugspannung aushalten kann?

user_of_math · Answer 1

Nehmen wir zuerst Ihre letzte Frage. Der Spannungstensor an einem Punkt (x,y,z) in der Flüssigkeit sei gegeben als $\sigma$ . Sie können eine kartesische Basis auswählen $\{ e_1, e_2, e_3 \}$ und drücken Sie die Komponenten des Tensors in dieser Basis aus

[\begin{matrix} σ_{X X} & σ_{X j} & σ_{X z} \\ σ_{X j} & σ_{j j} & σ_{j z} \\ σ_{X z} & σ_{j z} & σ_{z z} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{bmatrix}$

Die normalen Spannungen sind einfach $\sigma_{xx},\sigma_{yy}$ Und $\sigma_{zz}$ . Es ist wichtig zu erkennen, dass diese Spannungen auf einer anderen Basis unterschiedliche Werte haben .

Natürlich kann man basisabhängigen Dingen nicht zu viel physikalische Bedeutung beimessen. Es ist jedoch ein Theorem der Kontinuumsmechanik, dass man IMMER mindestens eine Basis finden kann, in der die Nichtdiagonalen (Scherterme) Null sind. In dieser Basis sind die Tensorkomponenten

[\begin{matrix} σ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & σ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \sigma_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{3} \end{bmatrix}$

Diese Zahlen haben tatsächliche physikalische Bedeutung. $\max({\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3})$ ist die größte Hauptnormalspannung an diesem Punkt. Ähnlich, $\min({\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3})$ ist die kleinste Normalspannung an diesem Punkt. Es ist nicht allzu schwer, das zu erkennen $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ sind die Eigenwerte des Spannungstensors.

Andererseits ist der Druck (-1/3) mal die Spur des Spannungstensors, dh

P = - \frac{1}{3} σ_{J J}

$p = -\frac{1}{3} \sigma_{jj}$

Die Spur ist eine Invariante des Spannungstensors, wenn Sie also die Summe der Diagonalen des Spannungstensors in beliebiger Basis nehmen, erhalten Sie denselben Wert. Mathematisch,

T R ([β] [σ_{ich J}] [β]^{T}) = T R (σ_{ich J})

$Tr([\beta][\sigma_{ij}][\beta]^T) = Tr(\sigma_{ij})$ Sie sehen also, dass der Druck und die normale Spannung in der Tat sehr unterschiedliche Größen sind. Insbesondere ist der Druck ISOTROP – er hat keine Vorzugsrichtung.

Betrachten Sie nun einen reinen Scherzustand in einer Flüssigkeit. Der Einfachheit halber gehen wir von einer planaren Strömung aus und ignorieren Komponenten außerhalb der Ebene.

Der Spannungstensor für reine Scherung in unserer Standardbasis sieht so aus

[\begin{matrix} 0 & τ \\ τ & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 0 & \tau \\ \tau & 0 \\ \end{bmatrix}$

Sieht so aus, als ob die Normalspannungen Null sind, oder? Nicht so schnell. Da dies ein symmetrischer reeller Tensor ist, können Sie IMMER eine andere Basis finden, in der Sie normale Spannungskomponenten haben!

In der Tat, wenn Sie die Einstellung des Eigenwertproblems lösen $\det (\sigma-\lambda I )=0$ , erhalten Sie Hauptnormalspannungen von $\pm \tau$ .

Also in einem Koordinatensystem mit Basisvektoren $e'_1 = \{ (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}$ Und $e'_2 = \{ (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \}$ statt $\{(1,0), (0,1)\}$ , erhalten Sie einen Spannungstensor aus einer Situation "reiner" Scherung, die so aussieht

[\begin{matrix} τ & 0 \\ 0 & - τ \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \tau & 0 \\ 0 & -\tau \\ \end{bmatrix}$

Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie den Basiswechsel selbst durchführen.

Was also auf einer Basis wie "reine Scherung" aussieht, sind auf einer anderen Basis zweiachsige Normalspannungen. Da die Vorzeichen unterschiedlich sind, haben Sie in Ihrer Flüssigkeit sowohl Zug- als auch Drucknormalspannungen.

Danke, dmckee, dass du die beiden Antworten zusammengeführt hast, ich wusste nicht, wie ich das selbst machen sollte.
Ein letzter Kommentar zum Abschluss meiner Antwort: Es kann eine Zug-Normalspannungskomponente geben, aber das impliziert keinen Zugdruck. Sie würden einen Kohäsionsmechanismus benötigen, um einen hydrostatischen Zugdruck zu entwickeln, und ein Gas hat keinen solchen Mechanismus (Gase haben schwache Kräfte vom Londoner Typ, aber sie haben eine sehr kurze Reichweite). Die zusätzliche Einschränkung ist auch, dass wir davon ausgehen, dass die Flüssigkeit gut als Kontinuum beschrieben wird. Das gilt nicht immer, besonders nicht für verdünnte Gase.
Das ist großartig, aber wollen Sie sagen, dass das Vorhandensein von normaler Zugspannung nur illusorisch ist? Oder genauer gesagt, kann eine Flüssigkeit (insbesondere ein Gas) Zugkräfte aufnehmen? Wie?

Achmeteli · Answer 2

Es sieht so aus, als ob die Frage (zumindest teilweise) auf Folgendes hinausläuft: Kann eine Flüssigkeit einen negativen ABSOLUT-Druck haben? Diese Frage wurde hier schon mehrfach diskutiert. Meine Annahme ist: Es kann (obwohl ein solcher Zustand wahrscheinlich im besten Fall metastabil ist), weil die Kraft zwischen zwei Molekülen anziehend sein kann. Siehe z. B. http://www.youtube.com/watch?v=BickMFHAZR0 , wo diskutiert wird, wie Bäume, die höher als 10 m sind, Wasser an ihre Spitze liefern können. Ich weiß jedoch nicht, ob ein Gas anstelle einer Flüssigkeit einen Unterdruck haben kann. In der Kosmologie wird jedoch das sogenannte Chaplygin-Gas betrachtet.

Gibt es einen bekannten Mechanismus, durch den dieser Unterdruck in einem Gas unterstützt werden könnte?
@Bryson S.: Ich bin mir nicht sicher, ob Unterdruck für Gase möglich ist, aber wenn ja, sollte der Mechanismus derselbe sein: molekulare Anziehung.
Aber sind die Atome/Moleküle nicht zu weit voneinander entfernt, als dass diese Kräfte eine erkennbare Wirkung haben könnten?
@Bryson S.: In der Physik gibt es kein "zu weit", es gibt nur "zu weit im Vergleich zu etwas". In diesem Fall sollten Sie die potentielle Energie der Anziehung mit der kinetischen Energie vergleichen. Auch hier ist es nicht offensichtlich, dass ein negativer absoluter Druck in Gasen möglich ist, es ist nicht offensichtlich, dass es unmöglich ist.

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