Warum ist der Druckgradient an einer Wand null?

Dies gilt normalerweise nur für eine wandbegrenzte Strömung und ist normalerweise auf inkompressible Flüssigkeiten beschränkt. Dieses Ergebnis manifestiert sich normalerweise in der Grenzschichttheorie und kann durch eine Größenordnungsanalyse der Navier-Stokes-Gleichungen erhalten werden. Die stationäre, inkompressible und konstante Eigenschaft Impulsgleichung in der$y$Richtung nimmt die Form an,

$$u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} + \nu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right)$$ Die Größenordnung jedes Terms innerhalb der Grenzschicht lautet wie folgt: $$O\left[u \frac{\partial v}{\partial x}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[v \frac{\partial v}{\partial y}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right] \text{(at most)}$$ $$O\left[\nu \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right] = O\left[\frac{\delta^2}{L}\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$ $$O\left[\nu \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right] = O\left[\frac{\delta}{L^2} U_e^2\right]$$

Wo$\delta$ist die Grenzschichthöhe,$L$ist die charakteristische Länge des Körpers, und$U_e$ist die äußere Strömungsgeschwindigkeit am Rand der Grenzschicht. Eine zusätzliche Einschränkung ist das$\delta/L \ll 1$. Beachten Sie, dass jeder Term eine Größenordnung hat, die mit vergleichbar ist$(\delta/L^2) U_e^2$, mit Ausnahme des normalen Druckgradiententerms und des viskosen Terms aus dem$x$Richtung. Das erkennen wir erst einmal$\delta^2/L$ist eine sehr kleine Menge und entfernt im Wesentlichen die$\nu \partial^2 v/ \partial x^2$Term aus der Gleichung. In ähnlicher Weise nähert sich der Druckgradiententerm nur am Rand der Grenzschicht, wo die viskosen Kräfte vernachlässigbar werden (dh hohe Reynolds-Zahl), einer Größenordnung an$(\delta/L^2) U_e^2$. Dies wurde zuerst von Prandtl beobachtet, worauf er über die Grenzschicht, die wir schreiben können, folgerte:

$$\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} \approx 0$$ oder konventioneller, $$\frac{\partial p}{\partial y} \approx 0$$

Was Ihre zweite Frage betrifft, gilt dies nur für den statischen Druck. All dies setzt auch voraus, dass die Strömung an der Wand befestigt ist.

Es kommt vom Begriff der Grenzschicht und davon, ob sie an der Wand befestigt bleibt oder nicht. Wenn Sie die Impulsgleichung normal zur Wand betrachten, kann es nur dann zu einem Druckgradienten normal zur Wand kommen, wenn eine Geschwindigkeit oder Beschleunigung normal zur Wand vorhanden ist. Wenn das der Fall ist, dann ist die Grenzschicht nicht mehr angebracht.

Dies gilt, wenn Sie sich der Wand infinitesimal nähern (na ja, solange es immer noch ein Kontinuum ist). Irgendwann haftet die Strömung an der Wand, auch wenn es nur eine winzige dünne Schicht ist, und so ist in Simulationen der Gradient an der Wand null. Wenn Sie eine richtige Rasterauflösung haben, ist alles in Ordnung.

Angesichts einiger Kommentare zu dieser Frage hielt ich es für nützlich, eine etwas ausführlichere Antwort zu geben. Ich beginne mit einer grundlegenden Wiederholung einiger mathematischer Zusammenhänge und schließe mit Kommentaren zu Ansätzen zur numerischen Lösung des Problems.

Bemerkungen zur Mathematik des inkompressiblen Navier-Stokes-Problems

Der Einfachheit halber betrachte ich ein Szenario, in dem wir uns auf eine zweidimensionale, inkompressible Navier-Stokes-Strömung beschränken, die in einem kartesischen Schema beschrieben wird$x_1$-$x_2$Koordinatensystem. Die Geschwindigkeits- und Druckfelder sind$\mathbf u={\mathbf u}(\mathbf x,t)=(u_1,u_2)^T(x_1,x_2,t)$und$p(\mathbf x,t)=p(x_1,x_2,t)$.

Ich nehme auch an, dass unser Problem Dirichlet-Randbedingungen für die Geschwindigkeiten überall in einem quadratischen Gebiet hat$\Omega=\{(x_1,x_2)\,\,\vert \,\,0\le x_1\le1,\, 0\le x_2\le1\}$mit Grenze$\Gamma$.

Das Gleichungssystem, das die inkompressible Strömung in diesem Bereich beschreibt, ist gegeben durch

$${\mathbf\nabla}\cdot{\mathbf u}=0,$$ $$\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{\mathbf u}=-{\mathbf\nabla}p+\frac{1}{Re}\Delta{\mathbf u}$$

Dieses System muss durch Anfangs- und Randbedingungen ergänzt werden, für die wir uns entscheiden

$${\mathbf u}(x_1,x_2,0)={\mathbf u}_0(x_1,x_2),\quad (x_1,x_2)\in\Omega,$$

und

$${\mathbf u}(x_1,x_2,t)={\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t),\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$

wo$\Gamma=\partial\Omega$ist die Domänengrenze. Wir lassen Beliebigkeit zu${\mathbf u}_\Gamma(x,y,t)$, mit Ausnahme des unteren Stücks der Begrenzung, das wir als solide rutschfeste Wand wählen, also haben wir

$${\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t)={\mathbf 0},\quad (x_1,x_2)\in\{(x,0)\,\,\vert \,\,0\le x\le1\}.$$

Beachten Sie zunächst, dass der obige Satz von Gleichungen keine Randbedingungen für den Druck enthält und auch nicht erfordert. Tatsächlich erscheint Druck als Lagrange-Multiplikator in den Impulsgleichungen, der verwendet wird, um die Lösung der Impulsgleichungen auf den Raum divergenzfreier Vektorfelder zu projizieren. Mit anderen Worten, seine Funktion besteht darin, sicherzustellen, dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist und die Masse erhalten bleibt.

Es ist aufschlussreich, sich die Eigenschaften des resultierenden Druckfeldes genauer anzusehen. Wenn wir die Divergenz der Impulsgleichungen nehmen und neu anordnen, finden wir, dass das Druckfeld die Poisson-Gleichung erfüllt

$$\Delta p=\nabla\mathbf u:\nabla\mathbf u,$$

wobei der Doppelpunkt für das innere Produkt steht$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \frac{\partial u_j}{\partial x_i}$wo die Summationskonvention verwendet wurde.

Um die Randwerte zu finden, die von diesem Druckfeld angenommen werden, schreiben wir die Impulsgleichungen an den Rändern um. Da uns speziell der wandnormale Druckgradient auf eine feste Wand interessiert, projizieren wir die Impulsgleichungen auf die Wandnormalkoordinate$x_2$erhalten

$$\frac{\partial p}{\partial x_2}=-\frac{\partial u_2}{\partial t} -{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{u_2}+\frac{1}{Re}\Delta u_2.$$

Verwendung der Randbedingung$\mathbf u\equiv0$an der Wand vereinfacht sich dies zu

$$\frac{\partial p}{\partial x_2}=\frac{1}{Re}\frac{\partial^2 u_2}{\partial x_2^2}.$$

Somit ist klar, dass der wandnormale Druckgradient im Allgemeinen nicht null ist, und das Vorschreiben eines null Druckgradienten an der Wand ist mathematisch mit dem ursprünglichen Problem unvereinbar. Da dieser Punkt in einem Kommentar angesprochen wurde, möchte ich auch anmerken, dass wir uns im Allgemeinen nicht mit dem Erscheinungsbild des trösten können$1/Re$Berücksichtigen Sie den obigen Ausdruck und versuchen Sie zu argumentieren, dass die rechte Seite für große Reynolds-Zahlen vernachlässigt werden kann. Dies ist nicht der Fall, da wir den wandnahen Bereich der Strömung betrachten, und um die relative Größe der rechten Seite abzuschätzen, müssen wir möglicherweise eine lokale Reynolds-Zahl berücksichtigen, die der Größe des wichtigen Nahbereichs angemessen ist -Wandströmungsstrukturen. Um es kurz zu machen, es stellt sich heraus, dass diese lokale Reynolds-Zahl für eine große Klasse wichtiger Strömungen, wie z. B. wandnahe Turbulenzen, in der Größenordnung von Eins liegt. Mit anderen Worten, wir können die rechte Seite für eine solche Strömung nicht vernachlässigen.

Lassen Sie uns nun ein wenig mehr Licht auf die möglichen Folgen der Bereitstellung falscher Randbedingungen für das Druckfeld werfen. Dies ist am einfachsten zu sehen, wenn man eine alternative, aber äquivalente Formulierung des obigen Navier-Stokes-Problems betrachtet. Es wird sich herausstellen, dass diese als "Druck-Poisson-Gleichungsformulierung" bekannte Formulierung auch für numerische Ansätze zur Lösung dieser Gleichungen wichtig ist. Für diese Formulierung ersetzen wir die Kombination aus Kontinuitäts- und Impulsgleichungen in der sogenannten "Primitive-Variablen-Formulierung" der Navier-Stokes-Gleichungen durch eine Kombination aus Druck-Poisson- und Impulsgleichungen, etwa so:

$$\Delta p=\nabla\mathbf u:\nabla\mathbf u,$$ $$\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +{\mathbf u}\cdot{\mathbf\nabla}{\mathbf u}=-{\mathbf\nabla}p+\frac{1}{Re}\Delta{\mathbf u}.$$

Dieses System von partiellen Differentialgleichungen erfordert nun folgende Anfangs- und Randbedingungen:

$${\mathbf u}(x_1,x_2,0)={\mathbf u}_0(x_1,x_2),\quad (x_1,x_2)\in\Omega,$$ $$\mathbf\nabla\cdot{\mathbf u}(x_1,x_2,t)=0,\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$ $${\mathbf u}(x_1,x_2,t)={\mathbf u}_\Gamma(x_1,x_2,t),\quad (x_1,x_2)\in\Gamma,$$

Beachten Sie, dass wir jetzt eine zusätzliche Randbedingung benötigen, da die Formulierung der Druck-Poisson-Gleichung aus dem ursprünglichen System über eine Differenzierungsoperation erhalten wurde, wodurch die Ordnung des Systems erhöht wird. Sie können auch sehen, dass das jetzt erhaltene System von PDEs eine nicht standardmäßige Struktur hat, indem wir jetzt drei Randbedingungen für das Geschwindigkeitsfeld und keine für den Druck haben. Ich mache zwei wichtige Bemerkungen:

1. Diese Situation führt zu erheblichen Schwierigkeiten bei der Implementierung geeigneter numerischer Schemata zur Lösung dieses Satzes von Gleichungen. Solche Schemata sind jedoch möglich und werden als "Einflussmatrixverfahren" bezeichnet.
2. In der Literatur gibt es eine erschreckend große Anzahl von Referenzen, die die Verwendung einer Druckgradienten-Randbedingung empfehlen, um die erste der oben genannten Randbedingungen zu ersetzen. Es gibt zwei Varianten davon: (a) Verwenden einer Null-Druckgradienten-Bedingung. Dies führt zu einem gut gestellten mathematischen Problem, dessen Lösung jedoch die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Strömung nicht erfüllen kann. Einfach gesagt, die resultierende Lösung ist falsch . Wir betonen, dass die Lösung mathematisch falsch ist und ein numerisches Schema, das diesen Ansatz verwendet, auf keinen Fall zur korrekten Navier-Stokes-Lösung konvergieren wird. (b) Verwendung$\nabla p=(1/Re) \Delta\mathbf u$als Randbedingung. Das macht die Sache noch schlimmer : Das resultierende Problem ist nun mathematisch schlecht gestellt und hat überhaupt keine eindeutige Lösung.

Um schließlich die Rolle besser zu verstehen, die der Druck in inkompressiblen Navier-Stokes-Lösungen spielt, kann es aufschlussreich sein, das Verhalten der Divergenz des Geschwindigkeitsfelds bei gegebener Druck-Poisson-Gleichung zu betrachten. Wenn wir die Divergenz der Impulsgleichungen nehmen und die Druck-Poisson-Gleichung dort einsetzen, kommen wir zu

$$\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf\nabla\cdot\mathbf u)=\Delta(\mathbf\nabla\cdot\mathbf u).$$

Somit erfüllt die Geschwindigkeitsdivergenz eine Wärmegleichung. Wenn keine geeigneten Randbedingungen erzwungen werden, erwarten wir daher basierend auf den entsprechenden Maximum/Minimum-Theoremen für solche Gleichungen maximale Divergenzfehler an den Grenzen, die von den Grenzen weg in den Bereich diffundieren werden. Es versteht sich von selbst, dass solche Fehler für viele Grenzschichtströmungen (insbesondere Übergangs- und turbulente Grenzschichten) verheerend sein und die Darstellung der Physik der Strömung vollständig zerstören können.

Bemerkungen zu numerischen Methoden

Bei der Betrachtung von Ansätzen zur numerischen Lösung des Navier-Stokes-Problems ist es entscheidend, die genauen Details der betrachteten Methoden zu verstehen. Dabei wird man feststellen, dass das Konzept der „Randbedingung“ in der Community oft sehr schlampig gehandhabt wird, was es schwierig machen kann zu sagen, welche Gleichungen tatsächlich verwendet werden und warum. Dies gilt insbesondere im Fall von Finite-Differenzen- und Finite-Volumen-Codes. Beispiele für Schemata, die entweder überdeterminiert oder mathematisch schlecht aufgestellt sind, gibt es in diesem Bereich zuhauf. Spektralmethoden und Finite-Elemente-Methoden erfordern normalerweise etwas mehr mathematische Disziplin und scheinen daher etwas weniger anfällig für einige der Fallstricke zu sein. Eine Aussage können wir jedoch mit Gewissheit machen:

Es gibt kein konsistentes und genaues numerisches Schema, das gegen die oben skizzierte Mathematik verstößt. Falsche Randbedingungen für den Druck führen zu falschen Lösungen, Ende der Geschichte.

Insbesondere verwendet kein erfolgreiches numerisches Schema im obigen Sinne eine Null-Druckgradienten-Grenzbedingung für den Druck. Es gibt jedoch eine Reihe von numerischen Methoden, die wie aussehenSie verwenden unangemessene Randbedingungen, und darunter befinden sich einige der beliebtesten Schemata, die sowohl in Forschungs- als auch in kommerziellen Codes verwendet werden. Beispielsweise werden bei Teilschrittverfahren sowie beim SIMPLE-Algorithmus iterative Prozeduren verwendet, die für einen Druckkorrekturschritt eine Nullgradienten-Grenzbedingung verwenden. Ich möchte betonen, dass solche Methoden vollkommen legitim sein können, mit den exakten Gleichungen übereinstimmen und zu genauen Lösungen konvergieren können. Es gibt eine Vielzahl möglicher Varianten solcher Ansätze, auf die hier nicht näher eingegangen werden kann. Es genügt zu sagen, dass man häufig feststellt, dass der im Kern solcher Algorithmen verwendete "Druck" nicht das mathematisch korrekte Druckfeld darstellt, sondern ein Pseudodruck ist. Die resultierende Lösung erzeugt eine konsistente Approximation des Geschwindigkeitsfelds, aber der Pseudodruck weicht systematisch vom korrekten Druckfeld ab. Diese Situation kann in zusätzlichen Schritten des Algorithmus korrigiert werden oder nicht.

Diese Situation wird durch die Tatsache weiter erschwert, dass die genauen Implementierungsdetails vieler numerischer Verfahren unklar bleiben, mit dem Ergebnis, dass Algorithmen, die aufgrund ihrer formalen, wie veröffentlichten Beschreibung einfach nicht funktionieren sollten, aus Gründen, die jedoch unklar bleiben, nützliche Näherungen liefern . Ich werde sagen, dass ich mit dem Entwicklungsprozess solcher Codes aus meiner eigenen Forschungsgruppe und von Kollegen bestens vertraut bin. Allzu oft passiert es, dass der Doktorand mit einem schlecht durchdachten Code beginnt, der nicht funktionieren sollte, und dann weiter daran arbeitet, bis "der Code behoben ist" und in gewissem Sinne akzeptable Ergebnisse liefert. Eine Diskussion darüber, was an diesem Bild falsch ist, würde mich hier wirklich zu weit führen...

Für eine viel ausführlichere Übersicht zu diesem Thema siehe schließlich den Übersichtsartikel von Rempfer in Applied Mechanics Reviews (" On Boundary Conditions for Incompressible Navier-Stokes Problems ", AMR ( 59 ) 2006).