Was bedeutet Druck in der Navier-Stokes-Gleichung?

Es fällt mir schwer, meinen Kopf um den Druck in der Navier-Stokes-Gleichung zu wickeln! Es mag lächerlich klingen, aber ich kann die wahre Bedeutung des Drucks in der Navier-Stokes-Gleichung nicht verstehen. Lassen Sie uns etwas rechnen, um meinen Zweck genauer zu erklären! Gehen wir von den Grundlagen der Physik aus und das wäre meiner Meinung nach die erste Gleichung in der klassischen Thermodynamik als Zustandsgleichung. Wir nehmen an: es gibt ein Fluid, dessen Zustandsgleichung lautet:

ρ = ρ ( P , T )

Wo ρ ist die Dichte der Flüssigkeit, P ist der Druck, und T ist die Temperatur. Lassen Sie uns eine Ableitung von dieser Gleichung nehmen, um zu haben:

D ρ = ( ∂ ρ ∂ P ) T D P + ( ∂ ρ ∂ T ) P D T

Nehmen wir an, dass sich unsere Flüssigkeit im thermischen Gleichgewicht befindet und sich ihre Temperatur nicht ändert, als Ergebnis: D T = 0

Also haben wir:

D ρ = ( ∂ ρ ∂ P ) T D P

Ich weiß, es sind viele Annahmen, aber nehmen wir noch einmal an, dass die Dichteänderung aufgrund von Druckänderungen nicht nichtlinear ist und sich unsere Flüssigkeit tatsächlich wie ein ideales Gas verhält. Daraufhin rufe ich an ( ∂ ρ ∂ P ) T das umgekehrte Quadrat der Schallgeschwindigkeit, die eine konstante Zahl ist, als:

( ∂ ρ ∂ P ) T = C S − 2

Endlich haben wir also:

D ρ = C S − 2 D P

Oder:

Δ ρ = C S − 2 Δ P

Oder noch einmal:

( ρ − ρ F ) = C S − 2 ( P − P 0 )

Wo ρ F die Dichte des Fluids im Ruhezustand oder als Referenz ist, die ein tabellarischer Wert für jedes Fluid ist, und P 0 ist der Bezugsdruck.

Nun würde ich annehmen, dass meine Flüssigkeit eine inkompressible Flüssigkeit ist und es bedeutet (die Dichte ist konstant und sie ist wirklich konstant!):

ρ = ρ F

Da jede Flüssigkeit unabhängig von ihrer Kompressibilität oder Inkompressibilität eine endliche Schallgeschwindigkeit hat, würde ich argumentieren, dass:

P = P 0

Oder mit anderen Worten, der Druck sollte genau genommen gleich dem Referenzdruck sein.

Nun habe ich bewiesen, dass für eine inkompressible Flüssigkeit, solange die Dichte konstant ist, der Druck auch eine Konstante sein sollte. In der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichung haben wir also:

ρ F ∂ u ∂ T + ρ F ( u ⋅ ∇ ) u = − ∇ P + ∇ ⋅ τ

Und ich habe gezeigt, dass P für inkompressible Flüssigkeiten einfach konstant ist, also: ∇ P = 0 !

Als Ergebnis könnte ich die Navier-Stokes-Gleichung wie folgt vereinfachen:

ρ F ∂ u ∂ T + ρ F ( u ⋅ ∇ ) u = ∇ ⋅ τ

Kommen wir nun zurück zu meiner ursprünglichen Frage:

Basierend auf diesen Berechnungen würde ich sagen, dass der Druck in der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichung nur eine Dummy-Variable ist, die keine physikalische Bedeutung hat! Ich wäre dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte!

Es gibt relevante Fälle, in denen D T ist auch für inkompressible Flüssigkeiten nicht vernachlässigbar. Dies ist zB der Fall bei der Beschreibung von Luftbewegungen in großen Maßstäben. Also ist P als Funktion von T in diesem Fall relevant und ∇ P ist nicht notwendig 0
@Katermickie Ich weiß, was du meinst, aber beschränken wir unsere Analyse auf die Fälle, in denen D T = 0 , die in der Literatur nicht selten sind! Ich habe nicht gesagt, dass meine Analyse alle Fälle abdecken könnte, aber solange meine Annahmen zutreffen, bin ich daran interessiert, die Konsequenzen zu untersuchen. Ich interessiere mich wirklich für diese Annahmen, weil die Anwendung, für die ich Navier-Stokes verwende, diesen Annahmen vollständig entspricht!
@Katermickie Und bitte lesen Sie die Frage auch sorgfältiger, da Ihr Beispiel, wenn sich Luft in großem Maßstab bewegt, wahrscheinlich unter Verwendung der komprimierbaren Navier-Stokes-Gleichung untersucht werden sollte und Sie die Wärmeenergiebilanzgleichung (dh die Wärmeübertragungsgleichung) mit der Navier-Stokes-Gleichung koppeln müssen ! Daher ist Ihr Beispiel für meine Annahmen nicht relevant!
Verwandt, wenn nicht betrogen, physical.stackexchange.com/q/319577/25301
@Katermickie Mit anderen Worten, ich habe keinen Zweifel an der komprimierbaren Navier-Stokes-Gleichung, aber ich glaube, die nicht komprimierbare Version ist nur ein Mist! Ich meine, viele Leute, einschließlich mir selbst, verwenden es für Forschungszwecke, aber ist es möglich, dass mir jemand die Logik dahinter erklärt?!
Die einzige Lücke, die möglicherweise in meiner Ableitung existiert, ist, dass Sie über meine endliche Schallgeschwindigkeit streiten können! Für eine wirklich inkompressible Flüssigkeit sollte die Schallgeschwindigkeit unendlich groß sein! (zumindest theoretisch !!!!), aber dann müssen Sie begründen, warum dies der Fall ist, wenn eine inkompressible Flüssigkeit eine unendliche thermische Geschwindigkeit hat!? Wenn jemand das auch erklären könnte, würde ich seine / ihre Antwort schätzen!
Tatsächlich können Sie in großen Maßstäben für kleine Geschwindigkeiten Luft als inkompressible Flüssigkeit behandeln, aber außerdem würde ich davon ausgehen, dass Sie Recht haben, wenn Sie diese Fälle weglassen, können Sie den Druckterm in den meisten Fällen einfach ignorieren.
Ein Fall, in dem Sie es nicht ignorieren können, ist ein mit Wasser gefüllter Tank und eine geneigte Wasseroberfläche, dh der Höhenunterschied zwischen dem Boden des Tanks und der Wasseroberfläche wird zu einer Funktion des Raums. Da der Druck P am Boden des Tanks von der Höhe des darüber liegenden Wassers abhängt, wird er auch nom konstant ans ∇ P ist wieder ungleich Null. Diesbezüglich bin ich mir nicht sicher, ob Ihre Ableitung verwendet wird ρ = ρ ( P ) gilt, wenn man von inkompressiblen Flüssigkeiten ausgehen möchte D ρ / D P = 0 ...
Wenn es um Hydrostatik geht, könnten die Dinge sogar noch komplizierter werden! Ja, nehmen wir an, unsere Flüssigkeit bewegt sich nicht einmal und als Ergebnis sollte es aufgrund der Schwerkraft einen Druckgradienten geben, aber wie können Sie meine Ableitung ändern, um zu zeigen, dass der Druck keine Konstante sein sollte! Ich meine, sonst werden Sie am Ende argumentieren, dass ich einen Dichtegradienten haben sollte, weil ich einen Druckgradienten entlang eines Tanks habe! was meiner Meinung nach sehr unwahrscheinlich ist!
Oder ich würde sagen, jedes konservative Kraftfeld (dh F = − ∇ ϕ ) Wo ϕ ist das Potential dieser Kraft, wobei die Gravitation ein Beispiel für dieses Kraftfeld ist, ihr Potential ϕ könnte als Scheindruck interpretiert werden. Ich meine, wir könnten es Druck nennen, aber es ist nicht wirklich thermodynamischer Druck!
Da für inkompressible Flüssigkeit D ρ / D P = 0 Sie erhalten keinen Dichtegradienten. Wenn Sie also von einer geneigten Wasseroberfläche ausgehen, ändert sich die Höhe in sagen wir x-Richtung. Der hydrostatische Druck an einem Punkt ist P = ρ G H wobei h die Höhe des darüber liegenden Wassers ist. Wenn H = H ( X ) Sie erhalten einen Druckgradienten entlang x
Ein Beispiel für F = − ∇ ϕ aber das ist ϕ oder Potential der konservativen Kraft. Warum also sollte ich es Druck nennen?! Thermodynamischer Druck ist so etwas wie eine innere Energie. Sie wissen, es sollte davon abhängen, was Sie der Sache von außen aufzwingen. Der thermodynamische Druck ist nur eine innere Energie pro Volumen und das war's. Ungeachtet des Vorhandenseins von Schwerkraft oder anderen Kräften gibt es einen Druck, der nicht von kinetischen Variablen abhängt und nur von Gleichgewichtspotentialen von Dichte und Temperatur abhängt. Ich gebe zu, dass externe Kraft etwas zum thermodynamischen Druck hinzufügen wird ...
Aber ich berücksichtige alle äußeren Kräfte in der Navier-Stokes-Gleichung separat: ρ F ∂ ρ ∂ T + ρ F ( u ⋅ ∇ ) u = − ∇ P + ∇ ⋅ τ + F , Wo F sind alle äußeren Kraftfelder. Warum sollte ich es also in P selbst aufnehmen? Ich könnte sagen, ok, beim hydrostatischen Fall ist das äußere Feld im Gleichgewicht mit dem inneren Druck.
Warum sagen Sie, dass der Druck für eine inkompressible Flüssigkeit konstant ist?

Antworten (2)

Es gibt zwei Drücke: Thermodynamischer Druck P thermo , und Mechanischer Druck P mech . Der thermodynamische Druck, ein Konzept aus der Gleichgewichtsthermodynamik und daher nur auf ein statisches Fluid anwendbar, ist durch eine Zustandsgleichung gegeben: P thermo = F ( ρ , T ) , Wo ρ ist die Flüssigkeitsdichte und T seine Temperatur. Eine sich bewegende Flüssigkeit ist nicht im Gleichgewicht und ihre P thermo ist nicht definiert. Der mechanische Druck ist der isotrope Teil des Spannungstensors und ist auch für ein sich bewegendes Fluid definiert; P mech erscheint in der Navier-Stokes-Gleichung.

Wenn ein statisches Fluid isotherm ist und eine konstante Dichte hat ( ρ , T fest) dann P thermo ist auch fest. Der durch die hydrostatische Gleichung gegebene mechanische Druck variiert jedoch mit der Tiefe in einem isothermen Fluid mit konstanter Dichte.

Ihre Ableitung verwechselt die beiden Drücke. Die Beziehungen sind:

D ρ = C S − 2 D P mech D ρ = ( ∂ ρ ∂ T ) D T + ( ∂ ρ ∂ P thermo ) D P thermo .
Die letztere Gleichung aus der Thermodynamik ist nur auf ein statisches Fluid anwendbar. Ersteres ist keine thermodynamische Gleichung. Eine inkompressible Flüssigkeit ist definiert als eine Flüssigkeit, deren Dichte nicht von ihrem mechanischen Druck abhängt P mech ; das sagt es nicht P mech kann nicht variieren. Wenn Sie sich daher der Grenze einer inkompressiblen Flüssigkeit nähern, D ρ → 0 , müssen wir unbedingt haben C S → ∞ . Es ist falsch zu sagen "... jede Flüssigkeit hat unabhängig von ihrer Kompressibilität oder Inkompressibilität eine endliche Schallgeschwindigkeit ..."; Inkompressible Flüssigkeiten existieren nicht, daher würden Sie a priori nicht wissen, welche Schallgeschwindigkeit einer hypothetischen Flüssigkeit zugeordnet werden sollte. um mit der Definition der Inkompressibilität vereinbar zu sein, jedoch eine Variation darin P mech zugelassen werden, was verlangt, dass die Schallgeschwindigkeit in einer hypothetischen inkompressiblen Flüssigkeit unendlich ist.

PS Hier sind Artikel1 und Artikel2 , die Sie interessieren könnten (NB: beide sind PDFs).

Sie sagten die Gleichung D ρ = C S − 2 D P M e C H ist keine thermodynamische Gleichung. Wenn nicht, wie können Sie es ableiten? Ich meine, es ist eine ideale Gaszustandsgleichung, also warum sollte es zwei Definitionen für Druck geben, als thermodynamisch und mechanisch?! Meine Herangehensweise an die Navier-Stokes-Gleichung unterscheidet sich ein wenig von konventionellen Fluiddynamikern, und als Ergebnis sehe ich diese Gleichung ( D ρ = C S − 2 D P M e C H ) jeden Tag, weil ich die Gitter-Boltzmann-Methode zum Lösen von Navier-Stokes verwende und immer noch nicht verdauen kann, warum die ideale Gaszustandsgleichung mir Druck in Navier-Stokes geben sollte!
@MehrdadYousefi Hier ist eine Ableitung . Was für die Ableitung benötigt wird, ist das Konzept des Kompressionsmoduls. Wenn Sie für ein ideales Gas angenommen haben , dass der thermodynamische und der mechanische Druck gleich sind (diese Annahme wird häufig auch in anderen Kontexten getroffen), können Sie seine Zustandsgleichung verwenden, um den Kompressionsmodul explizit in Bezug auf bekannte Eigenschaften des Gases zu berechnen Gas. Auch egal wie Sie die Navier-Stokes-Gleichung herleiten, eine Unterscheidung zwischen thermodynamischem und mechanischem Druck ist notwendig ...
... weil ein sich bewegendes Fluid nicht im Gleichgewicht ist und das Konzept des thermodynamischen Drucks darauf nicht anwendbar ist, während sein mechanischer Druck wohldefiniert ist. "Mein Ansatz zur Navier-Stokes-Gleichung unterscheidet sich ein wenig von konventionellen Fluiddynamikern ..." Könnten Sie einen relevanten Link posten? Ich wäre an einer alternativen Ableitung interessiert.
Es ist ein guter Ausgangspunkt, sich mit meinem Ansatz „Gitter-Boltzmann-Methode“ vertraut zu machen, um Navier-Stokes zu lösen, anstatt herkömmliche FEM- oder FVM-Strömungslöser zu verwenden: dartmouth.edu/~cushman/papers/2018-Boltzmann-to-NS.pdf
@MehrdadYousefi Danke für den Link. Ich sollte mit meinen Kollegen diskutieren, die LBM verwenden. Auf jeden Fall denke ich, dass der mit LBM berechnete Druck kein thermodynamischer Druck sein kann, da eine sich bewegende Flüssigkeit nicht im Gleichgewicht ist. Die Anwendung von thermodynamischen Gleichgewichtsbeziehungen auf eine Nichtgleichgewichtssituation (sich bewegende Flüssigkeit) ist jedoch eine hervorragende Annäherung, wenn die Abweichung vom Gleichgewicht nicht zu groß ist. Normalerweise bedeutet dies, dass die Zeitskala der Strömung viel größer ist als die molekulare Zeitskala (z. B. mittlere Kollisionszeit).
Ja, tatsächlich führt LBM zu einer langsam zeitvariablen Lösung aus der Chapman-Enskog-Expansion, bei der diffusive und konvektive Zeitskalen entkoppelt sind. Ok, ich kann verstehen, wenn der Nichtgleichgewichtszustand nicht zu weit vom Gleichgewichtszustand entfernt ist, könnten wir die thermodynamische Beziehung anwenden, aber das Problem ist, warum dieses Gleichgewicht plötzlich mit einem idealen Gas zusammenfallen sollte?! Ich meine, es bedeutet, dass sich jede Flüssigkeit in der Nähe des Gleichgewichts wie ein ideales Gas verhält?! Das ist mir fremd! Ich habe LBM mit FEM verglichen und seltsamerweise ist der Druck von LBM gleich FEM, was aus der Druck-Poisson-Gleichung abgeleitet wird!?
Sehen Sie sich auch diese Diskussion hier an, die meiner Meinung nach nicht überzeugt: palabos.org/forum/read.php?3,4809

Für ein inkompressibles Fluid repräsentiert der Druck in der Navier-Stokes-Gleichung den isotropen Teil des Spannungstensors. Sie wird bis zu einem beliebigen konstanten Wert bestimmt; Das heißt, das Hinzufügen einer willkürlichen Konstante zum Druck an allen Stellen im gesamten Strömungsfeld ermöglicht es immer noch, die NS-Gleichung zu erfüllen. Die Willkür wird beseitigt, indem der Druck an einer beliebigen Stelle der Grenze angegeben wird.

Was bedeutet Druck in der Navier-Stokes-Gleichung?
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