Sind die Diffusionsterme konservativ?

Im Allgemeinen haben die Diffusionsterme die Form

D = ∂ ∂ X ( μ ∂ u ∂ X ) .

Ist dieser Begriff konservativ oder nicht konservativ?

Antworten (2)

In Bezug auf die Fluiddynamik ist ein Erhaltungsgesetz eines, bei dem der Nettofluss hinein gleich dem Nettofluss ist. Dies wird typischerweise als PDE 1 dargestellt

(1) ∂ u ∂ T + ∇ ⋅ F = S
Wo u ist die Erhaltungsgröße, F das Flussmittel und S der Quellterm. 2 In Ihrem Fall F = − μ ∇ u , also ist es ein konservativer Begriff, weil er (1) erfüllt.

Beachten Sie jedoch, dass der Abhängigkeitsbereich für eine Diffusionsgleichung an einem Punkt liegt ( X , T ) ist die gesamte Domäne zu allen vorherigen Zeiten. Dies unterscheidet sich von der Konvektionsgleichung, bei der der Abhängigkeitsbereich entlang von Eigenschaften verläuft (Linien, die erfüllen D u / D T = 0 ).


1. Dies kann äquivalent als Integralgleichung geschrieben werden.
2. Oftmals S = 0 .

Diese Form ist konservativ in dem Sinne, dass, wenn Sie die rechte Seite mit einer zentralen Finite-Differenzen-Approximation annähern (unter Verwendung von μ an der Grenze jeder Gitterzelle und u in der Mitte jeder Zelle), wird die Finite-Differenzen-Näherung automatisch Masse sparen.

Für diejenigen von uns, die Diffusionsprobleme mit numerischen Methoden lösen, stellt dies eine konservative Form der Diffusionsterme dar. Ein Beispiel für die nicht-konservative Form wäre, wenn wir nach der Produktregel differenzierten, um die mathematisch äquivalente Form zu erhalten:

D = μ ∂ 2 u ∂ T 2 + ∂ μ ∂ X ∂ u ∂ X
Wenn dies in Finite-Differenzen-Form ausgedrückt würde, würde das Finite-Differenzen-Schema nicht automatisch Masse einsparen. Eine solche Version würde als nichtkonservativ gelten.

@Kyle Kanos und OP: Ich habe dafür eine Ablehnung erhalten, aber ich verdoppele das, was ich in Bezug auf die Verwendung des Begriffs konservativ bei der Beschreibung von Diffusionsbegriffen in der numerischen Analyse gesagt habe. Dafür setze ich meinen Ruf ein.
NB, das pingt mich nicht an, es sei denn, ich habe zuerst kommentiert. Wie auch immer, ich bin mit Ihrer Antwort nicht einverstanden, nur weil sie numerisch konservativ ist, nur weil sie mathematisch konservativ ist. OP erwähnt nirgendwo numerische Methoden, nur mathematische und physikalische Begriffe (vgl. die Tags), daher denke ich nicht, dass diese Antwort etwas Relevantes liefert.
Ich spreche nur darüber, wie wir den Begriff bei der numerischen Lösung von Diffusionsproblemen verwenden. Dies ist meine Erfahrung mit dem Begriff, und das habe ich interpretiert, wonach das OP gefragt hat. Tut mir leid, wenn das nicht mit Ihrem Erfahrungsschatz übereinstimmt.
Ich verstehe das, aber beachten Sie, dass numerische Methoden von mathematischen Formalismen abgeleitet sind (dh FD ist eine Annäherung an eine Ableitung). Zu sagen, es sei numerisch, ist ungefähr gleichwertig (aber meiner Meinung nach minderwertig) mathematisch.
Ich weiß nicht, was das alles bedeutet. Wir haben noch nichts vom OP gehört, also wissen wir nicht genau, was er meinte. Ich habe seine Frage einfach aus meiner Erfahrungsbasis interpretiert, und Sie haben sie aus Ihrer Erfahrungsbasis interpretiert. Mir ist klar, dass er nicht erwähnt hat, eine Finite-Differenzen-Form der Diffusionsgleichung zu lösen, die automatisch Masse erhält, aber es wäre nicht das erste Mal, dass ein Mitglied nicht genau artikulierte, was er fragte. Ich kann nicht verstehen, wie Sie so sicher sein können, dass Ihre Interpretation seiner Frage das ist, was er wirklich meinte (alle anderen Möglichkeiten ausschließen).
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