Physikalische Interpretation der Änderung des Diffusionsterms in Navier-Stokes-Gleichungen

Es ist nicht so, dass die zufällige Bewegung abnimmt, wenn die Durchflussrate zunimmt. Nur bleibt die zufällige Bewegung gleich, aber die kohärente Bewegung dominiert. Wenn die Diffusionsgeschwindigkeit in einem Gas 1 und die Konvektionsgeschwindigkeit der Strömung 1000 beträgt (Einheiten spielen keine Rolle), kann die Diffusionswirkung ziemlich sicher ignoriert werden.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass es Grenzen gibt, wo die Annäherungen angewendet werden können. Bei einer hohen Reynolds-Zahl kann man dann die Euler-Gleichungen verwenden, wobei man die Viskosität außerhalb des dünnen Bereichs um Körper herum ignoriert , wo es immer viskose Effekte geben wird, egal wie groß die Konvektionsgeschwindigkeit ist.

Sie geben fast die Antwort in Ihrer Frage:

Mit steigenden Strömungsgeschwindigkeiten werden die Trägheitskräfte größer als die viskosen Kräfte

Wir können es genauer formulieren: Die Trägheitskräfte skalieren quadratisch mit der Strömungsgeschwindigkeit$U$:$\rho \mathbf u\nabla \mathbf u\sim \rho U^2/L$, während die viskosen Kräfte linear skalieren:$\mu \nabla^2\mathbf u \sim \mu U/L^2$. Hier$\rho$ist die Flüssigkeitsdichte,$\mu$dynamische Viskosität u$L$ist eine charakteristische Längenskala.

Das Verhältnis zwischen den beiden ist die Reynolds-Zahl$\mathrm{Re} = \rho UL/\mu$. Daher wann$\mathrm{Re}$groß ist, kann der viskose Term als klein behandelt werden.

Jetzt kann ich nicht ablehnen, aber ich möchte ein Missverständnis in der Frage und den beiden vorhandenen Antworten korrigieren.

Der viskose Begriff$\mu \nabla^2\mathbf u$ist weder als "diffusive Strömung" noch als molekulare Diffusion (wie durch die Péclet-Zahl beschrieben) zu interpretieren, sondern beschreibt die Auswirkungen der inneren Reibung in der Flüssigkeit. Reibung entsteht, wenn benachbarte Fluidpakete unterschiedliche Geschwindigkeiten haben. Die Wirkung der Reibung besteht darin, die Geschwindigkeiten auszugleichen und so die Strömungsgeschwindigkeitsgradienten zu verringern. Tatsächlich stammt die eigentliche Form des viskosen Terms von der Annahme eines Newtonschen Fluids: Die Reibungskraft ist proportional zum lokalen Strömungsgeschwindigkeitsgradienten$^1$, und die Proportionalitätskonstante ist die dynamische Viskosität$\mu$.

Es ist üblich, den viskosen Begriff "Diffusion" zu nennen, vermutlich wegen der zweiten Ableitung. Die Größe, die in Navier-Stokes "diffundiert", ist die Fluidgeschwindigkeit in dem Sinne, dass hohe Fluidgeschwindigkeiten in Richtung des negativen Gradienten zu Bereichen mit niedrigeren Fluidgeschwindigkeiten diffundieren. Aber im Gegensatz zur molekularen Diffusion gibt es beim viskosen Term keine Zufälligkeit$^2$. Die Irreversibilität ist ein Ergebnis der Reibungsdissipation.

Ich werde einen wichtigen Absatz aus der Antwort von tpg2114 wiederverwenden:

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass es Grenzen gibt, wo die Annäherungen angewendet werden können. Bei einer hohen Reynolds-Zahl kann man dann die Euler-Gleichungen verwenden, wobei man die Viskosität außerhalb des dünnen Bereichs um Körper herum ignoriert, wo es immer viskose Effekte geben wird, egal wie groß die Konvektionsgeschwindigkeit ist.

Wir verstehen jetzt, warum das so ist: Der viskose Term skaliert tatsächlich mit Fluidgeschwindigkeitsgradienten , während der konvektive Term mit der Fluidgeschwindigkeit selbst skaliert. Daher folgt nahe einer stationären Grenze, wo die Geschwindigkeit Null ist, dass die Geschwindigkeit klein und die Gradienten groß sind, daher der Wert von$\mathrm{Re}$ist lokal klein , und es gibt eine Grenzschicht.

Abschließend möchte ich auch in Bezug auf die Antwort von tpg2114 anmerken, dass Einheiten tatsächlich eine Rolle spielen. Wichtig für die reibungsfreie Annäherung ist, dass die dimensionslose Reynolds-Zahl groß ist. Auch wenn wir unter Freunden sagen „für große Geschwindigkeiten..“ müssen wir verstehen, dass wir in diesem Fall „für große Werte der Reynoldszahl“ meinen. Es ist ähnlich wie in der Quantenmechanik, wo wir vielleicht sagen „weil$\hbar$ist so klein..", aber tatsächlich setzen wir normalerweise Einheiten ein, in denen$\hbar=1$.

$^1$Die besondere Form für ein Newtonsches Fluid ergibt sich aus der Aussage, dass die Spannung$\tau_{ij}$(Kraft pro Fläche aufgrund von Druck und Reibung) ist gegeben durch$\tau_{ij} = -p\delta_{ij} + \mu (\partial_ju_i+\partial_iu_j)$. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind eigentlich Impulserhaltungsgleichungen, die besagen, dass die Divergenz des Spannungstensors gleich der Zeitänderungsrate des Impulses ist:

$^2$Es muss jedoch gesagt werden, dass die Reibung (Viskosität) natürlich eine Folge zufälliger Kollisionen auf der molekularen Ebene der Modellierung ist. Beispielsweise hat die Viskosität oft eine starke Abhängigkeit von der Temperatur. Aber auf der Kontinuumsebene wird diese Zufälligkeit in makroskopische Größen gemittelt und durch konstitutive Gleichungen wie die obige Newtonsche Flüssigkeit modelliert.

Es ist hilfreich, dieses Problem in Bezug auf Zeitskalen zu betrachten.

Sehen Sie sich die Navier-Stokes-Gleichung in 1D an:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Unter Berücksichtigung von Zeitskalen in der Größenordnung der Diffusion für einen Längenbereich,$L$, die Diffusionszeitskala ist$\tau_d \sim L^2/\nu$. Auf der anderen Seite die konvektive Zeitskala, wo$U$eine typische Geschwindigkeit in der Strömung ist, ist$\tau_c \sim L/U$. Mit anderen Worten, die Zeitskalen der einzelnen Prozesse unterscheiden sich um etwa$Pe = \tau_d/\tau_c \approx UL/\nu$mal. Letztere Größe ist als Peclet-Zahl bekannt,$Pe$, die die relative Größe jeder Zeitskala vergleicht. Wenn$\tau_c << \tau_d$oder$Pe >> 1$dann wird der Transport durch Advektion/Konvektion dominiert. Wenn$Pe << 1$Diffusion dominiert.

Sie können verschiedene Werte einfügen und selbst überprüfen, ob dies nur dann der Fall ist$Pe$nahe bei 1 liegt, liegen die diffusiven und konvektiven Zeitskalen in derselben Größenordnung. Bei typischen Strömungen, bei denen die Zeitskala der Diffusion viel größer ist als die Zeitskala der Konvektion, können die Euler-Gleichungen in guter Näherung verwendet werden.