Kein Diffusionsterm in der Massenerhaltung in Navier-Stokes-Gleichungen?

Für ein einkomponentiges Fluid folgt die Massenerhaltung

$$\left(\begin{array}{c}\text{mass of fluid } \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of fluid } \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{sources or} \\ \text{sinks in }\Delta V\end{array}\right)$$ In Bezug auf einen Volumenwürfel $\Delta V=\Delta x\Delta y\Delta z$, das ist $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\rho\Delta V&=\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x}-\rho v_x\Delta y\Delta z\vert_{x+\Delta x} \\ &+\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y}-\rho v_y\Delta x\Delta z\vert_{y+\Delta y} \\ &+\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z}-\rho v_z\Delta x\Delta y\vert_{z+\Delta z} \\ &+r\Delta V \end{align}$$ Der Fluss ist hier definiert als $\rho v_i$: die Masse, die nach außen fließt, $\rho$, muss mit der Geschwindigkeit der Flüssigkeit im Zellvolumen ausströmen, $v_i$. Wenn eine mikroskopische Diffusion stattfinden würde, könnten wir das nicht sagen, weil die Molekülmassen identisch sind, also könnten wir Zustand 1 nicht von Zustand 2 unterscheiden.

Dann teilen Sie beide Seiten durch$\Delta V$und das Limit nehmen$\Delta x\to0$, landen wir bei der PDE

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\frac{\partial\rho v_x}{\partial x}-\frac{\partial\rho v_y}{\partial y}-\frac{\partial\rho v_z}{\partial z}+r$$ was sich auf die allgemein gesehene Kontinuitätsgleichung reduziert $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\rho\mathbf{v}=0$$ ohne Quellen/Senken ( $r=0$).

Wir können jedoch eine Diffusionskomponente in der Kontinuitätsgleichung haben, wenn wir verschiedene chemische Spezies betrachten, die interagieren können. Für ein beliebiges Volumen einiger chemischer Spezies$i$, die Massenbilanz ist

$$\left(\begin{array}{c}\text{mass of species }i \\ \text{in volume }\Delta V\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\text{flux of species }i \\ \text{in/out of volume }\Delta V\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\text{mass produced} \\ \text{by reactions}\end{array}\right)$$ das ist wirklich, $$\frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{n}=r\tag{1}$$ Wo $\mathbf{n}$ist der Artenfluss $c_i$, Und $r$der Quellterm. Dies ist natürlich unsere übliche Kontinuitätsgleichung mit einem Quellterm. Im Falle des Mehrkomponenten-Fluids werden hier durch die Diffusion von Partikeln die Zustände verändert, so dass der Ausgangszustand nicht mehr dem Endzustand entspricht.

Für stationäre Strömungen ist der Fluss für den Stoffaustausch

$$\mathbf{n}=-D\nabla c_i$$ um uns das Ficksche Gesetz zu geben . Bei einer bewegten Strömung hat der Fluss jedoch eine Diffusions- und eine Konvektions-/Advektionskomponente, $$\mathbf{n}=-D\nabla c_i+c_i\mathbf{v}$$ was dann (1) zulassen würde $$\frac{\partial c_i}{\partial t}+\nabla \cdot c_i\mathbf{v}=\nabla\cdot\left(D\nabla c_i\right)+r\tag{2}$$ was eine Konvektions-Diffusions-Gleichung ist .

Bei der Impulsgleichung haben wir jedoch einige zusätzliche Terme , die mit der sich ändernden Form des Kontrollvolumens verbunden sind$\Delta V$:

$$\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V\rho \mathbf u\,dV=-\oint_S\left(\rho \mathbf u\,d\mathbf S\right)\mathbf u-\oint_S p\,d\mathbf S+\iiint_V\rho\mathbf f_{body}\,dV+\mathbf F_{surf}$$ nämlich die Körperkräfte, $\mathbf{f}_{body}$, und Oberflächenkräfte, $\mathbf{F}_{surf}$. Es ist die Oberflächenkraft, die den Diffusionsterm erzeugt, da sie mit dem Spannungstensor zusammenhängt , der die liefert $\nu\nabla^2\mathbf{v}$Term in der Navier-Stokes-Gleichung.

Ich habe dies als Kommentar hinterlassen, aber ich werde es hier erweitern, da es einen anderen Standpunkt bietet. Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Kiste voller Gasmoleküle, die darin herumhüpfen. Jedes Molekül ist identisch, also haben sie die gleiche Masse, Temperatur und den gleichen Druck. Nehmen wir auch an, dass diese Box eine Membran in der Mitte hat, die die Box in zwei Teile trennt.

Sie entfernen nun das Diaphragma und suchen nach Veränderungen im Gas in der Box. Aber Sie sehen, dass nichts passiert, denn für jedes Molekül, das links von der Trennlinie begonnen hat und sich rechts von der Trennlinie bewegt, bewegt sich ein Molekül von rechts nach links. Aber es sind genau die gleichen Massen, Drücke und Temperaturen, sodass sich der tatsächliche Zustand der Box nicht ändert.

Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dieselbe Kiste in zwei Hälften geteilt, aber dieses Mal würden Sie links ein leichtes Molekül und rechts ein schweres Molekül platzieren, wieder alle mit demselben Druck und derselben Temperatur. Wenn Sie nun das Diaphragma entfernen und sich ein schweres Molekül auf die Seite der leichten Moleküle bewegt, bewegen sich mehrere leichte Moleküle auf die Seite der schweren Moleküle. Und wenn Sie sich das im Laufe der Zeit ansehen, wird die scharfe Grenzfläche ausdiffundieren, wenn diese Moleküle voneinander abprallen und sich vermischen. Irgendwann wird es homogen und Sie werden keine weiteren Änderungen im System sehen.

Stellen Sie sich nun vor, wir hätten die gleiche Box, den gleichen Teiler, mit identischen Molekülen links und rechts, aber jetzt wäre die Temperatur links höher als rechts. Wenn die Trennwand entfernt wird und sich ein Molekül mit hoher Temperatur zu einer Seite bewegt und ein Molekül mit niedriger Temperatur seinen Platz einnimmt, würden Sie sehen, wie die Temperatur des Systems diffundiert und sich vermischt, bis es homogen ist. Sie können das gleiche Argument über den Impuls anführen, um den Term für die viskose Diffusion zu erhalten.

All dies bedeutet also, dass die Gleichungen alle dieselben Dinge beschreiben, aber die Diffusion identischer Masse ergibt ein System, das vom vorherigen Zustand nicht zu unterscheiden ist. Es gibt einfach keine beobachtbaren Unterschiede, und daher gibt es keinen Diffusionsterm in der Massengleichung. Es sei denn, Sie haben mehrere Arten (verschiedene Moleküle), in diesem Fall haben diese partiellen Massengleichungen einen Diffusionsterm.

Es ist also eigentlich ein ganz einfacher Grund, aber Sie müssen ein wenig darüber nachdenken, was vor sich geht.

Die Transportgleichung besagt, dass alles, was ein „Stoff“ ist, auf diese Weise betrachtet werden kann: „Eine kleine Kiste fließt stromabwärts; die zeitliche Änderungsrate des Stoffes innerhalb der Kiste ist gleich dem Fluss des Stoffes durch die Grenze der Kiste, plus was auch immer durch einen anderen Mechanismus in die Kiste eingefügt wird." Natürlich ist die eigene Masse der Flüssigkeit ein Stoff, ihr Impuls in x-Richtung ist ein Stoff, ihre Temperatur ist ein Stoff in Form von thermischer Energie usw. So ziemlich alles, was erhalten bleibt, kann als "Stoff" angesehen werden. .

Wenn man es in Teile zerlegt, wird das Zeug durch eine gewisse Konzentration oder Dichte beschrieben$c$; der Strom durch ein Geschwindigkeitsfeld$\vec v(\vec r, t)$. Der Teil, in dem es heißt: "Eine Kiste fließt stromabwärts, die zeitliche Änderungsrate des Materials in der Kiste", beginnt mit:

$$\frac{\partial c}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) ~ c = \dots~~~.$$ (Falls Sie das noch nie gesehen haben: Die Box wird irgendwann $t + dt$schlagen $\vec r + \vec v~dt;$Taylor-expandieren $c(\vec r + \vec v ~dt, t + dt) - c(\vec r, t)$um diese "konvektive Ableitung" zu finden.)

Der Fluss von$c$wird dann durch eine Stromdichte beschrieben$\vec j$, aber das summiert sich nur in der Box mit ihrer negativen Divergenz . Schließlich bleibt der "andere Mechanismus" nur als Begriff übrig$q$später auszufüllen, daher

$$\frac{\partial c}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) ~ c = -\nabla \cdot \vec j + q~.$$ Eine typische Form für $\vec j$in der Tat sagt das $$\vec j = c ~\vec v - D ~\nabla c ~.$$ Dies besagt, dass das "Zeug" hauptsächlich stromabwärts fließt, aber auch dort eine Wirkung hat, wo es nicht stromabwärts fließt: Es fließt nämlich von einer hohen Konzentration zu einer niedrigeren Konzentration durch eine "lokal lineare" Strömung (Ficksches Gesetz, linear in der spüren, dass die doppelte Konzentrationslücke lokal = doppelter Durchfluss). Wenn Sie dieses Formular einfügen, erhalten Sie das allgemeine Formular: $$\frac{\partial c}{\partial t} + \nabla \cdot (c ~\vec v) = D \nabla^2 c ~+~ (\nabla D) \cdot (\nabla c) ~+~ q~.$$

Springen Sie jetzt also zurück zu diesem Ausdruck für$\vec j$: können Sie sehen, warum$D = 0$ist die einzig angemessene Wahl, wenn es um die Masse der Flüssigkeit selbst geht?

Ja, weil alle Informationen, die wir brauchen, bereits vorhanden sind$\vec v$. Der Fluss der Masse des Fluids selbst ist einfach$\rho ~\vec v$, Punkt, sonst nichts.

Anders ausgedrückt: Wenn die flüssige Masse in eine andere Richtung fließen würde, dann$\vec v$wäre anders zu kompensieren. Die Tatsache, dass beispielsweise das Fluid kompressibel sein kann, ist bereits in der Gleichung enthalten, die in der verborgen ist$\nabla \cdot (\rho ~ \vec v)$Begriff. Das einzige, was nicht da ist, ist, wenn Flüssigkeit von der Außenwelt in den Strom kommt, aber das ist vergraben$q$. Es gibt keine Möglichkeit für die flüssige Masse, außerhalb dieses Mechanismus mit sich selbst zu interagieren, ohne dass wir eine andere Gruppe von Partikeln als die eigentliche „Flüssigkeit“ definieren und dieser Flüssigkeit als unserer folgen$\vec v$, in diesem Fall sind diese Partikel$\rho$hat das gleiche Phänomen.

Der grundlegende Punkt wurde bereits erwähnt, aber ich möchte meine Version der Antwort geben und auf eine Subtilität hinweisen. Die Grundgleichungen der Fluiddynamik sind die Erhaltung von Masse, Impuls und Energie

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} - \vec{\nabla}\cdot\vec{\jmath}_\rho \\ \frac{\partial \pi_i}{\partial t} = - \nabla_j\Pi_{ij}, \\ \frac{\partial {\cal E}}{\partial t} = - \vec{\nabla} \cdot\vec{\jmath}^{\;\epsilon} .$$ Die Navier-Stokes-Theorie entspricht der Berücksichtigung von Diffusionstermen im Spannungstensor $\Pi_{ij}$. Diese Begriffe beziehen sich auf Volumen- und Scherviskosität, $\delta\Pi_{ij}=-\eta\sigma_{ij}-\zeta\delta_{ij}\langle \sigma\rangle$mit $$\sigma_{ij} = \nabla_i u_j +\nabla_j u_i -\frac{2}{3}\delta_{ij} \langle\sigma\rangle \, , \;\;\; \langle\sigma\rangle =\vec{\nabla}\cdot\vec{u}\, .$$ Diffusive Terme treten auch im Energiestrom auf $\vec{\jmath}^{\;\epsilon}$. Der Energiestrom enthält neben der Viskosität auch die Wärmeleitfähigkeit. $\delta\jmath_i^{\;\epsilon}=u_j\delta\Pi_{ij}-\kappa\nabla_i T$.

Warum gibt es im Massenstrom keine Diffusionsterme?$\jmath_\rho$? Die richtige Antwort ist in der Tat die$\vec{\jmath}_\rho=\rho\vec{u}$wird verwendet, um die Fluidgeschwindigkeit zu definieren. Andere Definitionen sind möglich. Im relativistischen Bereich definieren wir die Fluidgeschwindigkeit häufig unter Verwendung des Energiestroms (dies wird als Landau-Rahmen bezeichnet), und dann erscheinen Diffusionsterme im Massenstrom.

Die Feinheit: In der Strömungslehre verwenden wir auch, dass die Impulsdichte ist$\vec{\pi}=\rho\vec{u}$. Da wir verwendet$\vec{\jmath}_\rho$definieren$\vec{u}$Es ist nicht offensichtlich, warum diese Beziehung nicht durch Diffusionsterme modifiziert wird.

Die Antwort ist natürlich die$\vec{\pi}=\vec{\jmath}_\rho$hängt mit einer Symmetrie zusammen. Massenerhaltung multiplizieren mit$\vec{r}$und über den Raum integrieren (dieses Argument stammt von Landau). Wir bekommen

$$\frac{\partial}{\partial t}\int d^3r\, \vec{r}\rho + \int d^3r\, \vec{\jmath}_\rho =0.$$ Da der erste Term der Schwerpunkt ist, muss der zweite Term der Gesamtimpuls sein. Der Massenmittelpunkt ist einer der Generatoren der Schrödinger-Gruppe, also ist die Symmetrie Schrödinger-Symmetrie. Eine moderne Version dieses Arguments wurde von Jensen ( http://arxiv.org/abs/1411.7024 ) gegeben. $\vec{\pi}=\vec{\jmath}_\rho$ist eine Ward-Identität, die unter Verwendung der Newton-Cartan-Geometrie abgeleitet werden kann.

Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben Flüssigkeiten in einer ungefähren Weise, die die Diffusion von Molekülen insgesamt vernachlässigt. Im Normalfall soll das Geschwindigkeitsfeld glatt sein.

"Impulsausbreitung" erwähnt im Zusammenhang mit dem Begriff proportional zu$\Delta \mathbf u$ist nicht wirklich eine Diffusion im molekularen Sinne. Es ist eher eine Art Metapher, um die Impulsübertragung aufgrund von viskosen Kräften in der Flüssigkeit zu beschreiben. Auf dieser makroskopischen Ebene wird keine tatsächliche Diffusion beschrieben. In den Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen ist jede Bewegung der Materie rein konvektiv, gegeben durch ein glattes Geschwindigkeitsfeld. Es ist nur so, dass viskose Kräfte (die eine Verbindung zur tatsächlichen Diffusion haben, aber nicht auf dieser Ebene der Theorie) zu einer Entwicklung der Impulsverteilung führen, die an gewöhnliche Diffusion erinnert.