Die Nullgeschwindigkeitsdivergenz für inkompressible Strömung wird aus der Energieerhaltungsgleichung oder der Massenerhaltungsgleichung abgeleitet?

Ich bin etwas verwirrt über die inkomprimierbare Flussdefinition. In vielen Lehrbüchern oder wissenschaftlichen Artikeln wird einfach behauptet, dass die Inkompressibilitätsbedingung für die Navier-Stokes-Gleichung lautet:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Aber niemand sagt explizit, wie man beweist, dass ein inkompressibles Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei sein sollte. Hier sind meine Ergebnisse, um diese Gleichung aus den Grundlagen der Physik abzuleiten:

Für inkompressible Flüssigkeiten: Aus der thermodynamischen Zustandsgleichung wissen wir, dass die Dichte nur von den Gleichgewichtspotentialen von Druck und Temperatur abhängen sollte:

$\rho = \rho(P,T)$

Wenn wir aus dieser Gleichung eine materielle Ableitung nehmen:

$\frac{D \rho}{D t} = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} \frac{D P}{D t} + (\frac{\partial \rho}{\partial T})_{P} \frac{D T}{D t}$

Für eine isotherme und inkompressible Flüssigkeit:

Inkompressible Flüssigkeit:$(\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} = 0$

Isotherme Flüssigkeit:$\frac{D T}{D t} = 0$

Letztendlich führen diese Bedingungen also zu:

$\frac{D \rho}{D t} = 0$

Aber aus der Massenerhaltungsgleichung (Kontinuitätsgleichung) haben wir:

$\frac{D \rho}{D t} = -\rho \nabla \cdot \mathbf{u}$

Infolge:$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Für komprimierbares Fluid: Aus der internen Energiebilanzgleichung wissen wir:

$\rho \frac{D e}{D t} = -\nabla \cdot \mathbf{q} + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Wo$e$ist die innere Energie des Systems, die gleich der Enthalpie bei konstantem Druckzustand ist,$\mathbf{q}$ist der thermische Wärmefluss,$\sigma$ist der Cauchy-Spannungstensor, der gleich ist zu:$\sigma = -P \mathbf{I} + \tau$, Wo$P$ist der Druck und$\tau$ist die deviatorische Spannung.

Für isotherm kompressible Flüssigkeit:$\frac{D e}{D t} = 0$Und$\nabla \cdot \mathbf{q} = 0$.

Infolge:$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = 0$.

Für ein Newtonsches kompressibles Fluid gilt:$\tau = \mu (\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^{T}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u}) \mathbf{I}$.

Wo$\mu$ist die Scherviskosität und$\zeta$ist die Volumenviskosität.

Endlich der Begriff$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$könnte erweitert werden als:

$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$.

Wo$S$ist der Scherratentensor, der definiert ist als:$S = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^{T})$.

Schließlich haben wir:

$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u}) = 0$

oder

$(P - \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})) (\nabla \cdot \mathbf{u}) = 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Nun könnten wir argumentieren, dass bei niedrigen Geschwindigkeiten (niedrige Machzahl) der Term der viskosen Wärmeableitung ($2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$) ist vernachlässigbar. Als Ergebnis haben wir:

$(P - \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})) (\nabla \cdot \mathbf{u}) = 0$

Schließlich sollten wir haben:

$P = \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})$

oder

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Die erste Gleichung ($P = \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})$) ist widersprüchlich, weil der thermodynamische Druck$P$sollte nur von Gleichgewichtspotentialen und nicht von kinetischen Variablen wie der Geschwindigkeit abhängen. Als Ergebnis haben wir:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Es beweist also, dass komprimierbares Fluid als inkompressible Strömung behandelt werden kann, wenn seine Geschwindigkeit im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit klein bleibt (niedrige Machzahl).

Meine Frage ist also, warum in klassischen Lehrbüchern der Strömungsmechanik immer behauptet wird, die divergenzfreie Bedingung sei eine direkte Folge der Massenerhaltung?! Im Moment zeige ich, dass es mit minimalen Annahmen aus der Energieerhaltungsgleichung abgeleitet werden könnte. Jede Idee oder jeder Vorschlag wird geschätzt.

Auflage:

Nachweis der vernachlässigbaren viskosen Verlustwärmerate:

Vollständige interne Energiebilanzgleichung:

$\rho \frac{\partial e}{\partial t} + \rho \mathbf{u} \cdot \nabla e = -\nabla \cdot \mathbf{q} + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Die innere Energie ist gleich der Enthalpie bei konstantem Druck. Als Ergebnis haben wir:

$e = C_{p} \Delta T$

Wo$C_{p}$ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck und$\Delta T$ist die Temperaturdifferenz vom Bezugspunkt. Auch unter Annahme des Fourier-Wärmeübertragungsgesetzes haben wir:

$\mathbf{q} = -k \nabla T$

Wo$k$ist die Wärmeleitfähigkeit.

Die innere Energiegleichung könnte umgeschrieben werden als:

$\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t} + \rho C_{p} \mathbf{u} \cdot \nabla T = k \nabla^{2} T + \sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Wenn wir die Erweiterung von setzen$\sigma \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$für ein Newtonsches kompressibles Fluid finden wir schließlich:

$\rho C_{p} \frac{\partial T}{\partial t} + \rho C_{p} \mathbf{u} \cdot \nabla T = k \nabla^{2} T -P (\nabla \cdot \mathbf{u}) + \zeta (\nabla \cdot \mathbf{u})^{2} + 2 \mu S \cdot (\nabla \otimes \mathbf{u})$

Diese Gleichung könnte nichtdimensionalisiert werden, indem man nimmt:

$\theta = \frac{\Delta T}{\Delta T_{0}}$,$t^{'} = \frac{t}{t_{0}}$,$\mathbf{u}^{'} = \frac{\mathbf{u}}{u_{0}}$,$\nabla^{'} = \epsilon \nabla$,$P^{'} = \frac{P}{P_{0}}$,$S^{'} = \frac{\epsilon S}{u_{0}}$

Die obige Gleichung könnte also umgeschrieben werden als:

$\frac{\rho C_{p} \Delta T_{0}}{t_{0}} \frac{\partial \theta}{\partial t^{'}} + \frac{\rho C_{p} u_{0} \Delta T_{0}}{\epsilon} \mathbf{u}^{'} \cdot \nabla^{'} \theta = \frac{k \Delta T_{0}}{\epsilon^{2}} {\nabla^{'}}^{2} \theta - \frac{P_{0} u_{0}}{\epsilon} P^{'} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'}) + \frac{\zeta u_{0}^{2}}{\epsilon^{2}} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})^{2} + \frac{2 \mu u_{0}^{2}}{\epsilon^{2}} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'})$

Schließlich durch die Einnahme$\alpha = \frac{k}{\rho C_{p}}$und seine dimensionslose Form$\alpha^{'} = \frac{\alpha t_{0}}{\epsilon^{2}}$, wir haben:

$\frac{1}{\alpha^{'}} \frac{\partial \theta}{\partial t^{'}} + Pe \mathbf{u}^{'} \cdot \nabla^{'} \theta = {\nabla^{'}}^{2} \theta - \frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'}) + Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})^{2} + 2Br_{shear} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'})$

Wobei Peclet-, Bulk-Brinkman- und Shear-Brinkman-Zahlen definiert sind als:

$Pe = \frac{u_{0} \epsilon}{\alpha}$

$Br_{bulk} = \frac{\zeta u_{0}^{2}}{k \Delta T_{0}}$

$Br_{shear} = \frac{\mu u_{0}^{2}}{k \Delta T_{0}}$

Schließlich gilt für eine isotherme Flüssigkeit:$\theta = \theta_{0} = const.$und wir werden haben:

$2Br_{shear} S^{'} \cdot (\nabla^{'} \otimes \mathbf{u}^{'}) = (\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} - Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})) (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$

Für niedrige Mach-Zahlen sind Brinkman-Zahlen (sowohl Scherung als auch Masse) vernachlässigbar. Tatsächlich sollte die Brinkman-Zahl mindestens in der Größenordnung von liegen$O(1)$um die viskose Verlustwärmerate in der inneren Energiegleichung zu berücksichtigen. Für herkömmliche Fluide liegt die Brinkman-Zahl im Bereich niedriger Machzahlen in der Größenordnung von$O(10^{-3})$, was vernachlässigbar ist.

Als Ergebnis sollten wir haben:

$\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} = Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$

oder

$\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'} = 0$

Auch hier könnten wir argumentieren, dass die erste Gleichung ($\frac{P_{0} u_{0} \epsilon}{k \Delta T_{0}} P^{'} = Br_{bulk} (\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'})$) könnte nicht wahr sein, da der thermodynamische Druck nur vom Gleichgewichtspotential und nicht von kinetischen Variablen (z. B. Geschwindigkeit) abhängen sollte. Als Ergebnis finden wir schließlich:

$\nabla^{'} \cdot \mathbf{u}^{'} = 0$

oder in seiner dimensionalen Form:

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$