Kontinuitätsgleichung im Lagrange-Flussbildansatz

Question

Kontinuitätsgleichung im Lagrange-Flussbildansatz

Fluss
Dichte
Physik
Flüssigkeitsdynamik
Erhaltungsgesetze
Kontinuumsmechanik

Mahmud Hassan

Bei der Ableitung von Kontinuitätsgleichungen mit Lagrange.

Wir betrachten das Flüssigkeitselement, das ein rechteckiges Parallelepiped einnimmt, dessen Mittelpunkt an der Spitze liegt $(a,b,c)$ und seine Ränder $\delta a$ , $\delta b$ , $\delta c$ parallel zu den Achsen. Damals $t$ das gleiche Element für ein schiefes Parallelepiped. Das Zentrum hat nun für seine Koordinaten $x$ , $y$ , $z \ ;$ und die Projektionen der Kanten auf die Koordinatenachsen sind jeweils

\frac{\partial X}{\partial A} δ A, \frac{\partial j}{\partial A} δ A, \frac{\partial z}{\partial C} δ A

$\frac{\partial x}{\partial a} \delta a \ , \ \frac{\partial y}{\partial a} \delta a \ , \ \frac{\partial z}{\partial c} \delta a$

\frac{\partial X}{\partial B} δ B, \frac{\partial j}{\partial B} δ B, \frac{\partial z}{\partial B} δ B

$\frac{\partial x}{\partial b} \delta b \ , \ \frac{\partial y}{\partial b} \delta b \ , \ \frac{\partial z}{\partial b} \delta b$

\frac{\partial X}{\partial C} δ C, \frac{\partial j}{\partial C} δ C, \frac{\partial z}{\partial C} δ C

$\frac{\partial x}{\partial c} \delta c \ , \ \frac{\partial y}{\partial c} \delta c \ , \ \frac{\partial z}{\partial c} \delta c$

Wie bekomme ich diese Projektionen? Das Volumen des Parallelepipeds ist daher

| \begin{matrix} \frac{\partial X}{\partial A} & \frac{\partial j}{\partial A} & \frac{\partial z}{\partial A} \\ \frac{\partial X}{\partial B} & \frac{\partial j}{\partial B} & \frac{\partial z}{\partial B} \\ \frac{\partial X}{\partial C} & \frac{\partial j}{\partial C} & \frac{\partial z}{\partial C} \end{matrix} | δ A δ B δ C

$\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial a} & \frac{\partial y}{\partial a} & \frac{\partial z}{\partial a} \\ \frac{\partial x}{\partial b} & \frac{\partial y}{\partial b} & \frac{\partial z}{\partial b} \\ \frac{\partial x}{\partial c} & \frac{\partial y}{\partial c} & \frac{\partial z}{\partial c} \end{vmatrix} \delta a \delta b \delta c$ oder wie es oft geschrieben wird

\frac{D (X, j, z)}{D (A, B, C)} δ A δ B δ C

$\frac{D(x,y,z)}{D(a,b,c)} \delta a \delta b \delta c$

da die Flüssigkeitsmasse unverändert ist und die Flüssigkeit inkompressibel ist, haben wir

\frac{D (X, j, z)}{D (A, B, C)} = 1

$\frac{D(x,y,z)}{D(a,b,c)} =1$

Gibt es eine Möglichkeit, das zu beweisen

\frac{D (A, B, C)}{D (X, j, z)} = 1

$\frac{D(a,b,c)}{D(x,y,z)}= 1$ ohne die Determinante zu erweitern?

Tief

Die Masse bleibt erhalten, egal ob Sie in der Zeit vorwärts oder rückwärts gehen. Wenn Sie sich also für einen von ihnen beweisen, haben Sie auch den anderen bewiesen.

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Kontinuitätsgleichung im Lagrange-Flussbildansatz

Die Masse bleibt erhalten, egal ob Sie in der Zeit vorwärts oder rückwärts gehen. Wenn Sie sich also für einen von ihnen beweisen, haben Sie auch den anderen bewiesen.

QMechaniker · Answer 1

Im Lagrange-Strömungsbild ${\bf a}\equiv(a,b,c)$ bezeichnen typischerweise Endlosetiketten eines Fluidpakets, das so verteilt wird, dass
$\begin{matrix} (2.1) & D (Masse) = D A D B D C, \end{matrix}$ $d(\text{mass})~=~da~db~dc,\tag{2.1}$ vgl. zB Art.-Nr. 1.
Andererseits ${\bf x}\equiv(x,y,z)$ bezeichnen typischerweise die Positionskoordinaten eines Fluidpakets. Daher wird die Massendichte
$\begin{matrix} (2.2) & ρ = | det \frac{\partial A}{\partial X} | . \end{matrix}$ $\rho~=~ |\det\frac{\partial{\bf a}}{\partial{\bf x}} |.\tag{2.2}$
Die Strömungsgeschwindigkeit ist definiert als
$\begin{matrix} (2.4) & u \equiv \frac{D X}{D T} . \end{matrix}$ ${\bf u}~\equiv~ \frac{d{\bf x}}{dt}.\tag{2.4}$ Die Massenkontinuumsgleichung folgt im Lagrange-Strömungsbild aus $\begin{matrix} (2.3) & \begin{aligned} - \frac{D \ln ρ}{D T} = & \frac{D}{D T} \ln | det \frac{\partial X}{\partial A} | \\ = & T R (\frac{\partial A}{\partial X} \frac{D}{D T} \frac{\partial X}{\partial A}) \\ = & T R (\frac{\partial}{\partial X} \frac{D X}{D T}) \\ = & \nabla \cdot u . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} -\frac{d\ln\rho}{dt}~=~&\frac{d}{dt}\ln |\det \frac{\partial{\bf x}}{\partial{\bf a}}|\cr ~=~&{\rm tr}\left( \frac{\partial{\bf a}}{\partial{\bf x}}\frac{d}{dt}\frac{\partial{\bf x}}{\partial{\bf a}}\right)\cr ~=~&{\rm tr}\left( \frac{\partial}{\partial{\bf x}}\frac{d{\bf x}}{dt}\right)\cr ~=~&{\bf \nabla}\cdot {\bf u}.\end{align} \tag{2.3}$ Bei einer inkompressiblen Strömung die Dichte $\rho$ entlang der Flüssigkeitsströmung konstant ist.

Verweise:

R. Salmon, Hamiltonsche Strömungsmechanik, Ann. Rev-Flüssigkeit. Mech. (1988) 225 . Die pdf-Datei kann von der Homepage des Autors heruntergeladen werden .

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Mahmud Hassan

Tief

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QMechaniker

Was versteht man unter inkompressibler Strömung?

Hängt die Definition der Kompressibilität vom Bezugsrahmen ab?

Ist die Kontinuitätsgleichung gültig, wenn es um vertikale Rohre geht?

Kontinuitätsgleichung

Gelten die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Flüssigkeiten oder inkompressible Strömungen?

Die Nullgeschwindigkeitsdivergenz für inkompressible Strömung wird aus der Energieerhaltungsgleichung oder der Massenerhaltungsgleichung abgeleitet?

Gibt es Flüssigkeiten, die in einem engen Bereich langsamer fließen als Wasser?

Wie rechtfertigt der Divergenzsatz die Integralform der Kontinuitätsgleichung?

Erhaltung Vs Nichterhaltung Formen der Erhaltung Gleichungen

Ist Gl. der Kontinuität auch im Vakuum?