Hängt die Definition der Kompressibilität vom Bezugsrahmen ab?

Nach Ansicht vieler Autoren wird eine Flüssigkeit als inkompressibel definiert, wenn die materielle Ableitung der Dichte D ρ D T Null ist, das heißt, dass sich die Dichte in einem Bezugssystem, das der Bewegung eines Luftpakets folgt, nicht ändert. Dies wiederum bedeutet nach der Kontinuitätsgleichung

D ρ D T + ρ ∇ ⋅ v → = 0 ,

so dass ∇ ⋅ v → = 0 . So weit, ist es gut.

Betrachten wir jedoch einen einfachen Fall in 1D, in dem die Dichte von der Form ist ρ ( X , T ) = X − T Und v → = u X ich ^ . Beide Felder erfüllen die Kontinuitätsgleichung. Dies wird deutlicher, wenn wir die andere Form der Kontinuitätsgleichung verwenden,

∂ ρ ∂ T + ∇ ⋅ ( ρ v → ) = 0

Für das Geschwindigkeitsfeld, das ich angegeben habe, ∇ ⋅ v → = 0 , und die Flüssigkeit ist inkompressibel, aber wie wir sehen können, ändert sich die Dichte mit Zeit und Raum. Darüber hinaus würde sich die Dichte an einer festen Position (dh in einem stationären Bezugssystem) mit der Zeit ändern.

Hängt die Dichte also vom Bezugsrahmen ab? Was ist die eigentliche Definition von Kompressibilität in der Strömungsmechanik?

Antworten (3)

Die Definition der Inkompressibilität ist, dass sich die Dichte eines Fluidpakets (eines Volumenelements) nicht ändert (dh konstant ist); das ist deine erste gleichung:

D D T ρ ( X 0 , T ) = 0
was zu der Solenoidbeschränkung führt , ∇ ⋅ u = 0 .

In Bezug auf Ihr "Gegenbeispiel" gibt es keine Probleme, da das Dichtefeld sowohl in Lagrange- als auch in Eulerschen Rahmen tatsächlich räumlich und zeitlich variieren kann. Es ist nur so, dass Sie im ersteren die Entwicklung eines Flüssigkeitspakets konstanter Dichte verfolgen ( ρ ( X 0 , T ) ), anstatt die Entwicklung des Gitters in letzterem zu verfolgen ( ρ ( X , T ) ).

Ich verstehe Ihre Argumente, aber ich sehe nicht, wie sie die Gültigkeit meines Gegenbeispiels widerlegen. Ich verstehe, was Kompressibilität bedeutet, aber ich würde es so neu definieren: Eine Flüssigkeit ist inkompressibel, wenn eine anfängliche Dichteverteilung gegeben ist, selbst wenn die Dichte im Raum variieren kann (das ist es, was mich verwirrt, denn dann wäre die Flüssigkeit komprimierbar), ändert sich diese Verteilung nicht (dh die Dichte eines Flüssigkeitspakets ändert sich nicht mit der Zeit). Ich denke, das wäre ein besserer Weg, es zu verstehen.
Ihr Problem besteht darin, die beiden Frames zusammenzuführen. Der Lagrange-Rahmen berücksichtigt die Entwicklung eines verformbaren Volumens konstanter Dichte. Der Eulersche Rahmen betrachtet die Entwicklung eines festen Gitters . Ihre Definition wird im Wesentlichen bereits verwendet, wenn sie richtig verstanden wird, in Form von D T ρ = 0 und wie in meiner Antwort definiert.
Beachten Sie auch, dass Ihr "Gegenbeispiel" nur funktioniert, wenn v = 1 , sonst erfüllt sie weder Stetigkeit noch Inkompressibilität.
Ich glaube, ich verstehe beide Ansätze: In einem Lagrange-Rahmen bewegen Sie sich mit Flüssigkeit und in einem Euler-Rahmen bleiben Sie im Raum fixiert und sehen zu, wie sich die Flüssigkeit an Ihnen vorbeibewegt. Was ich wirklich meine ist, dass es im Grunde eine Frage der Terminologie ist. Ich persönlich glaube, dass inkompressibel nicht in der Definition verwendet werden sollte, weil die Vorstellung, die ich von Inkompressibilität habe, die von etwas ist, das sowohl räumlich als auch zeitlich konstant ist, und ich habe ein Beispiel für eine Flüssigkeit gegeben, die per Definition inkompressibel ist, sich jedoch ändert im Raum zu einer festen Zeit.
Übrigens, könnten Sie ein Beispiel geben, wo es nicht funktionieren würde, wenn v ≠ 1 ?
@alfdc80: Ihre Definition von Inkompressibilität ist nicht Inkompressibilität, sondern eine stationäre Flüssigkeit. Inkompressibel bedeutet einfach, dass die Dichte in einem festen Volumen konstant ist. Und alle v that is not 1 gibt Ihrer Wahl einen Wert ungleich Null zurück oder R H Ö , haben Sie versucht, sagen wir 10? Weil ich am Ende bei -9 lande
Meine Definition von Inkompressibilität (etwas, dessen Dichte sowohl räumlich als auch zeitlich konstant ist) hat einen Namen, homogene inkompressible Flüssigkeit, oder zumindest sagt Wikipedia das. Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich denke, stationäre Strömung bedeutet, dass das Geschwindigkeitsfeld nur eine Funktion der Position, aber nicht der Zeit ist. Dein Recht. Jedes V, das nicht 1 ist, gibt einen Wert ungleich Null zurück und mein Gegenbeispiel funktioniert nur, wenn v = 1 , aber was meinst du damit?

In der gesamten klassischen Physik wird allgemein davon ausgegangen, dass sich der Beobachter in einem Inertialsystem befindet. Dieser Rahmen ist der Rahmen, in dem sich Objekte, auf die keine Kraft wirkt, in geraden Linien bewegen (oder in Ruhe sind). Wenn man einen nicht-trägen Rahmen verwendet, sagen wir mit konstanter Beschleunigung, dann nehmen die Gesetze der Physik eine andere Form an.

Einstein argumentierte, dass die Gesetze der Physik allgemein kovariant sein sollten, so dass es keine Rolle spielen sollte, in welchem ​​Rahmen man sich befindet.

Ich denke, Ihr Problem ist, dass Sie laut Ihrer Aussage am 26. April um 11:15 Uhr wirklich nicht verstehen, was inkompressibel bedeutet. Wenn Sie eine bestimmte anfängliche ungleichmäßige Verteilung von haben ρ Im Raum bedeutet dies nicht, dass die Verteilung in Bezug auf die Zeit konstant bleibt, im Gegenteil, damit der Dichtewert eines bestimmten Partikels (einer kleinen Flüssigkeitsportion) zeitlich konstant bleibt, müssen Sie ihm entlang seiner Bewegung folgen Erkenne, dass es konstant bleibt, und erkenne dabei den "konstanten" Wert von ρ wird zu unterschiedlichen Zeiten an unterschiedlichen Orten eingesetzt. Kurz gesagt, eine anfängliche ungleichmäßige Verteilung im Raum wird mit der Zeit nicht unveränderlich bleiben, da die verschiedenen Teilchen ihre Werte von mit sich führen ρ wie sie sich bewegen. Damit Ihr Gegenbeispiel allgemein ist, müssen Sie setzen ρ ( X , T ) = X − T u X und das ist wirklich ein gutes Beispiel, kein "Gegenbeispiel"

Ich möchte auch eine Bemerkung zur Antwort von Kyle Kanos hinzufügen, ich denke, dass dies in der Lagrange-Formulierung keine Unverständlichkeit zulässt ρ mit der Zeit zu variieren

Ich denke, der Satz „diese Verteilung ändert sich nicht (dh die Dichte eines flüssigen Pakets ändert sich nicht mit der Zeit)“ in meinem Kommentar am 26. April um 11:15 ist nicht klar genug. Was ich damit meinte, ist, dass sich in einem Bezugsrahmen, der sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt wie die Flüssigkeit, die Dichte im Raum ändern kann, aber nicht in der Zeit, daher D ρ D T = 0 , und das Fluid ist definitionsgemäß inkompressibel.
Aber wie Sie sagten, wenn Sie eine bestimmte anfängliche ungleichmäßige Verteilung von ρ im Raum haben, bedeutet dies nicht, dass die Verteilung in Bezug auf die Zeit konstant bleibt, und mein Beispiel (wie auch Ihres) ist ein gutes Beispiel dafür. Daher denke ich, dass es nicht als inkompressibel bezeichnet werden sollte, obwohl es per Definition so ist.
Außerdem scheint die Definition vom Bezugsrahmen abzuhängen. Wenn du dich mit der Flüssigkeit bewegst, ändert es sich nicht mit der Zeit, wenn du irgendwann fest bleibst, schon.
Hängt die Definition der Kompressibilität vom Bezugsrahmen ab?
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