Wie rechtfertigt der Divergenzsatz die Integralform der Kontinuitätsgleichung?

Die intuitive Art, darüber nachzudenken, besteht darin, ein Gas in einem Glasbehälter zu betrachten (der sich nicht ausdehnen kann). Wenn sich das Gas ausdehnt , was muss dann passieren? Das Gas entweicht aus dem Behälter. Wenn ich versuche, mehr Gas in den Behälter zu füllen, wird das Gas komprimiert .

Das Vektorfeld $\mathbf F$verwenden wir, um die Strömung einer Flüssigkeit zu beschreiben. Die Divergenz dieses Feldes beschreibt die Expansion oder Kompression eines Gases. Was der Divergenzsatz besagt, ist die totale Ausdehnung (oder Kompression) des Gases in einem bestimmten Volumen$V$ist gleich dem Fluss der Flüssigkeit aus (oder in) der Grenze (dh wie viel Material die Oberfläche verlässt (oder eintritt).$S$). Mathematisch ist dies

$$\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ Wo $\mathbf F\cdot d\mathbf S$stellt den Betrag senkrecht zur Oberfläche dar.

Also für ein Massevolumen$m$, ist die Zeitänderungsrate der Masse gleich der obigen (unter der Annahme, dass es keine anderen Materiequellen gibt):

$$\frac{\partial m}{\partial t}=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ das ist unsere integrale Formulierung der Kontinuitätsgleichung.

Da wir das wissen$m=\int\rho\,dV$, dann ist das oben

$$\frac{\partial}{\partial t}\int\rho\,dV=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ Und da zeitliche und räumliche Koordinaten orthogonal sind, können wir sie vertauschen, um zu erhalten $$\int\frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV=-\int_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV=-\int_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S$$ Und schließlich, da das Volumen willkürlich ist, müssen die beiden linken Terme oben sein $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\mathbf F$$ das ist unsere Differentialform der Kontinuitätsgleichung.