Was bedeutet das?

Der Grund, warum sie konservativ oder nicht konservativ sind, hat mit der Aufteilung der Derivate zu tun. Betrachten Sie die konservative Ableitung:

Wenn wir dies diskretisieren, indem wir eine einfache numerische Ableitung verwenden, nur um den Punkt hervorzuheben, erhalten wir:

Jetzt wird die Ableitung in nichtkonservativer Form wie folgt aufgeteilt:

Mit der gleichen numerischen Näherung erhalten wir:

Jetzt können Sie also (hoffentlich!) sehen, dass es einige Probleme gibt. Während die ursprüngliche Ableitung mathematisch gleich ist, ist die diskrete Form nicht gleich. Besonders schwierig ist die Wahl der Terme, mit denen die Ableitung multipliziert wird. Hier habe ich es auf den Punkt gebracht$i$, aber ist$i-1$besser? Vielleicht bei$i-1/2$? Aber wie kommen wir dann darauf$i-1/2$? Einfacher Durchschnitt? Rekonstruktionen höherer Ordnung?

Diese Argumente zeigen nur, dass die nicht-konservative Form anders und in gewisser Weise schwieriger ist, aber warum wird sie als nicht-konservativ bezeichnet? Damit eine Ableitung konservativ ist, muss sie eine Teleskopreihe bilden . Mit anderen Worten, wenn Sie die Terme über ein Gitter addieren, sollten nur die Randterme übrig bleiben und die künstlichen inneren Punkte sollten sich aufheben.

Schauen wir uns also beide Formen an, um zu sehen, wie diese funktionieren. Nehmen wir ein 4-Punkte-Raster an, das von reicht$i=0$zu$i=3$. Die konservative Form erweitert sich wie folgt:

Sie können sehen, dass Sie, wenn Sie alles zusammenzählen, am Ende nur die Randbedingungen ($i = 0$und$i = 3$). Die inneren Punkte,$i = 1$und$i = 2$haben abgesagt.

Betrachten wir nun die nicht-konservative Form:

Sie haben also jetzt keine Kündigungsfrist! Jedes Mal, wenn Sie einen neuen Gitterpunkt hinzufügen, fügen Sie einen neuen Term hinzu und die Anzahl der Terme in der Summe wächst. Mit anderen Worten, was hereinkommt, gleicht nicht aus, was hinausgeht, also ist es nicht konservativ.

Sie können die Analyse wiederholen, indem Sie mit dem Ändern der Koordinaten dieser Terme außerhalb der Ableitung spielen, indem Sie es beispielsweise versuchen$i-1/2$wobei das nur der Durchschnitt des Wertes ist$i$und$i-1$.

Wie wähle ich aus, was ich verwenden möchte?

Nun, genauer gesagt, wann möchten Sie jedes Schema verwenden? Wenn von Ihrer Lösung erwartet wird, dass sie glatt ist, kann die nicht-konservative Lösung funktionieren. Bei Flüssigkeiten ist dies ein stoßfreies Fließen.

Wenn Sie Stöße, chemische Reaktionen oder andere scharfe Schnittstellen haben, sollten Sie die konservative Form verwenden.

Es gibt andere Überlegungen. Viele technische Situationen in der realen Welt mögen tatsächlich nicht-konservative Schemata, wenn sie Probleme mit Schocks lösen. Das klassische Beispiel ist das Murman-Cole- Schema für die transsonischen Potentialgleichungen. Es enthält einen Wechsel zwischen einem zentralen und einem Upwind-Schema, aber es erweist sich als nicht konservativ.

Als es eingeführt wurde, erzielte es unglaublich genaue Ergebnisse. Ergebnisse, die mit den vollständigen Navier-Stokes-Ergebnissen vergleichbar waren, trotz Verwendung der Potentialgleichungen, die keine Viskosität enthalten. Sie entdeckten ihren Fehler und veröffentlichten ein neues Papier, aber die Ergebnisse waren im Vergleich zum ursprünglichen Schema viel "schlechter". Es stellt sich heraus, dass die Nichtkonservierung eine künstliche Viskosität eingeführt hat, wodurch sich die Gleichungen zu einem winzigen Bruchteil der Kosten eher wie die Navier-Stokes-Gleichungen verhalten.

Unnötig zu sagen, dass die Ingenieure das liebten. „Bessere“ Ergebnisse zu deutlich geringeren Kosten!

Sie zeigen die Euler-Gleichungen, reduzierte Formen von Navier-Stokes, die Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie sind, zusammen mit Stokes Hypothese. Nun, konservativ/nicht-konservativ hat nichts mit Naturschutzgesetzen zu tun.

In konservativer Form kann man die Ableitungen einmal direkt auf einem Kontrollvolumen integrieren und die Flussmengen durch die Kontrollflächen erhalten (dh Finite-Volumen-Methode). Das ist konservative vs. nicht-konservative Form (der Fluss).

In CFD-Algorithmen hat die Form wichtige Auswirkungen auf Schockplatzierungen und Ausbreitungsgeschwindigkeiten. Für kompressible Strömungen möchten Sie die konservativen Formen verwenden (wo Sie Stöße haben).

Ein wichtiger Grund (vielleicht nicht der einzige) für die Bezeichnungen "konservative" und "nicht-konservative" Formen von Erhaltungsgleichungen hängt mit ihrer numerischen Lösung zusammen. Wenn sie in konservativer Form geschrieben wird, hält die resultierende algebraische Gleichung nach der Diskretisierung der Differentialgleichung durch ein numerisches Verfahren, wie z. B. die Finite-Volumen-Methode, immer noch das Erhaltungsprinzip, unabhängig von der Größe des endlichen Volumens. Mit anderen Worten, man kann immer noch das Gleichgewicht der erhaltenen Variablen (Masse, Impuls, Spezieskonzentration) in der algebraischen Gleichung sehen. Wenn andererseits eine Gleichung in nichtkonservativer Form beispielsweise durch eine Finite-Differenzen- oder Finite-Elemente-Methode diskretisiert wird, ist die Erhaltung nur garantiert, wenn das numerische Netz verfeinert wird. In diesem Fall kann das Gleichgewicht nicht im algebraischen gesehen werden, diskretisierte Gleichung. Daher macht dieses Etikett nur Sinn, wenn es um Erhaltungsgleichungen geht. Es macht keinen Sinn, zu versuchen, eine Differentialgleichung, die keinen Bezug zu einem Erhaltungssatz hat, in konservativer oder nicht-konservativer Form zu schreiben.

Alle Antworten sind gut, aber diese beantworten nicht die Frage. Die Frage ist sehr einfach und lautet:

F: Wann wird ein mathematisches Modell als konservativ bezeichnet und wann als nicht konservativ?

A: Ein mathematisches Modell wird als konservativ bezeichnet, wenn es direkt aus der Erhaltung mathematischer Größen innerhalb eines Kontrollvolumens stammt, dh aus einem Erhaltungssatz.

Genauer gesagt, wenn wir neben der einfachen Erhaltung (dh Massen- oder Impulserhaltung) auch die Kettenregel anwenden, dann erhalten wir ein nicht-konservatives mathematisches Modell, das so genannt wird, weil es die Erhaltung einer Größe auf einem Kontrollvolumen nicht mehr beschreibt, da es stammt nicht direkt aus einem Erhaltungsgesetz. Aber sind die beiden Formulierungen nicht gleichwertig? NEIN!!! Sie sind nur äquivalent, wenn die Lösung stetig ist. Wir können die Kettenregel nicht anwenden, wenn die Lösung nicht stetig ist! Daher kann die nicht-konservative Form die Ausbreitung von Diskontinuitäten (dh Schocks) nicht richtig beschreiben. Siehe Toros Buch für weitere Details.

Zusammenfassend: Es geht um das mathematische Modell, nicht um die numerische Diskretisierung. Es gibt eindeutig eine starke Verbindung zwischen dem numerischen und dem mathematischen Modell, und alle anderen Antworten sind großartig. Aber sie beantworten die Frage nicht.