Bernoulli-Prinzip: Warum erhöht eine Vergrößerung der Querschnittsfläche in einem Schlauch den Druck?

Question

Bernoulli-Prinzip: Warum erhöht eine Vergrößerung der Querschnittsfläche in einem Schlauch den Druck?

Physik
Fluid-Statik
Flüssigkeitsdynamik
Bernoulli-Gleichung
Kontinuumsmechanik

Benutzer142405

Ich habe Probleme, das Bernoulli-Prinzip zu verstehen, insbesondere warum eine Vergrößerung der Querschnittsfläche eines Schlauchs den Druck erhöht?

Alle Antworten, die ich gelesen habe, lauten: "Damit die Energie erhalten bleibt" oder "Wenn die Röhre zusammengedrückt wird, muss die Flüssigkeit beschleunigt werden, damit die gleiche Menge der Flüssigkeit in der gleichen Zeit aus der Röhre austritt (Kontinuitätsgesetz)".

Ich suche nicht das Endgültige : Energieeinsparung. Ich versuche, den Mechanismus zu verstehen , was passiert auf molekularer Ebene?

Žarko Tomicic

Auf molekularer Ebene nimmt die Anzahl der Teilchen, die mit der Flächeneinheit der Oberfläche kollidieren, mit zunehmender Fläche ab.

D. Ennis

Bisher hat sich keine der folgenden Antworten mit Ihrem ursprünglichen Missverständnis befasst. Nach dem Bernoulli-Prinzip steigt der Druck im Schlauchabschnitt mit dem größeren Querschnitt.

Pirx

Ich habe den Fehler des OP behoben (wahrscheinlich nur ein Tippfehler), um etwas Verwirrung zu beseitigen.

Bill N

Titel korrigiert

Benutzer142405

Hallo! Ich glaube, ich habe die falsche Frage gestellt. Ich wollte wissen, was im "Übergangsbereich" passiert, und das Gesetz von Bernoulli beschreibt, was passiert, wenn die Flüssigkeit bereits fließt. Das Prinzip wird auch in der Kontinuumsmechanik angewendet, wo die Dinge nicht auf molekularer Ebene erklärt werden.

Benutzer142405

Die Pascal-Gleichung der "Kraftmultiplikation" kann die Frage jedoch beantworten. Was denken Sie?

Pirx

Nein. Sie sprechen von einem Prinzip der Hydrostatik , das mit Ihrer Frage nichts zu tun hat, denke ich; auch wenn ich jetzt mit Ihren letzten Kommentaren zugeben muss, dass ich keine Ahnung habe, was Sie wirklich wollen. Welche "Übergangsregion"? Geht es jetzt um einen instationären Fluss?

Benutzer142405

Ich meinte die Region, in der sich die Schnittfläche ändert.

Borun Chowdhury

Die Übergangsregion kann in kleine Segmente unterteilt werden und jedes von ihnen als "Nicht-Übergangsregionen" behandelt werden, solange die Segmente größer als der Thermalisierungsmaßstab sind. Jetzt werden Sie also sagen, dass Sie zu kürzeren Längenskalen gehen möchten, und dann sind wir wieder im nicht-thermodynamischen Regime, in dem das Bernoulli-Prinzip einfach nicht gültig ist. Grundsätzlich versuchen Sie, eine Gleichung außerhalb ihres Gültigkeitsbereichs zu verwenden.

Borun Chowdhury

Was Sie tun möchten, ist zu verstehen, wie die Wände die Moleküle zum Zusammendrücken zwingen und wie der Effekt auf die Masse übertragen wird und sich ausbreitet (oder vielmehr hinein), um Gleichgewichte zu erreichen. Viel Glück damit! Aber es geht über das Bernoulli-Prinzip hinaus, das ein grobkörniges Ergebnis ist.

Antworten (3)

Bernoulli-Prinzip: Warum erhöht eine Vergrößerung der Querschnittsfläche in einem Schlauch den Druck?

Auf molekularer Ebene nimmt die Anzahl der Teilchen, die mit der Flächeneinheit der Oberfläche kollidieren, mit zunehmender Fläche ab.
Bisher hat sich keine der folgenden Antworten mit Ihrem ursprünglichen Missverständnis befasst. Nach dem Bernoulli-Prinzip steigt der Druck im Schlauchabschnitt mit dem größeren Querschnitt.
Ich habe den Fehler des OP behoben (wahrscheinlich nur ein Tippfehler), um etwas Verwirrung zu beseitigen.
Hallo! Ich glaube, ich habe die falsche Frage gestellt. Ich wollte wissen, was im "Übergangsbereich" passiert, und das Gesetz von Bernoulli beschreibt, was passiert, wenn die Flüssigkeit bereits fließt. Das Prinzip wird auch in der Kontinuumsmechanik angewendet, wo die Dinge nicht auf molekularer Ebene erklärt werden.
Die Pascal-Gleichung der "Kraftmultiplikation" kann die Frage jedoch beantworten. Was denken Sie?
Nein. Sie sprechen von einem Prinzip der Hydrostatik , das mit Ihrer Frage nichts zu tun hat, denke ich; auch wenn ich jetzt mit Ihren letzten Kommentaren zugeben muss, dass ich keine Ahnung habe, was Sie wirklich wollen. Welche "Übergangsregion"? Geht es jetzt um einen instationären Fluss?
Ich meinte die Region, in der sich die Schnittfläche ändert.
Die Übergangsregion kann in kleine Segmente unterteilt werden und jedes von ihnen als "Nicht-Übergangsregionen" behandelt werden, solange die Segmente größer als der Thermalisierungsmaßstab sind. Jetzt werden Sie also sagen, dass Sie zu kürzeren Längenskalen gehen möchten, und dann sind wir wieder im nicht-thermodynamischen Regime, in dem das Bernoulli-Prinzip einfach nicht gültig ist. Grundsätzlich versuchen Sie, eine Gleichung außerhalb ihres Gültigkeitsbereichs zu verwenden.
Was Sie tun möchten, ist zu verstehen, wie die Wände die Moleküle zum Zusammendrücken zwingen und wie der Effekt auf die Masse übertragen wird und sich ausbreitet (oder vielmehr hinein), um Gleichgewichte zu erreichen. Viel Glück damit! Aber es geht über das Bernoulli-Prinzip hinaus, das ein grobkörniges Ergebnis ist.

Gert · Answer 1

Ich versuche, den Mechanismus zu verstehen , was passiert auf molekularer Ebene?

Das Bernoulli-Prinzip gehört zur Kontinuumsmechanik und ist daher nicht gut geeignet, um Aussagen über Wirkungen auf molekularer Ebene zu treffen (aber darauf komme ich weiter unten zurück).

Zwischen zwei Punkten auf derselben Flusslinie sagt Bernoulli :

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} + ρ G z_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2} + ρ G z_{2}

$P_1+\frac12 \rho v_1^2+\rho gz_1=P_2+\frac12 \rho v_2^2+\rho gz_2$

Der folgende Fall gilt für eine nichtviskose, inkompressible Flüssigkeit ohne potenzielle Energieänderungen ( $z=\mathrm{constant}$ ) und regelmäßig geformte Leitungen (die Querschnitte $A_1$ Und $A_2$ gut definiert sind):

Dann:

P_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}

$P_1+\frac12 \rho v_1^2=P_2+\frac12 \rho v_2^2$

Der Zusammenhang zwischen den Strömungsgeschwindigkeiten ist durch inkompressible Stetigkeit gegeben:

$Q_v=A_1v_1=A_2v_2=\mathrm{constant}\implies v_2=\frac{A_1}{A_2}v_1$

So dass:

$P_2=P_1+\frac12 \rho (v_1^2-v_2^2)$

$P_2=P_1+\frac12 \rho \Big(1-\frac{A_1^2}{A_2^2}\Big)v_1^2$

Daher: $\boxed{A_2>A_1\implies v_2<v_1\implies P_2>P_1}$

Was Sie den „Mechanismus“ nennen, ist also ausschließlich auf die Erfüllung der Kontinuitätsanforderung zurückzuführen. Vielleicht entgegen der Intuition , hier eine Abnahme der Strömungsgeschwindigkeit $v$ führt zu einer Druckerhöhung $P$ .

Auf molekularer Ebene wird ein geringerer Volumenflüssigkeitsdruck durch erhöhte durchschnittliche Abstände zwischen Molekülen verursacht, da diese Erhöhungen die Coulomb-Abstoßungen zwischen den Elektronenwolken verringern, aus denen die Moleküle der Flüssigkeit bestehen. Dies führt zu einer geringeren Anzahl von Kollisionen mit der Kanalwand und damit zu einem geringeren Druck.

Ich habe versucht, einen befriedigenden Weg zu finden, es näher auf molekularer Ebene zu erklären, und bin immer wieder bei der unbefriedigenden Lösung gelandet, die Sie in Ihrem letzten Absatz angegeben haben. Ihr Punkt zur Kontinuität ist großartig und war das, was ich zu erkennen versuchte. Kontinuitätsgesetze sind per Definition nicht auf Systeme anwendbar, die der molekularen Ebene nahe kommen.
@Gert Sie zeigen, dass der Druck mit zunehmender Querschnittsfläche zunimmt, aber das OP beginnt mit der gegenteiligen Annahme. Außerdem scheint die Erklärung der "molekularen Ebene" dem Befund in der Ableitung zu widersprechen, indem sie den niedrigeren Druck erklärt.
@D.Ennis: Das liegt daran, dass die Behauptung des OP falsch war, siehe zB hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pber.html . Außerdem steht die Erklärung des Drucks auf molekularer Ebene allein von Bernoulli (der Kontinuumsmechanik).
@Gert, ja, ich weiß, dass seine Behauptung falsch war, wie ich in meinem Kommentar nach seiner Frage zum Ausdruck gebracht habe. Ich fand es nur bemerkenswert, dass ihm das niemand so explizit in seinen Antworten gesagt hat. Wollen Sie damit auch sagen, dass die Erklärung auf molekularer Ebene dem Bernoulli-Prinzip widersprechen darf?
@D.Ennis: Wie JMac betont: Ob der Druck erhöht oder verringert wird, hat nichts damit zu tun, wie Druck entsteht . Das ist der Punkt zu meinem zweiten Punkt. Und zeigt erneut, dass man die Stärken und Grenzen der Kontinuumsmechanik respektieren muss : Es ist kein QM!
@Gert Um das ein wenig zu erweitern; neben den grundlegenden Kontinuitätsgleichungen; Das einzige, woran ich mich wirklich erinnere, ist der Klappentext in meinem Lehrbuch, in dem ausdrücklich darauf hingewiesen wurde, dass diese Methoden nur in einem Maßstab gültig sind, der groß genug ist, um molekulare Wechselwirkungen zu ignorieren. Sie lieferten sogar eine schnelle Berechnung zur Überprüfung.
@JMac Hier ist der Widerspruch. Das Bernoulli-Prinzip sagt voraus, dass der Fluiddruck in den größeren Abschnitten größer sein wird. Und die Vorhersage bestätigt sich, wenn man dort ein Manometer reinsteckt und feststellt, dass der Druck dort wirklich höher ist als in den kleineren Abschnitten. Und Gerts Antwort stimmt. Aber dann geht die Diskussion auf molekularer Ebene weiter, um zu erklären, warum der Druck niedriger ist .
@D.Ennis: "Aber dann geht die Diskussion auf molekularer Ebene weiter, um zu erklären, warum der Druck niedriger ist." Eigentlich mache ich nichts dergleichen. Ich erkläre einfach (eigentlich sehr einfach), was niedrigerer Druck auf molekularer Ebene bedeutet. Da ich nicht genug wiederholen kann, macht Bernoulli keine Aussagen darüber, wie der Druck in Leitungen auf Mikroebene funktioniert. Das ist nichts, womit sich CM beschäftigt. Die Frage des OP war in dieser Hinsicht etwas "umständlich" (aber dennoch gültig).
Dann möchten Sie vielleicht die Antwort bearbeiten. Stilistisch gibt es keinen Übergang zwischen diesen beiden Absätzen, um darauf hinzuweisen, dass der zweite keine Weiterentwicklung des ersten ist. In der Zwischenzeit verstärkt die Verwendung der fettgedruckten Sätze in beiden Absätzen den Eindruck, dass Sie immer noch über den großen Abschnitt sprechen, und schließlich begünstigt der Kontext - das OP fragt nach dem großen Abschnitt - eine Fehlinterpretation.
@Gert, ich denke, das ist eine großartige Antwort. Und es klärt meinen Kopf darüber, was im Grunde auf molekularer Ebene passiert. Danke👍

Borun Chowdhury · Answer 2

Ihre Suche nach einem "Mechanismus" wird fast sicher scheitern, da Sie darüber sprechen, wie eine Anzahl von Avogadro-Molekülen miteinander interagieren. Genau deshalb werden makroskopische Größen wie Energie und Dichte (in der Kontinuitätsgleichung) verwendet.

Wir können jedoch immer noch versuchen, etwas mehr Intuition zu bekommen, als nur zu sagen, dass Energie für den Fall eines idealen Gases erhalten bleibt (ich werde es trotzdem verwenden).

Der Punkt ist der Druck, der von der Kraft pro Flächeneinheit aus der zufälligen Bewegung von Molekülen herrührt. Wenn das Fluid (Kontinuitätsgleichung) durch ein enges Rohr gehen muss, muss es seine Geschwindigkeit in einer bestimmten Richtung (dh der Rohrrichtung) erhöhen und dann, da Energie konserviert werden muss, unter der Annahme, dass die „Thermalisierung“ auf viel schnelleren Zeitskalen erfolgt als zum Durchgang durch die Röhre benötigt wird, ist der Energieanteil, der für „zufällige“ kinetische Energie und damit für Druck zur Verfügung steht, geringer.

Wenn Sie mathematische Ausdrücke bevorzugen, z $N \gg 1$ Moleküle der Einheitsmasse, die Gesamtenergie (Ignorieren potentieller Energien von gebundenen Zuständen und Behälterwänden).

2 E = \sum_{ich = 1}^{N} {\vec{v}}_{ich} . {\vec{v}}_{ich} = \sum_{ich = 1}^{N} ({\vec{v}}_{ich} - {\vec{v}}_{0} + {\vec{v}}_{0}) . ({\vec{v}}_{ich} - {\vec{v}}_{0} + {\vec{v}}_{0}) = \sum_{ich = 1}^{N} ({\vec{v}}_{ich} - {\vec{v}}_{0}) . ({\vec{v}}_{ich} - {\vec{v}}_{0}) + N {\vec{v}}_{0} . {\vec{v}}_{0}

$2 E = \sum_{i=1}^N \vec v_i.\vec v_i = \sum_{i=1}^N (\vec v_i- \vec v_0 + \vec v_0 ).(\vec v_i- \vec v_0 + \vec v_0 ) \\ =\sum_{i=1}^N (\vec v_i- \vec v_0).(\vec v_i- \vec v_0) + N~\vec v_0. \vec v_0$ Wo

{\vec{v}}_{0} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} {\vec{v}}_{i}

$\vec v_0 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \vec v_i$ ist die mittlere Geschwindigkeit der

N

$N$ Moleküle und die Kreuzterme verschwinden im Grenzwert

N \to \infty

$N \to \infty$ weil die 'zufälligen Schwankungen' um den Mittelwert isotrop sind. Der erste Teil trägt zum Druck bei und der zweite Teil ist die Geschwindigkeit durch das Rohr. Den von dir erwähnten Effekt kannst du deutlich erkennen.

Meine Antwort sollte mit einem Körnchen Salz aufgenommen werden, da ich Argumente vom Typ ideales Gas verwende und es dennoch für nicht komprimierbar halte. Ich denke jedoch, dass dies als handgewelltes Argument „erklärt“, wie niedrigerer Druck auf einen Mangel an gleichmäßiger Energieverteilung zurückzuführen ist.

Eric M Junior · Answer 3

Wenn die Querschnittsfläche zunimmt, werden die Fluidmoleküle weit verbreitet, sodass die Kollisionen pro Flächeneinheit abnehmen. Dadurch sinkt der entsprechende ausgeübte Druck.

die Dichte der Flüssigkeit bleibt, sie ist nicht die Anzahl der Kollisionen/Fläche

Bernoulli-Prinzip: Warum erhöht eine Vergrößerung der Querschnittsfläche in einem Schlauch den Druck?

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