Torricellis Gesetz und variable Dichte

Ich muss Chester Millers Antwort widersprechen.

Sie haben die Ursache der Dichtevariation nicht angegeben. Wenn es sich um eine Anordnung im Labormaßstab handelt, können Dichteschwankungen aufgrund von Druckschwankungen vernachlässigt werden (dh das Fluid kann als inkompressibel angenommen werden). Die Dichtevariation muss dann auf einen anderen Faktor zurückzuführen sein, wie zum Beispiel auf eine Variation des Salzgehalts.

Um die geeignete Form der Bernoulli-Gleichung für Ihren Fall zu erhalten, müssen wir sie von Grund auf neu ableiten, beginnend mit der Navier-Stokes-Gleichung. Für einen inkompressiblen, nichtviskosen, stationären Fluss lautet die Navier-Stokes-Gleichung:

$$\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\mathbf{g}$$ in welchem $\mathbf{u}$ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit (fettgedruckte Schrift wird verwendet, um Vektoren zu bezeichnen), $p$ist Druck, $\rho$ist die Flüssigkeitsdichte, die mit der Position in der Flüssigkeit variiert, $\mathbf{g}$ist der Gravitationsbeschleunigungsvektor und " $\cdot$" ist das Skalarprodukt.

Jetzt können wir schreiben$\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}=\nabla(u^2/2)-\mathbf{u}\times\mathbf{\omega}$, Wo$u=|\mathbf{u}|$Und$\omega=\nabla\times\mathbf{u}$der Vorticity-Vektor ist; diese und nachfolgende Ergebnisse können leicht unter Verwendung von Indizes bewiesen werden, die ich Ihnen überlasse (oder verweise auf Fluid Dynamics von Batchelor, Kapitel 3). Weiter,$\mathbf{g}=\nabla(\mathbf{g}\cdot\mathbf{x})$, in welchem$\mathbf{x}$ist der Positionsvektor von einem willkürlich gewählten Ursprung. Wenn wir diese in die vorherige Gleichung einsetzen und neu anordnen, erhalten wir:

$$\nabla\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\nabla p=\mathbf{u}\times\mathbf{\omega}$$ Seit $\rho$variiert mit der Position, es kann nicht einfach hineingezogen werden $\nabla$Operator.

Es gibt zwei Möglichkeiten, die obige Gleichung zu vereinfachen. Entweder Sie nehmen an, dass die Strömung rotationsfrei ist, dh$\omega=0$überall. Oder Sie integrieren obige Gleichung entlang einer Stromlinie. Ersteres ist die einfachste Annahme, aber physikalisch schwer zu rechtfertigen; Auch wenn es als drehungsfreie Strömung begonnen haben kann, weil es beispielsweise anfänglich in Ruhe war, bleibt es möglicherweise nicht drehungsfrei, weil es keine barotrope Flüssigkeit ist ( Kelvins Zirkulationssatz gilt nicht). Deshalb machen wir das Nächstbeste, nämlich entlang einer Stromlinie zu integrieren.

Eine Stromlinie ist eine Kurve, die überall die Flüssigkeitsgeschwindigkeit berührt. Wählen Sie eine Stromlinie, die an der freien Oberfläche beginnt und durch das Austrittsloch verläuft. Lassen$\mathbf{t}$ein Einheitstangentenvektor zu dieser Stromlinie sein; dann nach Definition der Stromlinie,$\mathbf{t}\times\mathbf{u}=0$an jedem Punkt der Stromlinie. Deshalb$\mathbf{t}\cdot(\mathbf{u}\times\omega)=0$an jedem Punkt der Stromlinie. Bildung des Skalarprodukts mit$\mathbf{t}$der vorherigen Gleichung ergibt:

$$\mathbf{t}\cdot\nabla\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\mathbf{t}\cdot\nabla p=0\\ \frac{d}{ds}\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)+\frac{1}{\rho}\frac{dp}{ds}=0$$ in welchem $s$ist der Parameter der Stromlinienkurve (z. B. $s$Abstand entlang der Stromlinie sein könnte), dessen Wert monoton von variiert $s_1$an der freien Oberfläche zu $s_2$am Ausgangsloch.

Als nächstes integrieren wir die obige Gleichung aus$s_1$Zu$s_2$. dh wir wenden den Operator an$\int_{s_1}^{s_2}ds$. Das erste Semester ist einfach:

$$\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{d}{ds}\left( \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right)=\left[ \frac{1}{2}u^2-\mathbf{g}\cdot\mathbf{x} \right]_{s_1}^{s_2}\\ =\frac{1}{2}(u_2^2-u_1^2)+g(z_2-z_1)=\frac{u_2^2}{2}-gh$$ in dem ich die Z-Achse so gewählt habe, dass sie vertikal nach oben verläuft $\mathbf{g}=-g\mathbf{e}_z$, $\mathbf{e}_z$der Einheitsvektor entlang der Z-Achse und ist $g=|\mathbf{g}|$; Ich habe auch angenommen, dass die Geschwindigkeit an der freien Oberfläche vernachlässigbar ist.

Wenn wir den absoluten Druck schreiben als$p=p_{atm}+p'$, in welchem$p_{atm}$ist dann der atmosphärische Druck$dp/ds=dp'/ds$. Auch$p'=0$sowohl an der freien Oberfläche als auch am Austrittsloch, da dort atmosphärischer Druck herrscht (unter Vernachlässigung von Oberflächenspannungseffekten). Dann kann der zweite Term partiell integriert werden:

$$\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{1}{\rho}\frac{dp}{ds}=\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{1}{\rho}\frac{dp'}{ds}\\ =\left[ \frac{p'}{\rho}\right]_{s_1}^{s_2}+\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}\\ =\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}$$

Somit lautet die Bernoulli-Gleichung in Ihrem Fall, angewendet zwischen freier Oberfläche (Punkt 1) und Austrittsloch (Punkt 2):

$$\frac{u_2^2}{2}-gh+\int_{s_1}^{s_2}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}=0$$ Wenn die Dichte entlang der Stromlinie konstant ist, dann $d\rho/ds=0$, und die obige Gleichung reduziert sich auf die übliche Form $u_2=\sqrt{2gh}$. Ansonsten haben wir: $$u_2=\sqrt{2}\sqrt{gh+\int_{s_2}^{s_1}ds\frac{p'}{\rho^2}\frac{d\rho}{ds}}$$ wobei die Integrationsrichtung nun vom Austrittsloch zur freien Oberfläche verläuft. Wir können schreiben $d\rho/ds=(d\rho/dz)(dz/ds)$, in welchem $d\rho/dz$ist bekannt u $dz/ds$hängt von der gewählten Stromlinie ab. Wenn die Flüssigkeit anfänglich in Ruhe war, muss sie stabil geschichtet sein; weiter, wenn die Stromlinie monoton abfällt (wie in der Abbildung oben), dann $d\rho/ds>0$überall entlang der Stromlinie und Wert von $d\rho/ds$nimmt vom Austrittsloch zur freien Oberfläche zu. Der Manometerdruck $p'$Innerhalb des Integrals befindet sich der problematische Begriff, da er sich aufgrund der Strömung entlang der Stromlinie vom hydrostatischen Wert unterscheidet.

NachtragDa die Flüssigkeit geschichtet ist, könnte man einwenden, dass die Navier-Stokes-Gleichung, mit der wir begonnen haben, die Auftriebskraft auf das Flüssigkeitsteilchen nicht berücksichtigt. In einer stabil geschichteten Flüssigkeit im Gleichgewicht sind die Oberflächen konstanter Dichte horizontal; Dies bedeutet, dass ein Flüssigkeitspartikel auf dieser horizontalen Ebene keine Auftriebskraft erfährt, solange Oberflächen mit konstanter Dichte horizontal bleiben. Die Auftriebskraft kommt nur ins Spiel, wenn Oberflächen mit konstanter Dichte geneigt oder verzerrt sind. Die Verzerrung wird sicherlich in der Strömungsregion in der Nähe des Austrittslochs am größten sein und sich verringern, wenn wir uns vom Austrittsloch entfernen. Daher ist die Navier-Stokes-Gleichung, mit der wir begonnen haben, in der Region nahe dem Austrittsloch ungültig. Vermutlich ist dieser Bereich nicht groß genug, und unsere Gleichung gilt ungefähr entlang der restlichen Stromlinie vom Austrittsloch weg.

Der Boden des Tanks sei das Datum (z = 0) für potentielle Energie von Null. Dann würde die für dieses Problem gültige Form der Bernoulli-Gleichung ein Integral der Dichtevariation beinhalten. Wenn wir die beiden Orte für die Anwendung der Bernoulli-Gleichung als 1. die obere Flüssigkeitsoberfläche im Tank (unter der Annahme, dass er zur Atmosphäre offen ist) und 2. das Austrittsloch nehmen, haben wir:

$$p_{atm}+\int_0^H{\rho g dz}+0=p_{atm}+\int_0^{(H-h)}{\rho g dz}+\frac{1}{2}\rho_{(H-h)} v^2$$ Dies reduziert sich auf $$\frac{1}{2}\rho_{(H-h)} v^2=\int_{(H-h)}^H{\rho g dz}$$