Von einem Wasserstrahl zurückgelegte Entfernung

Der erste Ansatz ist falsch, weil Sie die Zeit, in der ein Wasservolumen durch die volle Schwerkraft beschleunigt wird, mit der Zeit identifizieren, die es benötigen würde, um diese Strecke zu fallen. Wenn das der Fall wäre, würde es weniger Beschleunigung sehen, weil der Staueffekt den Druck, den es von oben sieht, auf Null verringern würde.

Der zweite Ansatz gibt Ihnen die richtige Gleichung für die Geschwindigkeit, obwohl ich Ihre Vorstellung merkwürdig finde.$P_h = P_\mathrm{top} + \rho g (H-h)$ist der Druck am Loch (oder besser gesagt die Differenz zum Umgebungsluftdruck) und die Geschwindigkeit, mit der sich Wasser bewegen muss oder von Null beschleunigt wird, kann dann tatsächlich aus der Bernoulli-Gleichung berechnet werden, da der dynamische Druck$\Delta P = \frac{1}{2} \rho v^2$beschreibt auch richtig den Rammeffekt, den Druckunterschied in Vorwärts-/Rückwärtsrichtung (und das ist kein Zufall, daher ist es zumindest in meinen Augen in Ordnung, dies mit dem Bernoulli-Gesetz für die entgegengesetzte Druckänderung senkrecht zur Strömung zu identifizieren). Beide Ansätze scheinen davon auszugehen, dass der Strahl horizontal ausgestoßen wird (was wahrscheinlich stimmt, aber ich denke, es sollte angegeben werden, falls jemand, der ein schräges Loch macht, ein Missverständnis hat). Ich habe Ihre Maximierung nicht überprüft, nur dass die Gleichungen, die Sie dafür verwenden, unter der Annahme korrekt aussehen$S$ist Ihre Geschwindigkeit (andere bevorzugen oder erwarten vielleicht, dass es so geschrieben wird$v=|\vec{v}|$oder$\dot{x}$).

Die experimentelle Beobachtung ist, dass das Diagramm der zurückgelegten Distanz zur Höhe des Lochs parabolisch "erscheint".

Es ist nicht "parabolisch", es ist die Quadratwurzel einer Parabel (wie Sie unten gezeigt haben):

$$d=2\sqrt{Hh-h^2}\;.$$ Das ist nur Semantik, aber es ist gut, es richtig zu machen; eine Parabel hat nur die Potenzen 0,1 und 2, z. $ax^2+bx+c$, nicht Quadratwurzeln ...

Hier sind zwei Antworten in Notation:$H$=obere Wasseroberfläche,$h$= Strahlhöhe,$d$= mit dem Jet zurückgelegte Entfernung

1. $Pressure = \rho g (H-h)$, Kraft auf einem Tropfen Bereich$A$und Volumen$V$Ist$F=\rho g (H-h) A$. Unter der Annahme, dass diese Kraft für eine Zeiteinheit t wirkt, ist die Geschwindigkeit am Öffnungsausgang$S=g (H-h) At/V$. Da ist Zeit für das Tröpfchen zu fallen$\sqrt {2h/g}$. Die Entfernung, die ein Tröpfchen zurücklegt, ist$d=g (H-h) At/V \sqrt {2h/g}$, das Maximum tritt bei auf$h = H/3$
2. Unter Verwendung der Bernoulli-Gleichung$P+\frac{1}{2}\rho S^2+\rho gh$, dann ist die Annahme, dass die Geschwindigkeit an der oberen Oberfläche vernachlässigbar ist,$\frac{1}{2}\rho S^2=\rho g(H-h)$, So$S=\sqrt {2g(H-h)}$. Da fällt mal wieder ein Tröpfchen auf$\sqrt {2h/g}$. Die Entfernung, die ein Tröpfchen zurücklegt, ist$d=\sqrt{2g(H-h)} \sqrt {2h/g}$, das Maximum tritt bei auf$h = H/2$.

Meiner Meinung nach ist die erste richtig, da es falsch ist, die Geschwindigkeit der Wasseroberfläche zu ignorieren. Können Sie mir helfen zu verstehen, welches der richtige Ansatz ist?

Das Ignorieren der Geschwindigkeit an der Wasseroberfläche ist richtig, wenn die Größe der Stichlöcher viel kleiner ist als die Querschnittsfläche des Wassers an der Oberfläche. Darüber hinaus wirkt sich das Ignorieren der Geschwindigkeit der Wasseroberfläche, wie unten gezeigt, nicht auf Ihre Berechnung der besten Höhe aus$h=H/2$. (Nebenbei ignorieren Sie auch eine Reihe anderer Dinge, die Sie nicht zu stören scheinen. Zum Beispiel ignorieren Sie auch den Unterschied des atmosphärischen Drucks auf der Höhe der oberen Oberfläche H und des atmosphärischen Drucks draußen auf der Loch bei h...)

Wo haben Sie in Ihrer ersten "Antwort" die Geschwindigkeit an der Spitze nicht ignoriert? Hätten Sie die Geschwindigkeit des Wassers an der Spitze nicht ignoriert, gäbe es in Ihrer Ableitung eine Stelle, an der das Verhältnis der oberen Oberfläche zur Lochfläche in die Gleichung einging ... was nicht der Fall ist. Sie haben die Höchstgeschwindigkeit immer noch ignoriert, Sie haben nur einen Pfusch bei der Neuableitung der Bernoulli-Gleichung gemacht, also erhalten Sie die falsche Antwort.

Die Bernoulli-Gleichung lautet:

$$\rho g z_1 + \frac{1}{2}\rho g v_1^2 + P_1 = \rho g z_2 + \frac{1}{2}\rho g v_2^2 + P_2\;,$$ und das Ignorieren der Geschwindigkeit der oberen Oberfläche läuft auf die Einstellung hinaus: $z_1=H$, $v_1=0$, $P_1=P_{atm}$, $z_2=h$, $v_2=S$, $P_2=P_{atm}$, daher $$\rho h H=\rho g h + \frac{1}{2}\rho S^2$$

Das Nichtvernachlässigen der Geschwindigkeit an der oberen Oberfläche läuft auf eine Einstellung hinaus:$z_1=H$,$v_1=S_{top}$,$P_1=P_{atm}$,$z_2=h$,$v_2=S$,$P_2=P_{atm}$, daher

$$\rho h H+\frac{1}{2}\rho S_{top}^2=\rho g h + \frac{1}{2}\rho S^2\;,$$ und für eine inkompressible Flüssigkeit $$S_{top}=S\frac{a_{hole}}{a_{top}}\;.$$ Wenn Sie also wollten, könnten Sie die Geschwindigkeit an der Spitze durch Ersetzen berücksichtigen $$S^2 \to S^2(1-\frac{a_{hold}^2}{a_{top}^2})\;,$$ Sie müssten jedoch die Fläche des Lochs und die Fläche der oberen Oberfläche kennen.

Darüber hinaus ändert die obige Korrektur eindeutig nicht die Form der$h$Abhängigkeit, so dass das Maximum immer noch bei erscheint$h=H/2$. Dh die Reichweite ist jetzt

$$d=2\sqrt{\frac{\rho(Hh-h^2)}{1-\frac{a_{hole}^2}{a_{top}^2}}}\;,$$ die noch durch maximiert wird $h=H/2$

Ich habe dies tatsächlich für eine Einführungsstunde in Physik versucht, indem ich Löcher in einen Gallonen-Plastikbehälter stanzte, in dem die Fläche der Oberseite des Behälters, A, etwa 23.000 mm² betrug und die Fläche des kleinen Lochs, A' , etwa 1 betrug mm^2 die Kontinuitätsgleichung, dh Av=A'v' besagt, dass die Geschwindigkeit des Wassers an der oberen Oberfläche, v , fast vernachlässigbar ist im Vergleich zu der Geschwindigkeit, die aus dem kleinen Loch kommt, v' .

Die Bernoulli-Gleichung schien die erste Wahl zu sein (aber wie mein Experiment zeigte und ich werde weiter unten darauf eingehen, wäre möglicherweise die Navier-Stokes-Gleichung die bessere Wahl gewesen) Die Bernoulli-Gleichung mit den nicht gestrichenen Größen an der oberen Wasseroberfläche und den gestrichenen Größen am kleinen Austrittsloch, ist.

                          **P+(1/2)ρv^2+ρgh=P'+(1/2)ρv'^2+ρgh'**

Wenn es keine Verwirbelung gibt, wirbelt das Wasser um den Abfluss herum, und da es einen kleinen Unterschied im atmosphärischen Druck P = P' und v = 0 gibt und wenn die Höhe von h' aus gemessen wird, sollte die Geschwindigkeit aus dem Loch √ sein 2gh.

Diese Geschwindigkeit kann überprüft werden, wenn das Austrittsloch eine Höhe H vom Boden hat und der Strahl in einem horizontalen Abstand x vom Lochvorsprung auftrifft, der durch die Gleichung gegeben ist

                                      **v'=x√g/√2H**

Als ich dieses Experiment tatsächlich durchführte, war die direkt gemessene horizontale Geschwindigkeit nur etwa die Hälfte der von Bernoulli berechneten Geschwindigkeit. Ich bemerkte, dass das Wasser zu wirbeln schien, dh Wirbel, was darauf hindeutete, dass eine Navier-Stokes-Behandlung dies erklären könnte. Ich fand heraus, dass es keine allgemeine Lösung für die Navier-Stokes-Gleichung gibt und dass es einen Preis in Höhe von einer Million Dollar für ihre Lösung gab. Ich habe es nicht gelöst und beschlossen, etwas anderes zu tun.