Zusammenhang zwischen der Kontinuitätsgleichung und der Wellengleichung

Die Wellengleichung kann geschrieben werden als$\nabla_i\nabla^i\varphi = 0$Wo$\nabla$ist die Levi-Civita-Verbindung im Minkowski-Raum,$\varphi$muss nicht Lorentz-invariant sein.$\partial_i\partial^i\varphi = 0$ist die Laplace-Gleichung sowohl im Minkowski- als auch im euklidischen Raum, da gewöhnliche partielle Ableitungen die Metrik nicht berücksichtigen.

In der (Pseudo-)Riemannschen Geometrie die kovariante Ableitung$\nabla_i$ersetzt Teilsätze$\partial_i$. Der Laplace-Beltrami-Operator

$$\Delta \triangleq \nabla^i\nabla_i$$ ist eine gemeinsame Verallgemeinerung sowohl des D'Alembertian als auch des Laplaceian, $$\Delta \varphi = 0$$ ist die Laplace-Beltrami-Gleichung.

Ihre Beobachtung verallgemeinert sich dann dahingehend, dass für Skalarfelder ein verschwindender Laplace-Beltrami-Operator mit einem divergenzfreien kontravarianten Gradienten identisch ist. Dies ist seit dem allgemein gültig

$$\Delta \varphi = \nabla^i\nabla_i\varphi = g^{ij}\nabla_i\nabla_j\varphi= \nabla_i\nabla^i\varphi$$ Es kommt nicht auf das Metrik- oder Koordinatensystem an. Die genaue geometrische Bedeutung davon hängt jedoch von der Metrik ab.

In euklidischen Räumen bedeutet dies, dass eine Funktion harmonisch ist, wenn sie einen divergenzfreien Gradienten hat, da der Laplace-Beltrami-Operator nur der Laplace-Operator ist.

Im Minkowski-Raum ist der Laplace-Beltrami-Operator der D'Alembertian, und die Laplace-Beltrami-Gleichung wird zur Wellengleichung. Im Minkowski-Raum sind kovariante Ableitungen nur gewöhnliche partielle Ableitungen, wie im euklidischen Raum, da es keine Krümmung gibt, wodurch Christoffel-Symbole verschwinden. Weiterhin für Skalare

$$\nabla_i \varphi = (d\varphi)_i = \partial_i\varphi$$ ist in allen Metriken wahr. Allerdings die kontravariante Ableitung $\nabla^i\varphi$ist nicht der übliche Gradientenvektor, da die Indexerhöhung von der Metrik abhängt. Der Gradient wird daher eher als Covektor oder als 1-Form angesehen. Geometrisch sind die Minkowski-Gradientenvektoren die Zeitreflexionen dessen, was die euklidischen Gradientenvektoren wären. Ich habe jedoch kein gutes intuitives Bild von kontravarianten Ableitungen und ihren Divergenzen in allgemeinen nichteuklidischen Räumen.

Beachten Sie das für

$$\varphi \triangleq t^2 + x^2$$ im euklidischen Raum $$\nabla_i\nabla^i\varphi = 4$$ während im Minkowski-Raum $$\nabla_i\nabla^i\varphi = 0$$ was es zu einer Lösung der Gleichung macht, obwohl es nicht Lorentz-invariant ist.

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Ein allgemeines Vektorfeld$J^i$befriedigen kann$\nabla_i J^i = 0$, haben aber immer noch eine Wellung ungleich Null oder allgemeiner$\nabla_{[i} J_{j]} \neq 0$. Ein solches Feld ist kein Gradient eines Skalarfeldes. Also zumindest$\nabla_{[i} J_{j]} = 0$erforderlich. Das Lemma von Poincare besagt, dass dies für Felder auf kontrahierbaren Teilmengen des euklidischen Raums ausreichend ist.