Was ist der Zusammenhang zwischen spezieller und allgemeiner Relativitätstheorie?

Angenommen, wir beginnen mit der Betrachtung von Galilei-Transformationen , d. h. Transformationen zwischen Beobachtern, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, wobei die Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit liegen. Verschiedene Beobachter werden sich über die Geschwindigkeiten von Objekten nicht einig sein, aber es gibt einige Dinge, in denen sie sich einig sind. Insbesondere werden sie sich auf die Größen von Objekten einigen.

Angenommen, ich habe einen Metallstab, der in meinem Koordinatensystem ein Ende am Punkt hat$(0,0,0)$und das andere Ende an der Stelle$(dx,dy,dz)$. Die Länge dieses Stabes kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

Jetzt bewegen Sie sich vielleicht relativ zu mir, also werden wir uns nicht über die Position und Geschwindigkeit der Stange einigen, aber wir werden uns beide über die Länge einigen, weil es ein Stück Metall ist - es ändert sich nicht in der Größe nur weil du dich relativ zu mir bewegst. Also die Länge der Stange,$ds$, ist eine Invariante , dh es ist etwas, worüber sich alle Beobachter einig sind.

OK, kommen wir zur Speziellen Relativitätstheorie. Die Spezielle Relativitätstheorie behandelt Raum und Zeit zusammen, sodass die Entfernung zwischen zwei Punkten auch die Zeitdifferenz zwischen den Punkten berücksichtigen muss. Unsere Gleichung (1) wird also so modifiziert, dass sie die Zeit enthält, und es wird:

Beachten Sie, dass unsere neue Gleichung für die Länge$ds$enthält jetzt Zeit, aber die Zeit hat ein Minuszeichen. Wir multiplizieren die Zeit auch mit einer Konstanten mit der Dimension einer Geschwindigkeit, um die Zeit in eine Länge umzuwandeln. Genauso wie vor der Menge$ds$ist eine Invariante, dh alle Beobachter stimmen darin überein, egal wie sie sich relativ zueinander bewegen. Tatsächlich geben wir dieser Raumzeitlänge einen besonderen Namen – wir nennen sie die Eigenlänge (oder manchmal die Eigenzeit ).

Inzwischen fragen Sie sich wahrscheinlich, wovon um alles in der Welt ich rede, aber es stellt sich heraus, dass wir all die seltsamen Dinge in der Speziellen Relativitätstheorie einfach aus der Anforderung ableiten können$ds$eine Invariante sein. Wenn Sie interessiert sind, gehe ich dies in Wie leite ich die Lorentz-Kontraktion aus dem invarianten Intervall ab? .

Tatsächlich ist die Gleichung für$ds$ist in der Speziellen Relativitätstheorie so wichtig, dass es einen eigenen Namen hat. Es heißt Minkowski-Metrik . Und wir können diese Minkowski-Metrik verwenden, um zu zeigen, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter gleich sein muss. Ich mache das in meiner Antwort auf das Zweite Postulat der Speziellen Relativitätstheorie .

Wo wir also ankommen müssen, ist, dass die Tatsache, dass die Lichtgeschwindigkeit in SR konstant ist, der Aussage entspricht, dass die Minkowski-Metrik eine invariante Größe bestimmt. Die Allgemeine Relativitätstheorie verallgemeinert die Minkowski-Metrik, Gleichung (2). Angenommen, wir schreiben Gleichung (2) um als:

wo wir die Notation verwenden$dt=dx^0$,$dx=dx^1$,$dy=dx^2$und$dz=dx^3$, und$g$ist die Matrix:

Diese Matrix$g$heißt metrischer Tensor . Insbesondere ist die Matrix, die ich oben geschrieben habe, der metrische Tensor für flache Raumzeit, dh Minkowski-Raumzeit .

In der Allgemeinen Relativitätstheorie kann diese Matrix unterschiedliche Werte für ihre Einträge haben, und tatsächlich können diese Elemente eher Funktionen der Position als Konstanten sein. Zum Beispiel hat die Raumzeit um ein statisches ungeladenes Schwarzes Loch einen metrischen Tensor namens Schwarzschild-Metrik :

(Ich erwähne dies hauptsächlich zur Dekoration - um zu verstehen, wie man mit der Schwarzschild-Metrik arbeitet, muss man einen Kurs über GR machen)

In GR die Metrik$g$hängt mit der Verteilung von Materie und Energie zusammen und wird durch Lösen der Einstein-Gleichungen erhalten (was keine Aufgabe für schwache Nerven ist :-). Die Minkowski-Metrik ist die Lösung, die wir erhalten, wenn keine Materie oder Energie vorhanden ist${}^1$.

Der Punkt, auf den ich hinaus will, ist, dass es eine einfache Sequenz gibt, die von der alltäglichen Newtonschen Mechanik bis zur Allgemeinen Relativitätstheorie reicht. Die erste Gleichung, die ich aufgeschrieben habe, Gleichung (1), dh der Satz von Pythagoras, ist auch eine Metrik - es ist die Metrik für den flachen 3D-Raum. Die Erweiterung auf die Raumzeit, Gleichung (2), bringt uns zur Speziellen Relativitätstheorie, und die Erweiterung von Gleichung (2) auf eine allgemeinere Form für den metrischen Tensor bringt uns zur Allgemeinen Relativitätstheorie. Die Spezielle Relativitätstheorie ist also eine Teilmenge der Allgemeinen Relativitätstheorie, und die Newtonsche Mechanik ist eine Teilmenge der Speziellen Relativitätstheorie.

Kommen wir zum Schluss noch einmal auf die Frage der Lichtgeschwindigkeit zurück. Die Lichtgeschwindigkeit ist in SR konstant, also ist sie in GR konstant? Und die Antwort ist, na ja, irgendwie. Ich gehe dies in GR ausführlich durch. Einsteins 1911 Paper: On the Influence of Gravitation on the Propagation of Light , aber Sie finden das vielleicht etwas schwierig. Also sage ich einfach, dass in GR die Lichtgeschwindigkeit immer lokal konstant ist. Das heißt, wenn ich an meinem Standort die Lichtgeschwindigkeit messe, bekomme ich immer das Ergebnis$c$. Und wenn Sie die Lichtgeschwindigkeit an Ihrem Standort messen, erhalten Sie auch das Ergebnis$c$. Aber wenn ich die Lichtgeschwindigkeit an Ihrem Standort messe und umgekehrt, erhalten wir im Allgemeinen kein Ergebnis$c$.

${}^1$Tatsächlich gibt es viele Lösungen, wenn keine Materie oder Energie vorhanden ist. Dies sind die Vakuumlösungen . Die Minkowski-Metrik ist die Lösung mit der niedrigsten ADM-Energie .

Die spezielle Relativitätstheorie ist der "Sonderfall" der allgemeinen Relativitätstheorie, bei dem die Raumzeit flach ist. Die Lichtgeschwindigkeit ist für beide essentiell.

Die beste Verbindung zwischen den beiden Theorien besteht darin, wie sie mit unterschiedlichen Beobachtern oder Bezugsrahmen umgehen. Die Spezielle Relativitätstheorie (SR) postuliert, dass alle Trägheitsbeobachter gleichwertig sind, während die Allgemeine Relativitätstheorie (GR) davon ausgeht, dass eine breitere Klasse von Beobachtern gleichwertig ist. Genauer gesagt sind alle nicht rotierenden Frames gleichwertig. Daher ist GR allgemeiner als SR (auch bekannt als Eingeschränkte Relativitätstheorie) und kann daher ohne SR nicht gültig sein. Mit anderen Worten, als Theorien impliziert GR SR, aber das Gegenteil ist nicht wahr.

Ich stelle mir die spezielle Relativitätstheorie gerne als erste Ordnung oder "lokale" allgemeine Relativitätstheorie vor.

Eines der grundlegenden Dinge, die aller Relativitätstheorie zugrunde liegen, ist das Äquivalenzprinzip. Aber es "verschwindet" irgendwie in der Mechanik, den Verfahren und der Theorie der Allgemeinen Relativitätstheorie. Es ist tatsächlich in der "Baustoffwahl" für GR codiert. Das heißt , wir stellen uns die Raumzeit als eine Mannigfaltigkeit vor, im Gegensatz zu anderen mathematischen Objekten, die wir postulieren könnten (wie z zeigen, dass es keine beschlossene Sache ist, die wir müsseneine Mannigfaltigkeit wählen - es gibt eine echte, im Prinzip messbare Physik, die von der Wahl betroffen ist). Eine Mannigfaltigkeit ist ein mathematisches Objekt, das überall lokal euklidisch ist, oder im Fall von GR Minkowski. Wenn wir mit ausreichend hoher Vergrößerung in die Mannigfaltigkeit "hineinzoomen", können wir die Raumzeit so nahe wie möglich an die flache Minkowski-Raumzeit bringen. Formal bedeutet dies, dass wir immer einen Tangentialraum zu jedem Punkt definieren können. Hier ist der Schlüssel zu dieser Antwort:

Solange wir uns nicht zu weit von diesem Raumzeitpunkt entfernen und uns in einer kleinen Nachbarschaft halten (sie muss in einem stark gekrümmten Raum möglicherweise sehr klein sein, aber dies ist eine theoretische Möglichkeit, und unsere Vergrößerung kann jeden endlichen Wert haben), alles Relativistische Berechnungen können mit spezieller Relativitätstheorie durchgeführt werden, wobei der Tangentialraum die Raumzeit in der Nachbarschaft annähert.

Trägheitsrahmen an dem fraglichen Punkt sind diejenigen, die sich momentan mit Objekten und Rahmen bewegen, die eine geodätische, drehmomentfreie Bewegung in der allgemeineren, gekrümmten allgemeinen relativistischen Mannigfaltigkeit erfahren, und alle diese sind äquivalent einer Modulo-Lorentz-Transformation, genau wie in der speziellen Relativitätstheorie. Die Krümmung ist ein Begriff zweiter Ordnung, der nicht allein durch den Tangentialraum zu einem Punkt definierbar ist. Einsteins ursprüngliche Konzeption des Äquivalenzprinzips war, dass es in erster Ordnung keinen Unterschied zwischen experimentellen Ergebnissen gibt, die in einem relativ zu diesen durch den Tangentialraum definierten Trägheitsrahmen beschleunigten Labor durchgeführt wurden. Ob sie durch eine Rakete beschleunigt werden oder beschleunigt werden, weil das Labor auf die Oberfläche eines Planeten gestoßen ist und somit daran haften geblieben ist, kann man nicht sagen, wenn man nicht außerhalb des Labors schaut.

Der wesentliche, konstitutive Punkt der Allgemeinen Relativitätstheorie ist, wie Einstein in seinem Aufsatz „ Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie “ (1916) zum Ausdruck bringt, dass:

„ Alle unsere Raum-Zeit-Überprüfungen laufen ausnahmslos auf eine Bestimmung von Raum-Zeit-Koinzidenzen {… wie …} Zusammentreffen von zwei oder mehr {…} materiellen Punkten hinaus. “

Die Verbindung zwischen der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie besteht folglich darin, dass alle Begriffe der speziellen Theorie, die sich auf die Raumzeit beziehen (einschließlich geometrischer und kinematischer Beziehungen zwischen materiellen Punkten) , explizit in Bezug auf (Bestimmungen von) Raum definiert sind. zeitlicher Zufall ;
nämlich vor allem die in den "postulates of special relativity" (1905) vorkommenden Begriffe :

• „ Koordinatensysteme in gleichförmiger Translationsbewegung relativ zueinander “
  (dh in der modernen, koordinatenfreien Terminologie „Inertialsysteme“ ), und

• „ Geschwindigkeit “ (zusammen mit den verwandten Begriffen „Geschwindigkeit“, „Entfernung“ und „Dauer“).

Kann die allgemeine Relativitätstheorie ohne spezielle Relativitätstheorie gültig sein?

SR ist im obigen Sinne offensichtlich ein Spezialfall von GR.

Es geht um die Beziehung zwischen Masse und Raumzeit und Gravitation[?]

Definitionen von (wie zu messen) "Masse" und allen mehr oder weniger verwandten dynamischen Größen (Impuls, Energie, Drehimpuls, Ladungen, Feldstärken ...) basieren auf (und daher im Anschluss an) der geometrischen und kinematischen Raumzeit Überprüfungen.

Es gibt bereits eine nette Antwort von John Rennie . Daher versuche ich, die Frage anders zu beantworten, indem ich mich hauptsächlich auf den Übergang von Newtons Standpunkten zur allgemeinen Relativitätstheorie konzentriere.

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel des Erde-Sonne-Systems. Nach Newton will sich die Erde träge, also gleichmäßig geradlinig bewegen. Eine Gravitationskraft von der Sonne lenkt es ab und bringt es dazu, sich auf einer elliptischen Umlaufbahn um die Sonne zu bewegen.

Laut GR stört jedoch die Anwesenheit der Sonne (Kurven) das Gewebe von Raum und Zeit. Die Erde bewegt sich dann in dieser neuen gestörten Raumzeit nur noch träge. Es folgt einer Trägheitsbahn, aber diese Bahn wurde so verzerrt, dass sie im Raum um die Sonne als Ellipse endet, oder genauer gesagt, als spiralförmige Bahn, die sich in der Raumzeit um die Weltlinie der Sonne windet.

Die Allgemeine Relativitätstheorie ist im Grunde eine Vereinigung der folgenden zwei großen theoretischen Übergänge:

1. Übergang von „Raum“ zu „Raumzeit“: Die Trajektorien von Körpern in Trägheitsbewegung sind Geraden in der Raumzeit in dem Sinne, dass sie Kurven größter Eigenzeit sind, also zeitähnliche Geodäten. Damit sind sie die Analoga der geraden Linien der euklidischen Geometrie, die auch Geodäten genannt werden, die Kurven der kürzesten Distanz.
2. Übergang von „flacher“ zu „gekrümmter“ Geometrie: Im Zusammenhang mit gewöhnlicher räumlicher Geometrie führt uns dieser Übergang von der euklidischen Geometrie zur nicht-euklidischen Geometrie. Im Kontext der Raumzeittheorien führt uns derselbe Übergang von der Geometrie einer flachen Raumzeit (Minkowski-Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie) zur Geometrie der gekrümmten Raumzeit (semi-Riemannsche Raumzeit der allgemeinen Relativität). Die zentrale Idee von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie ist, dass diese Krümmung der Raumzeit das ist, was wir traditionell als Gravitation kennen.

Diese beiden Übergänge sind die zentralen Ideen von GR, und die Mathematik, die zur Entwicklung der Theorie benötigt wird, ist nur die Mathematik der gekrümmten Geometrie, der einzige Unterschied besteht darin, dass sie vom Raum in die Raumzeit transportiert wird.

Die folgende Abbildung zeigt die beiden Übergänge:

Man kann wie folgt zusammenfassen:

Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Gravitationstheorie und eine Reihe physikalischer und geometrischer Prinzipien, die aus der Newtonschen Gravitation durch einen Übergang vom Konzept des „Raums“ zur „Raumzeit“ und den Übergang von der flachen Geometrie zur gekrümmten Geometrie erhalten wurden, die zu einer Menge führen von Feldgleichungen, die das Gravitationsfeld bestimmen, und den geodätischen Gleichungen, die die Lichtausbreitung und die Bewegung von Teilchen auf dem Hintergrund beschreiben.