Was ist globale Lorentz-Transformation und was ist lokale Lorentz-Transformation?

ich werde bedenken Freizeit als ( M , η ) Wo M ist vierdimensional vielfältig Und η die Metrik, die in diesem Koordinaten

X : M ⟶ R 4 P ↦ X ( P ) = ( X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ) .
wird von gegeben
(1) η = D X 0 ⊗ D X 0 − D X 1 ⊗ D X 2 − D X 2 ⊗ D X 1 − D X 3 ⊗ D X 3

Ein Beobachter ist eine Weltlinie γ mit zusammen mit einer Wahl der Basis Ö = v γ , γ ( λ ) ≡ e 0 ( λ ) , e 1 ( λ ) , e 2 ( λ ) , e 3 ( λ ) von jedem T γ ( λ ) M wo die Beobachter-Weltlinie verläuft, wenn

(2) η ( e A ( λ ) , e B ( λ ) ) = η A B = [ 1 − 1 − 1 − 1 ] A B

v γ , γ ( λ ) ist der Tangentenvektor der Kurve γ am Punkt γ ( λ )

In Lehrbüchern habe ich drei Definitionen von gefunden Lorentz-Transformation Λ

  1. Λ : R 4 ⟶ R 4 ist eine Gruppe von Koordinatentransformationen, die Gl.1 in der gleichen Form belassen, das heißt Λ ⋅ X ( P ) = j ( P ) = ( j 0 , j 1 , j 2 , j 3 ) so dass in dieser Koordinate
    η = D j 0 ⊗ D j 0 − D j 1 ⊗ D j 2 − D j 2 ⊗ D j 1 − D j 3 ⊗ D j 3
  2. Λ : M ⟶ M ein Raumzeit-Diffeomorphismus wie das Λ ∗ η = η Wo Λ ∗ η ist der Pullback der Metrik η
  3. Λ : T P M ⟶ T P M so dass Λ Ö = Ö ' = e 0 ' ( λ ) , e 1 ' ( λ ) , e 2 ' ( λ ) , e 3 ' ( λ ) Erfüllen Sie die Gleichung 2, das heißt
    η ( e A ' ( λ ) , e B ' ( λ ) ) = η A B = [ 1 − 1 − 1 − 1 ] A B

Meine Frage ist, welche dieser Transformationen ist die globale Lorentz-Transformation und welche ist die lokale?

Kleine Frage: Was ist mit den nichtdiagonalen Termen? D X 1 ⊗ D X 2 , D j 1 ⊗ D j 2 , usw?

Antworten (2)

Die drei Definitionen sind gleich. Sie sind Wege, dasselbe zu sagen. Da hast du einen Verteiler ( M , η ) das ist eine flache Minkowski-Raumzeit. Die Lorentz-Transformation ist in der Minkowski-Raumzeit global.

In einer gekrümmten Raumzeit wird üblicherweise die Metrik angegeben G , statt η . G ist im Allgemeinen eine Funktion von Zeit und Ort. An jedem Punkt gibt es einen Minkowski-Tangentenraum, was bedeutet, dass die Mannigfaltigkeit lokal Minkowski ist (auf die Genauigkeit der Messung) und dass lokale Lorentz-Transformationen innerhalb einer Nachbarschaft von jedem Punkt angewendet werden können.

Sie sind nicht gleich. Angenommen, wir messen den Spin eines Teilchens.1 Bedeutet nur eine Änderung der Koordinaten, und da Koordinaten in der Physik keine Rolle spielen, könnten wir sagen, Polarkoordinaten wählen, und die Physik wäre die gleiche, mit anderen Worten, 1 ist die Vorstellung unseres Geistes ...
2. Ist etwas, das in der realen Welt passiert, das heißt, wir drehen den Beobachter und den Spinor. Ich habe keine Konsequenz in der Physik, weil es eine Symmetrie der Metrik ist ....
3. Ist eine Rotation des Beobachters (des Apparates) in diesem Fall bekommt der Spinor eine Phase
Hier gibt es keine Spinoren, und Sie haben Minkowski-Koordinaten ausgewählt, die von angegeben wurden η . Sie haben sie bereits angegeben, sie können nicht polar sein.
Ich habe die Koordinaten nur gewählt, um die Metrik anzugeben und die Lorentz-Transformation zu definieren, wie es die meisten Bücher tun. Ich habe nicht gesagt, dass das Problem in diesen Koordinaten liegen würde
Ich habe den Spinor nur als Beispiel eingeführt, um zu zeigen, dass der Wechsel des Beobachters nicht dasselbe ist wie der Wechsel der Koordinaten oder der Diffeomorphismus
Die einzige Frage ist die, die du gestellt hast. Wenn Sie eine andere Frage haben, müssen Sie diese separat stellen und nicht behaupten, dass das Problem nichts mit der von Ihnen gestellten Frage zu tun hat.
Ich werde eine weitere Frage in diesem Zusammenhang stellen

Die grundlegende Definition der Lorentz-Transformation ist ein gegebener Vektorraum v ausgestattet mit einer Minkowski-Metrik η , es ist die Gruppe, die die Norm invariant lässt (mit anderen Worten, Definition 1).

In einer Raumzeit kann jeder Tangentialraum als Kopie des Minkowski-Raums betrachtet werden, also für jeden P ∈ M , T P M ≅ v , da wir nach dem Sylvester-Gesetz immer den metrischen Tensor setzen können G P an diesem Punkt in der entsprechenden Form durch einen Basiswechsel (wobei diese Basis eine orthonormale Basis ist). { e μ } ). Dann können Sie an jedem Punkt eine Lorentz-Transformation dieser Basis durchführen.

Diffeomorphismen auf einer Mannigfaltigkeit sind eine ziemlich große Klasse, aber es gibt eine Teilmenge von Diffeomorphismen, so dass, wenn ϕ ∈ D ich F F ( M ) , der Pushforward auf einem Vektor at P , ϕ ∗ v , entspricht einer Lorentz-Transformation. Einfach durch Mitreden

∂ X μ ( P ) ∂ j v ( P ) ∈ S Ö ( 3 , 1 )

Lokal, in den Riemann/Fermi-Koordinaten, entspricht dies ungefähr einer Lorentz-Transformation, da die normale Nachbarschaft zu diffeomorph ist T P M .

Was ist globale Lorentz-Transformation und was ist lokale Lorentz-Transformation?
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