Wie verwendet man die Definition von Beobachtern in der Allgemeinen Relativitätstheorie?

Dies ist eine sehr interessante Frage. Sie haben Recht in der allgemeinen Relativitätstheorie, Beobachter können keine messbaren Mengen aus einem Testteilchen extrahieren oder rahmenabhängige Informationen mit einem anderen Beobachter vergleichen, es sei denn, sie treffen sich am selben Punkt oder kommen nahe genug, sodass die Raumzeit effektiv als flach und dann betrachtet werden kann a SR-ähnliche Situation wird wiederhergestellt. In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Lorentz-Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen nur lokal möglich . Das ist eine ganz andere Situation als in SR. Und tatsächlich schränkt dies die Rolle des Beobachterbegriffs in der Allgemeinen Relativitätstheorie und Kosmologie ein. Das ist der Grund, warum in der Allgemeinen Relativitätstheorie die bedeutungsvollen physikalischen Größen diejenigen sind, die beobachterunabhängig sind, wie das Linienelement, die Eigenzeit und die anderen tensorischen Größen (der metrische Tensor$\bf{g}$, elektromagnetischer Krafttensor$\bf{F}$, usw.).

Dennoch ist dies eine durchaus realistische Situation; weil reale Beobachter physikalische Größen nur lokal messen können. Die messbaren Größen wie elektrische Feldstärke, magnetische Feldstärke und allgemein Energie-Impuls-Tensor sind lokale Größen. Das EFE, geschrieben in der folgenden Form (in der Komponentenform),$G_{ab}(x)=-\kappa T_{ab}(x)$, ist nur in einem Diagramm sinnvoll$(U,x)$; und ein Diagramm liefert nur Informationen über lokalisierte Regionen$(U)$im Verteiler.

Warum unterscheidet sich der Beobachter in SR vom Beobachter in GR?

Die Antwort ist eine rein mathematische: weil die Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen keine Vektorraumstruktur haben. Der Ortsvektor und damit die Koordinaten machen nur in einem Vektorraum Sinn, aber in einer Mannigfaltigkeit verliert der Ortsvektor seine Bedeutung. Um in einer allgemeinen Mannigfaltigkeit über Koordinaten zu sprechen, müssen wir uns auf einen lokalisierten Bereich der Mannigfaltigkeit konzentrieren, das Diagramm, das isomorph zu ist$R^d$($d=$Dimension des Verteilers). Nun betrachtet SR die Raumzeit als Minkowskisch, was interessanterweise isomorph dazu ist$R^d$, global oder als Ganzes, und haben somit sowohl eine Mannigfaltigkeits- als auch eine Vektorraumstruktur. Daher können Beobachter in SR Koordinaten (oder Referenzrahmen) aufstellen, die die gesamte Raumzeit umfassen können. Dadurch ist die Lorentz-Transformation zwischen den von zwei Beobachtern aufgestellten Referenzsystemen über die gesamte Raumzeit hinweg gültig. Aber in GR, bei Vorhandensein von Schwerkraft, ist die Raumzeit eine gekrümmte Mannigfaltigkeit. Daher können Beobachter keine Referenzrahmen aufstellen, die die gesamte Raumzeit erkunden, wodurch die Rolle des Beobachters, wie Sie sagten, extrem lokal wird. Wie @Emil im Kommentar betonte, kann ein Beobachter seinen Tangentialraum (den Referenzrahmen des Beobachters) definitiv parallel zum Ort eines anderen Beobachters transportieren und dann die Lorentz-Transformation oder einen anderen erleichtern, aber dies hilft nicht die Situation, da sich die beiden Beobachter am selben Punkt treffen müssen (daher der Transport!). Somit können Beobachter in GR nur lokale Beobachtungen messen und zählen.

Die Messungen der Beobachter sind lokal, aber das bedeutet nicht, dass globale Rückschlüsse unmöglich sind

Der Schlüssel hier ist Symmetrie. Wenn die Größen, an denen wir interessiert sind, einem Muster folgen, muss nicht die gesamte Raumzeit erforscht werden, sondern es kann eine Studie über eine lokale Region extrapoliert werden, um die globale Struktur der Raumzeit herauszufinden. Beispielsweise wird in der Kosmologie die Existenz von sechs raumähnlichen Killervektorfeldern angenommen, was im Wesentlichen impliziert, dass die Materieverteilung im Universum homogen und räumlich isotrop ist, natürlich im großen Maßstab. Dies ist die einfachste Art der Materieverteilung, die möglich ist. Aufgrund der Symmetrie in der Metrik hat das Universum überall eine konstante räumliche Krümmung. Nun offenbart jede lokale Messung der räumlichen Krümmung die globale Geometrie der Raumzeit. Aus den Informationen des metrischen Tensors kann man, wenn möglich, auch herausfinden,

Wie man Beobachter in GR verwendet

Der Ansatz von GR, bei dem Beobachterrahmen verwendet werden, ist als Tetradenformalismus oder Cartan-Formalismus bekannt . An jedem Punkt der gekrümmten Mannigfaltigkeit ist es möglich, Rahmen (Vierbein) zu konstruieren, die aus vier orthonormalen Vektoren {$e^\alpha_a$} (ein zeitartiger und drei raumartige Vektoren), dh es ist möglich, ein Rahmenbündel auf der Mannigfaltigkeit zu konstruieren. Nun ist ein Beobachter genau genommen ein glatter Abschnitt im Rahmenbündel. Ein Abschnitt im Rahmenbündel ist eine integrale Kurve des zeitartigen Vektors ($e^\alpha_0$) Feld. Und die drei räumlichen Vektoren, die mit den zeitähnlichen Vektoren verbunden sind, bilden eine räumliche Triade {$e^\alpha_1,e^\alpha_2,e^\alpha_3$}. Hier bezeichnen die griechischen Indizes die Horoskopkoordinaten in der Mannigfaltigkeit und die römischen Indizes die lokalen Rahmenkoordinaten. Im lokalen Rahmen ist die Metrik eine gewöhnliche Minkowski-Metrik (lokale Ebenheit). Die Beziehung zwischen der Metrik der Mannigfaltigkeit und der Rahmenmetrik ist wie folgt:

$$e^\alpha_ae^\beta_bg_{\alpha\beta}=\eta_{ab}$$ Und, $$e^a_\alpha e^b_\beta \eta_{ab}=g_{\alpha \beta}.$$ Somit kann jede tensorielle Größe in den Frames oder Coframes (Abschnitte im Co-Tangenten- oder Co-Frame-Bündel) definiert werden. Beispielsweise kann der metrische Tensor im Coframe ausgedrückt werden als: $$g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{{i=1}}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},$$ wo für das Schwarzschild-Vakuum die Sigmas sind, $$\sigma^0 = -\sqrt{1-2m/r} \, dt, \; \sigma^1 = \frac{dr}{\sqrt{1-2m/r}}, \; \sigma^2 = r d\theta, \; \sigma^3 = r \sin(\theta) d\phi.$$ Es ist bequem, die Basis von { $e^\alpha_a$} Zu { $l^\alpha,n^\alpha,m^\alpha,\bar m^\alpha$}, definiert als, $$l^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_0+e^\alpha_1),$$ $$n^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_0-e^\alpha_1),$$ $$m^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_2+ie^\alpha_3),$$ Und $\bar m^\alpha$ist das komplexe Konjugat von $m^\alpha$. Da diese Vektoren die folgenden Eigenschaften haben, $$l^\alpha l_\alpha=n^\alpha n_\alpha=m^\alpha m_\alpha=\bar m^\alpha \bar m_\alpha=0,$$ der Satz { $l^\alpha,n^\alpha,m^\alpha,\bar m^\alpha$} heißt Nulltetrade. Da die Nulltetrade auf folgende Weise mit dem metrischen Tensor verwandt ist, $$g_{\mu \nu}=l_\mu n_\nu+l_\nu n_\mu-m_\mu \bar m_\nu-m_\nu \bar m_\mu,$$ Man kann die Nulltetrade verwenden, um verschiedene Tensorgrößen in den lokalen Rahmen zu berechnen und sie dann wieder auf die Mannigfaltigkeit umzuwandeln. Beispielsweise verwendeten ET Newman und AI Janis ( J. Math. Phys., 6, 915, 1965 ) diese Technik, um eine einfache Ableitung der Kerr-Metrik zu erzeugen.

VacuuM hat eine ausgezeichnete Antwort gegeben, aber ich werde noch einige Worte sagen, um einige Ideen zu verdeutlichen.

Es ist ein Postulat der Physik, dass Trägheitsbeobachter dasselbe messen sollten wie ein Trägheitsbeobachter$A$Aufbau eines Experiments und eines Beobachters$B$ein identisches Experiment aufbauen, dann sollte das Ergebnis gleich sein. In der speziellen Relativitätstheorie haben wir globale Trägheitsbeobachter, während wir in der allgemeinen Relativitätstheorie lokale Trägheitsbeobachter haben. Lassen Sie uns sehen, warum.

Nehmen wir in der speziellen Relativitätstheorie (flacher Raum) einen Beobachter an$A$einen Ball mit Geschwindigkeit werfen$v$zur Wand, das ist in der Ferne$d$in Bezug auf diesen Beobachter. Wenn dieser Beobachter den Ball mit Geschwindigkeit empfängt$v'$als ein anderer Beobachter$B$wer dasselbe Experiment in seinem Ruherahmen macht, wird den Ball mit derselben Geschwindigkeit erhalten$v'$. Nun, zuerst können wir in der gekrümmten Raumzeit keine nicht-lokale statische Wand in Bezug auf einen Beobachter haben. Ich gebe dieses Beispiel wegen meines Mangels an Vorstellungskraft. Aber angenommen, wir könnten eine statische Wand in Bezug auf einen Beobachter haben, wenn diese beiden Beobachter die gleiche Erfahrung machen, dann wird die Geschwindigkeit, mit der sie den Ball erhalten, unterschiedlich sein. Aufgrund der Krümmung der Raumzeit, wenn der Beobachter$A$einen Ball mit Geschwindigkeit werfen$v$es wird mit Geschwindigkeit an der Wand ankommen$v_A$und wenn der Beobachter$B$Wirf den Ball mit der gleichen Geschwindigkeit$v$es wird mit einer anderen Geschwindigkeit an der Wand ankommen$V_B$.Weiter wenn der Beobachter$A$macht die gleiche Erfahrung in einer anderen Zeit, wird es ein anderes Ergebnis haben. Wir müssen also lokal bleiben, um ein übereinstimmendes Ergebnis zwischen Trägheitsbeobachtern zu erhalten

Ich glaube, der beste Weg, die Idee von Beobachtern, die in fast allen Behandlungen der speziellen Relativitätstheorie verwendet werden, zusammenzufassen, ist das, was Schutz in seinem Buch Allgemeine Relativitätstheorie sagt: [...]

Ich kann akzeptieren, dass dies eine korrekte quantitative Beschreibung der derzeit verfügbaren Behandlungen ist. Aber ich kann die Charakterisierung von Beobachtern, wie sie von Schutz (und anderen) vorgeschlagen wird, nicht akzeptieren, weil sie zu leugnen scheint, was für mich ein unverzichtbares Element des Diskurses (des geometrisch-kinematischen Teils) von Einsteins Relativitätstheorie und Spezieller Relativitätstheorie ist insbesondere.

Nämlich einzelne identifizierbare Beobachter zu betrachten, die an einzelne identifizierbare materielle Punkte gebunden (oder sogar als solche identifiziert) sind, wie wiederholt und konsequent von Einstein selbst beschrieben (z. B. hier und hier ):

• jeder ist in der Lage, andere zu beobachten und zu identifizieren und zu erkennen und wiederum beobachtet und erkannt zu werden;

• jeder in der Lage, die gesammelten Beobachtungen im Gedächtnis zu behalten und zu bestimmen, welche Beobachtungen er, sie oder es zufällig oder in welcher Reihenfolge gesammelt hatte;

zumindest im Prinzip zum Zwecke des gedankenexperimentellen Beschreibens und Verstehens; und mehr oder weniger auch in der Praxis.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie hingegen liegen die Dinge anders.

Anscheinend wie von Schutz et al. vertreten; aber sicherlich nicht für den Begriff des Beobachters als Individuum, das in der Lage ist, Beobachtungen zu sammeln und zu ordnen.

[...] zusammen mit einer orthonormalen Basis

Was vor allem die Frage aufwirft, wie ein einzelner Beobachter eine solche Grundlage überhaupt ermitteln soll.

[Ein Beobachter] kann keine Weltlinie von Teilchen oder anderen Beobachtern oder irgendetwas dergleichen beschreiben. [...]

Sicherlich kann jeder Beobachter andere beobachten und erkennen, nachdem er seine/ihre eigenen (Signal-)Hinweise beobachtet hat; und somit Signal für Signal feststellen, wessen zugehörige Ping-Echos zufällig, in welcher Reihenfolge oder "noch gar nicht" zurückgekommen sind. Diese Fähigkeit wird Beobachtern bereits in Einsteins erster Präsentation von SR, 1905, zugeschrieben.

Aus den Wechselbeziehungen zwischen solchen Bestimmungen einzelner Beobachter folgen Beschreibungen ihrer kollektiven geometrischen Beziehungen zueinander; wie die hier beschriebenen "Ping-Koinzidenz-Gitter" .

[...] was den Koordinaten eine Bedeutung gibt.

Die mögliche Bestreuung von Ereignissen (oder gleichermaßen: von ausgewählten Beobachtern und ihren einzelnen geordneten Hinweismengen) mit Koordinatentupeln, um die geometrischen Beziehungen zwischen Ereignissen (oder ebenso: die Rahmenbeziehungen zwischen den ausgewählten Beobachtern) darzustellen, durch die "natürlichen" topologischen oder sogar metrischen Eigenschaften von Tupeln reeller Zahlen sind natürlich nur nachträglich und sekundär zur Bestimmung der betrachteten geometrischen Beziehungen.