Verletzt Keplers 3. Gesetz der Planetenbewegung das erste Postulat?

Stellen Sie sich einen entfernten Beobachter vor, der sich bei 0,866 ° C relativ zum Sonnensystem entlang der Linie bewegt , die kolinear mit der Rotationsachse der Sonne ist. Laut seiner Armbanduhr misst der Beobachter die Umlaufzeit der Erde um die Sonne mit 730,5 Tagen, richtig?

Aber der Beobachter misst auch die große und kleine Achse der Erdumlaufbahn um die Sonne als identisch mit ihrer großen und kleinen Achse im Ruhesystem des Sonnensystems, wo die Umlaufzeit nur 365,25 Tage beträgt.

Es scheint also, als ob Keplers 3. Gesetz der Planetenbewegung nur im Ruhesystem des Sonnensystems gültig ist. Verletzt dies das erste Postulat der speziellen Relativitätstheorie?

Wenn ja, wie kann Keplers 3. Gesetz rahmeninvariant gemacht werden?

Ich weiß nicht, ob das hilft, aber es gibt einen Artikel, der die Schwartzschild-Lösung aus Keplers drittem Gesetz ableitet. Dies ist ein Ergebnis in GR, das SR annimmt. Vielleicht beruhigt Sie die Diskussion dort? mathpages.com/rr/s5-05/5-05.htm

Antworten (4)

Es scheint, als ob Keplers 3. Gesetz der Planetenbewegung nur im Ruhesystem des Sonnensystems gültig ist. Verletzt dies das Erste Postulat der Speziellen Relativitätstheorie?

Nein. Es bedeutet nur, dass Keplers Gesetze keine physikalischen Gesetze sind. Stattdessen sind sie Annäherungen an die Gesetze der Physik im nichtrelativistischen Grenzfall

Dale, danke für deine Antwort. Können Sie bitte ein Beispiel für ein Gesetz geben, auf das Einstein das Erste Postulat anwenden wollte?
Ich nehme nicht an, Einsteins Verstand zu kennen, aber Maxwells Gleichungen sind ein Beispiel für ein Gesetz, das das erste Postulat erfüllt
Dale, wenn das erste Postulat durch das Beispiel nicht verletzt wird, würden Sie dann zu dem Schluss kommen, dass es möglich ist, dass identisch geformte Umlaufbahnen mit identischen Ruhemassen unterschiedliche Umlaufzeiten in verschiedenen Koordinatensystemen haben? Wenn nicht, wo könnte dann das Problem in dem Beispiel liegen?
Entschuldigung, ich verstehe Ihren Kommentar nicht. Das erste Postulat hat mit dem Beispiel nichts zu tun, weil die Keplerschen Gesetze eigentlich keine physikalischen Gesetze sind. Aber ja, es ist möglich, dass dieselbe Umlaufbahn in verschiedenen Referenzrahmen unterschiedliche Perioden hat
Danke. Das führt zu einer Frage nach der Raumzeitkrümmung in der Nähe der Umlaufbahn. Ist die Raumzeitkrümmung, in die die Umlaufbahn eingebettet ist, rahmenabhängig oder rahmenunabhängig? Um es ganz klar zu sagen: Ist die Raumzeitkrümmung, in die die Umlaufbahn eingebettet ist, in beiden Rahmen identisch? Oder ist es anders? Wenn anders, können Sie charakterisieren, wie es anders ist?
Die Krümmung ist ein Tensor. Die Krümmung selbst ist in allen Rahmen gleich, aber ihre Komponenten unterscheiden sich

Ich denke, die Analyse, die in diesem Q&A durchgeführt wird, basiert auf einem einfachen Missverständnis der Relativitätstheorie. Das Relativitätsprinzip (oben als 1. Postulat bezeichnet) besagt, dass die Gesetze der Physik in jedem Trägheitsbezugssystem lokal in diesem Rahmen gültig sind. Das heißt, wenn sich der Beobachter an bewegt 0,866 C (bezogen auf das Sonnensystem) ein Experiment in einem Labor auf seinem eigenen Raumschiff durchführt, wo alles im Labor in Bezug auf ihn stationär ist, werden alle normalen physikalischen Bewegungsgesetze gelten. Jedes Ergebnis in seinem Labor wird mit den Ergebnissen in unseren Labors auf der Erde übereinstimmen. Wenn sein gesamtes Sonnensystem um ihn herum durch die Galaxis rast 0,866 C (z. B. so ), Keplers 3. Gesetz gilt für dieses System genauso gut wie für unseres.

Das Relativitätsprinzip besagt nicht , dass weit entfernte Ereignisse und Objekte unabhängig von Ihrem Bewegungszustand gleich aussehen. Tatsächlich war der bahnbrechende Aspekt der Relativitätstheorie, dass, damit der erste Absatz wahr ist, Ereignisse und Objekte, die sich relativ zum Betrachter bewegen, unterschiedlich aussehen müssen . Zum Beispiel in Einsteins Originalarbeit von 1905, zeigt er, dass eine starre Kugel (Abschn. 4) von einem stationären Standpunkt aus gesehen ein in Bewegungsrichtung gestauchtes Ellipsoid ist, wenn man es von einem sich bewegenden Koordinatensystem aus betrachtet. Dies gilt sowohl für die Form der Planetenbahnen im ursprünglichen Beispiel (insbesondere wenn die Umlaufgeschwindigkeiten der Planeten viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind), als auch für die Form der Planeten selbst. Ebenso wird Licht mit einer bestimmten Frequenz, wenn es im selben Rahmen wie die Quelle betrachtet wird, blauverschoben und von höherer Intensität sein, wenn sich die Quelle auf den Betrachter zubewegt (Abschnitt 7).

Alle diese Effekte stammen von einem Beobachter, der ein Objekt oder Ereignis betrachtet, das weit entfernt ist und/oder sich relativ zu ihm bewegt . Aber die spezielle Relativitätstheorie garantiert, dass für Ereignisse in Ihrer unmittelbaren Umgebung und in Bezug auf Sie stationär die Gesetze der Physik nicht von Ihrer Bewegungsgeschwindigkeit (in Bezug auf etwas anderes) abhängen. Daher gibt es keinen bevorzugten Rahmen der "absoluten Ruhe", weil alles mit seiner unmittelbaren Umgebung in absoluter Ruhe ist.

" Laut seiner Armbanduhr misst der Beobachter die Umlaufzeit der Erde um die Sonne mit 730,5 Tagen, richtig? " Ja. „ Der Beobachter misst aber auch die Haupt- und Nebenachse der Erdumlaufbahn um die Sonne als identisch mit ihrer Haupt- und Nebenachse im Ruhesystem des Sonnensystems „Nur wenn die Umlaufbahn in ist j z Ebene und die Bewegungslinie des Reisenden ist X , aber das ist möglich. „ Die Erde wird sich in die Sonne winden “ Nein, denn Keplers 3. Gesetz gilt, wenn man die Zeit zählt T im Rahmen der Erde (nicht T ' im Rahmen des Reisenden).
Was Sie sagen, ähnelt der Beobachtung, dass Myonenteilchen viel langsamer zerfallen, wenn sie als einfallende kosmische Strahlen beobachtet werden, die sich mit einer Lichtgeschwindigkeit von über 99,99% ausbreiten. Im Rahmen der Erde kann die Zerfallszeit des kosmischen Myons in der Größenordnung von 100 Sekunden liegen μ s, was das Standardmodell zu verletzen scheint – und das tut es tatsächlich, es sei denn, wir berücksichtigen die Bewegung des Myons und die Zeitdilatation seines Rahmens relativ zu unserer.
In gewissem Sinne ja, Sie haben Recht, dass das Keplersche Gesetz nicht für einen Beobachter gilt, der sich relativ zum Sonnensystem bewegt, aber die spezielle Relativitätstheorie behauptet niemals, dass dies der Fall ist. Es behauptet, dass, wenn Sie das Sonnensystem gleichmäßig ankurbeln 0,01 C oder 0,5 C oder 0,99 C In Bezug auf das galaktische Zentrum oder den kosmischen Mikrowellenhintergrund werden die Bewohner der Erde keinen Unterschied im Keplerschen Gesetz für ihre eigenen Planeten feststellen.
Ich bin mir nicht sicher, was Ihr Ziel hier ist. Denken Sie, dass die Erde inzwischen in der Sonne verglühen sollte, weil ein Weltraumfelsen am Sonnensystem vorbeigeflogen ist? Das ist eindeutig nicht geschehen.
Aus der Perspektive des Reisenden wird die Erde mehr als 700 Tage brauchen, um ihre Umlaufbahn in der aktuellen Entfernung abzuschließen. Keplers 3. Gesetz wird für ihn nicht gelten. Es muss für ihn nicht gelten, damit SR wahr ist. Ich sehe das Problem nicht.
Spezielles Relativitätsprinzip: Wählt man ein Koordinatensystem K so, dass in Bezug auf es physikalische Gesetze in ihrer einfachsten Form gelten, so gelten die gleichen Gesetze in Bezug auf jedes andere Koordinatensystem K', das sich in gleichförmiger Translation relativ bewegt zu K. — Albert Einstein: Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie, Teil A, §1
Ja, aber Sie interpretieren diese Aussage falsch. Ein Gesetz „Gültig in einem System“ bedeutet in Bezug auf seinen eigenen mitbewegten Rahmen . Beispielsweise besagen die Gesetze der Quantenmechanik (extrem gut verifiziert durch Experimente), dass Wasserstoff basierend auf seinen Elektronenenergieniveaus eine Strahlungslinie emittiert, die bei 122 nm zentriert ist. Aber für Sterne, die sich relativ zu uns bewegen (z. B. 0,866 c), sehen wir, dass H Licht bei 65 nm emittiert.
Die Gesetze der Quantenenergieniveaus, wie Keplers Gesetze, gelten nicht für Beobachtungen in einem Rahmen, der sich relativ zu Ihnen bewegt. Sie müssen mit den SR-Formeln auf Ihren eigenen Rahmen umrechnen. Aus diesem Grund wurde SR geschaffen, um solche Phänomene zu erklären.

Während bekannt ist, dass Keplers drittes Gesetz im Ruhesystem des Sonnensystems gilt, kann gezeigt werden, dass es ungültig ist, wenn es von Beobachtern in anderen Trägheitsbezugssystemen auf das Sonnensystem angewendet wird. Dies widerspricht dem ersten Postulat der speziellen Relativitätstheorie, das verlangt, dass die Gesetze der Physik gültig sind und in allen Trägheitsbezugssystemen dieselbe Form annehmen.

In erster Näherung besagt Keplers drittes Gesetz der Planetenbewegung

R 3 T 2 = K

Wo K hat den Zahlenwert 7.5 X 10 − 6 wenn die Umlaufzeit T eingemessen wird D A j S und die große Halbachse der Umlaufbahn R wird in astronomischen Einheiten gemessen A U .

Die Umlaufzeit der Erde im Ruhesystem des Sonnensystems ist

T = 365 D A j S

Die Lorentz-Zeitdilatation für die Umlaufzeit der Erde zwischen dem Ruhesystem des Sonnensystems und allen anderen Inertialsystemen ist

T ' = ( 365 D A j S γ )

Die große Halbachse (und die kleine Halbachse) der Erdumlaufbahn ist für alle Inertialsysteme identisch, in denen der Geschwindigkeitsvektor des Beobachters kollinear mit der Rotationsachse der Sonne ist

R ' = R = 1 A U

So ist der relativistische Ausdruck des dritten Keplerschen Gesetzes, wenn der Geschwindigkeitsvektor des Beobachters kollinear mit der Rotationsachse der Sonne ist

1 A U 3 ( 365 D A j S γ ) 2 = 7.5 × 10 − 6 A U 3 D A j S 2

Daraus folgt das

133333 D A j S 2 = ( 365 D A j S γ ) 2

365 D A j S = 365 D A j S γ

365 D A j S − 365 D A j S 1 − v 2 C 2 = 0

Die letzte Gleichung gilt nur im Ruhesystem des Sonnensystems wo v = 0 . Die Gleichung ist in allen anderen Inertialsystemen ungültig, was eine Verletzung des ersten Postulats der speziellen Relativitätstheorie darstellt.

Die erste Antwort versucht, Keplers Gesetze als nur „Annäherungen an die [tatsächlichen] Gesetze der Physik im nicht-relativistischen Grenzfall“ zu entkräften. Es bleibt dann der Fantasie des Lesers überlassen, wie diese relativistisch korrekten Gesetze der Physik in diesem Fall aussehen könnten. Das wirkt zu abweisend.

Ich werde zeigen, dass es tatsächlich Keplers drittes Gesetz ist, das die spezielle und/oder allgemeine Relativitätstheorie ungültig macht, und nicht umgekehrt. In der Demonstration wird die Methode der reductio ad absurdum angewandt.

Betrachten Sie die oben in der ursprünglichen Frage beschriebene Situation. Die Bahn des entfernten Beobachters garantiert, dass die Umlaufbahn der Erde um die Sonne nicht durch die Lorentz-Kontraktion verzerrt bleibt. Der entfernte Beobachter beobachtet Big Ben in London mit einem leistungsstarken Teleskop. Unter Berücksichtigung des relativistischen Dopplers misst der entfernte Beobachter bei 0,867 c, dass Big Ben die Zeit nur halb so schnell wie seine eigene Armbanduhr mit echter Zeit hält. Dies steht im Einklang mit der speziellen Relativitätstheorie.

Damit Big Ben und die Umlaufzeit der Erde bei jeder Umdrehung, die die Erde um die Sonne macht, bei 730,5 Umdrehungen von Big Bens kleiner Hand synchronisiert bleiben, muss sich die Umlaufgeschwindigkeit der Erde aus Sicht des entfernten Beobachters verlangsamen die halbe Geschwindigkeit, die wir im Ruhesystem des Sonnensystems messen. So weit, ist es gut.

Aber ein Problem entsteht, wenn wir bedenken, dass, während die Umlaufgeschwindigkeit der Erde halbiert wurde, die Raumzeitkrümmung, in der sich die Erde bewegt, überhaupt nicht verringert wurde. Das bleibt für alle Beobachter in allen Inertialsystemen unveränderlich:

Nimmt die Raumzeitkrümmung in der Nähe eines massiven Körpers mit zunehmender Geschwindigkeit eines Beobachters zu, ab oder bleibt sie unverändert?

Wir haben eine Situation konstruiert, in der sich die Erde in der identischen Raumzeitkrümmung bewegt, aber mit einer Geschwindigkeit, von der wir wissen, dass sie viel zu langsam ist, um ihre Umlaufbahn um die Sonne aufrechtzuerhalten. In diesem Beispiel stellen wir zu unserer Verlegenheit fest, dass das Schicksal der Erde in den Händen eines entfernten Beobachters liegt, der kontrolliert, ob sich die Erde in die Sonne windet oder nicht.

Die Antwort in dem von Ihnen verlinkten Beitrag erwähnte Krümmungsinvarianten, aber die Krümmung selbst ist ein Tensor. Der Tensor ist invariant, aber die Komponenten ändern sich für verschiedene Beobachter. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eine der am besten geprüften Theorien in der Geschichte der Physik. Aus mathematischer Sicht ist dieses Argument falsch, weil Sie die differenziellen geometrischen Details der Krümmung übersehen haben. Aus physikalischer Sicht stimmt die Schlussfolgerung nicht mit der Beobachtung überein.
Nickolas, danke für deinen Kommentar. Ja, ich stimme Ihrer Analyse voll und ganz zu. Die Komponenten des Krümmungstensors sind für den entfernten Beobachter anders als für einen Beobachter im Ruhesystem des Sonnensystems. Aber wie Sie selbst angeben, ist die durch beide Komponentensätze angegebene Krümmung immer identisch. Das ist natürlich mein Punkt. In Anbetracht dessen überdenken Sie bitte Ihr negatives Votum zu dieser Antwort.
Der Tensor ist derselbe. Als Tensor ist auch die Vierergeschwindigkeit eines Teilchens für alle Beobachter gleich. Dennoch sieht jeder Beobachter das Teilchen in einem anderen Bewegungszustand.
Wieder stimmen wir zu, Nickolas. Aber die übermäßige relative Geschwindigkeit des entfernten Beobachters hat die Hälfte der Geschwindigkeitskomponente der vierfachen Geschwindigkeit der Erde verschluckt, die notwendig ist, um ihre Umlaufbahn um die Sonne aufrechtzuerhalten. Das führt zu einem scheinbar unlösbaren Paradoxon. Aber wenn Sie eine Lösung haben, dann ziehen Sie bitte in Betracht, sie im Abschnitt Antworten zu posten, wo Sie mehr Platz haben, um Ihre Ideen zu erläutern. Danke.
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