Wie wird das klassische Zwillingsparadoxon gelöst?

Um dieses Paradoxon zu verstehen, ist es am besten, alles zu vergessen, was Sie (auch von SR) wissen, weil all das nur Verwirrung stiftet, und mit nur ein paar einfachen Konzepten beginnen.

Die erste davon ist, dass die Raumzeit eine Metrik enthält, die Ihnen sagt, wie Sie Entfernung und Zeit messen können. Im Fall von SR ist diese Metrik extrem einfach und kann einfach eingeführt werden$x$,$t$Koordinaten (ich arbeite in 1+1 und$c = 1$), in dem das Raum-Zeit-Intervall so aussieht

Mal sehen, wie das bei diesem einfachen Doodle funktioniert, das ich zusammengestellt habe

Die vertikale Richtung ist zeitartig und die horizontale ist raumartig. Bsp die blaue Linie hat "Länge"$ds_1^2 = -20^2 = -400$in den quadratischen Einheiten des Bildes (beachten Sie das Minuszeichen, das der zeitähnlichen Richtung entspricht) und jede der roten Linien hat die Länge Null (sie repräsentieren die Lichtbahnen).

Die Länge der grünen Linie beträgt$ds_2^2 = -20^2 + 10^2 = -300$. Um die richtigen Zeiten entlang dieser Trajektorien zu berechnen, können Sie verwenden$d\tau^2 = -ds^2$. Wir können sehen, dass die Fahrt beim grünen Zwilling kürzere Eigenzeit dauert als beim blauen Zwilling. Mit anderen Worten, der grüne Zwilling wird jünger sein.

Im Allgemeinen dauert jede Art von gekrümmtem Pfad, den Sie sich zwischen oben und unten vorstellen können, kürzer als der blaue Pfad. Dies liegt daran, dass zeitähnliche Geodäten (die im Minkowski-Raum nur nach oben zeigende gerade Linien sind) zwischen zwei Punkten die Eigenzeit maximieren. Dies ist im Wesentlichen daran zu erkennen, dass jede Abweichung von der Geraden unnötige raumartige Beiträge zum Raum-Zeit-Intervall induziert.

Sie können sehen, dass es kein Paradoxon gab, weil wir das Problem so behandelten, wie es wirklich war: Berechnung der Eigenzeit der allgemeinen Trajektorien. Beachten Sie, dass dies die einzige Möglichkeit ist, diese Art von Problemen in GR anzugehen. In SR sind das wegen seiner Homogenität und Flachheit andere Ansätze und führen bei sorgfältiger Ausführung zu den gleichen Ergebnissen. Es ist nur so, dass die Leute oft nicht vorsichtig genug sind und das führt zu Paradoxien. Meiner Meinung nach ist es also sinnvoll, hier die Lektion von GR zu lernen und all diese Ad-hoc-SR-Berechnungen zu vergessen.

Nur um Ihnen einen Vorgeschmack zu geben, wie eine SR-Berechnung aussehen könnte: Aufgrund global schöner Koordinaten sind die Menschen versucht, auch entfernte Phänomene zu beschreiben (was nicht wirklich sinnvoll ist, Physik ist immer nur lokal). Der blaue Zwilling könnte also beschließen, das Alter des grünen Zwillings zu berechnen. Dies wird gut funktionieren, da es sich im Trägheitsbezugssystem befindet, sodass es zu demselben Ergebnis kommt wie wir.

Doch der grüne Zwilling wird zu seltsamen Schlüssen kommen. Beide geraden Linien seiner Flugbahn werden gut funktionieren, und wenn die Wende nicht wäre, müsste der blaue Zwilling auch aus der Sicht des grünen Zwillings jünger sein. Der grüne Zwilling muss also zu dem Schluss kommen, dass die Tatsache, dass sich der blaue Zwilling in einem starken Gravitationsfeld befand (was der Beschleunigung entspricht, die den grünen Zwilling zum Drehen bringt), ihn älter macht . Dies ergibt ein mathematisch korrektes Ergebnis (wenn es sorgfältig berechnet wird), aber physikalisch ist es natürlich völliger Unsinn. Sie können einfach nicht erwarten, dass Ihre lokale Beschleunigung Auswirkungen auf einen entfernten Beobachter hat. Der Punkt, der hier beachtet werden muss (und den GR nur zu gut klarstellt), ist, dass Sie niemals versuchen sollten, über entfernte Objekte zu sprechen.

Das „Paradoxon“ am Zwillingsparadoxon besteht darin, dass eine naive Sichtweise des Problems darauf hindeuten würde, dass die Situation vollkommen symmetrisch sein müsste: Jeder Zwilling sollte glauben, dass er oder sie wirklich in Ruhe ist, während der andere Zwilling derjenige ist, der sich bewegt mit hoher Geschwindigkeit kehrt dann zurück. Dies ist jedoch falsch, da einer der beiden zwangsläufig beschleunigt, was ein Mittel zur Unterscheidung zwischen den beiden Bezugsrahmen bietet.

Sie können den Zeitunterschied vollständig innerhalb der speziellen Relativitätstheorie verstehen, ohne sich auf die allgemeine Relativitätstheorie berufen zu müssen. Sie können leicht ein Dutzend verschiedener Erklärungen dazu googeln, wie es funktioniert, aber die beste, die ich gesehen habe, ist wahrscheinlich die in Tatsu Takeuchis An Illustrated Guide to Relativity . Da es illustriert und nicht online ist, übersteigt es leider meine Fähigkeit, es hier zu reproduzieren, aber es ist einen Blick wert.

Das Problem, das gelöst werden muss, ist, dass beide Zwillinge sehen sollten, dass die Uhr des anderen während der Reise langsam läuft, aber irgendwie muss der sich bewegende Zwilling weniger Zeit vergehen sehen als der erdgebundene Zwilling. Die Auflösung ist, ganz grob, dass im beweglichen Koordinatensystem des Zwillings auf der Rückreise der Ausgangspunkt viel weiter in der Vergangenheit liegt, die Reise also schon länger andauert. Ein Beobachter, der sich schon immer in diesem Rahmen befand (sagen wir, der Kapitän des interstellaren Transporters, auf dem der Zwilling per Anhalter fährt), würde sagen, dass die Erduhr immer langsam war, aber sie läuft viel länger, als die innere Uhr des Zwillings vermuten lässt .

Die Details sind jedoch etwas subtil, weshalb über Google Dutzende von halb widersprüchlichen Erklärungen verfügbar sind. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass die Beschleunigung nicht den Unterschied zwischen den Uhren verursacht (in diesem Fall benötigen Sie möglicherweise tatsächlich GR, um dies herauszufinden). Es sind die Übergänge zwischen Bezugsrahmen, die zu dem Unterschied führen, nicht die Beschleunigung selbst, und Sie können einen Zwillingsparadox-ähnlichen Unterschied zwischen Uhren erhalten, selbst wenn beide Zwillinge genau die gleiche Beschleunigung erfahren, wie in diesem Artikel des American Journal of Physics gezeigt wird .

Carlo Rovelli gibt in seinem neuen Buch "The order of time" eine intuitive Darstellung, warum nur SRT benötigt wird :

„In Bewegung“ in Bezug auf was? Wie können wir feststellen, welches der beiden Objekte sich bewegt, wenn die Bewegung nur relativ ist? Dies ist ein Problem, das viele verwirrt hat. Die richtige Antwort (selten gegeben) lautet: in Bewegung relativ zu der einzigen Referenz, bei der der Raumpunkt, an dem sich die beiden Uhren trennen, derselbe Raumpunkt ist, an dem sie wieder zusammenkommen. Es gibt nur eine einzige gerade Linie zwischen zwei Ereignissen in der Raumzeit, von A nach B: Es ist diejenige, entlang der die Zeit maximal ist, und die Geschwindigkeit relativ zu dieser Linie ist diejenige, die die Zeit verlangsamt. Wenn sich die Uhren trennen und nicht wieder zusammengeführt werden, macht es keinen Sinn zu fragen, welche schnell und welche langsam ist. Wenn sie zusammenkommen, können sie verglichen werden, und die Geschwindigkeit jedes einzelnen wird zu einer klar definierten Vorstellung.

Sie müssen nicht auf GR zurückgreifen, um das Zwillingsparadoxon zu erklären – Sie brauchen GR nur, wenn Effekte im Zusammenhang mit der Krümmung der Raumzeit berücksichtigt werden müssen.

Das Zwillingsparadoxon spiegelt einfach eine Tatsache über die Geometrie der flachen Raumzeit wider, nämlich dass die verstrichene Zeit auf einem geraden Pfad zwischen zwei Ereignissen immer länger ist als die verstrichene Zeit auf jedem anderen Pfad. Im klassischen Zwillingsparadoxon folgt ein Zwilling einem geraden Weg zwischen Start und Ende, während der andere Zwilling dies nicht tut – folglich erfährt der erste Zwilling eine längere verstrichene Zeit.

Die Frage ist: Was meinst du mit "klassisch"? Für mich ist das Classical Twin Paradox das, was Einstein das Uhrenparadoxon nannte, also die Version ohne jegliche Beschleunigungen . Und dieses Paradox wurde nie gelöst.

Sind in der Situation keine Beschleunigungen im Spiel, dann ergibt sich das ganze Paradox nur aus der einfachen Gleichung für die Zeitdilatation:

Wie wir sehen können, gibt es nur eine Konstante$v$dort, und doch muss eine der Uhren zeitgedehnt werden.

Wenn jemand sagt, dass die Raumfahrt die Beschleunigung eines Raumschiffs erfordert, hat er absolut Recht. Die Sache ist, dass jede Zeitdilatation aufgrund von Beschleunigung nur über der Dilatation aufgrund von Konstanten liegt$v$.

Wir können uns einfach vorstellen, dass beide Zwillinge in unterschiedlichen Raumschiffen auf Weltraumreise gehen und in entgegengesetzte Richtungen reisen. In einem solchen Fall können wir leicht davon ausgehen, dass beide genau die gleichen Beschleunigungen erfahren, die sich effektiv gegenseitig "aufheben". Und doch haben wir immer noch das Paradoxon, das sich aus der Zeitdilatation zwischen Trägheitssystemen ergibt. Die obige Gleichung gilt immer noch. Daher müssen wir die Frage beantworten: Welcher der Zwillinge ist jünger und warum?

Wie Sie sehen können, verschleiert die Einführung von Beschleunigungen nur das eigentliche Paradoxon und löst es nicht. Und vielleicht löst deshalb niemand das Paradoxon mit reellen Zahlen. Denn wenn Sie tatsächliche Berechnungen anstellen, werden Sie sofort sehen, dass Sie die Zeitdilatation aufgrund der Beschleunigung zur Zeitdilatation aufgrund der Konstante addieren müssen$v$. Was das andere noch ungelöst lässt.

Um das klassische Paradox am besten zu veranschaulichen, können wir es auf zwei Arten formulieren:

1) Wenn einer der Zwillinge aufgrund unterschiedlicher Konstanten tatsächlich älter wird$v$, dann wird das Axiom der Speziellen Relativitätstheorie verfälscht, dass es keine bevorzugten (Trägheits-)Referenzsysteme gibt. Denn das bedeutet, dass sich das Bezugssystem mit dem langsameren Takt in Bezug auf das andere in absoluten Zahlen bewegt. Daher ist Bewegung absolut .

Jemand kann darauf antworten, dass ich SR nicht verstehe, was es uns erlaubt, die ganze Situation umzukehren, dh den beweglichen und den stationären Rahmen zu vertauschen. Sicher, aber dann haben wir Paradoxon 2):

2) Wenn wir behaupten, dass Uhr A langsamer ist als Uhr B, und auch dass Uhr B langsamer als Uhr A ist, dann kann die spezielle Relativitätstheorie nicht als wahr bewiesen werden. Denn in einem solchen Fall gehen beide Uhren gegeneinander nach, was auf keine wirkliche Zeitdilatation hinausläuft . Wenn jedoch ein Unterschied gemessen wird, dann sind wir wieder bei Paradoxon 1), dh einer der Rahmen wird eindeutig bevorzugt, und daher haben wir bewiesen, dass absolute Bewegung existiert.

Um zusammenzufassen. Es gibt keine Lösung für das klassische (streng träge) Zwillingsparadoxon. Und auch Beschleunigungen lösen das Paradoxon nicht – sie maskieren es nur.

BEARBEITEN: Professor Chad Orzel gab in seiner Antwort dieses Papier als Quelle an, in der behauptet wurde, dass eine Dilatation in SR (ohne Beschleunigungen) nachgewiesen werden kann. Das ist einfach erstaunlich, da jeder sehen kann, dass dieser Artikel auf einem Trick basiert, bei dem die Eltern der reisenden Zwillinge auf der Erde bleiben und sehen, dass zwischen ihnen eine gewisse Distanz gleich ist$γx_0$. Allerdings: 1) Längenberechnungen in SR werden von den beiden Referenzrahmen durchgeführt und nicht von einem 3., 2) wenn sich Zwillinge in entgegengesetzte Richtungen bewegen (wie in meinem Gedankenexperiment oben), können Sie immer behaupten, der andere Zwilling sei jünger, und - am wichtigsten - 3) Dieses Papier zeigt die Dilatation basierend auf der Geschwindigkeit$v$, und doch gibt es keinen Geschwindigkeitsunterschied zwischen den Zwillingen - sie fliegen in zwei Raketen in die gleiche Richtung und wurden auf genau die gleiche Weise beschleunigt. Die Geschwindigkeit$v$wird von ihrem Elternrahmen, dh der Erde, gemessen, und der Autor gibt sogar zu, dass er sagt, dass die effektive Geschwindigkeit zwischen den Zwillingen null ist. Wie kommt es nun zu einem Artikel, der behauptet, dass die SR-Zeitdilatation zwischen Referenzrahmen stationär bzgl. miteinander (und nicht beschleunigt) wurde zur Veröffentlichung angenommen?!?! Und wie kommt es, dass sie hier von einem Professor als Quelle präsentiert wurde?!

(Und wenn vonjd dieses kostenlose Papier nicht finden würde, könnten wir denken, dass ein kluger Kerl das Unbeweisbare bewiesen hat. Und wenn ich dafür bezahlt hätte, würde ich einfach geprügelt werden.)

HINWEIS: Jegliche Kommentare zu dieser Argumentationslinie sind mehr als willkommen.

Diese Antwort bietet eine Variation von @Mareks Antwort, die versucht,
@vonjds Besorgnis über den Nicht-Trägheitsbeobachter (in Grün) auszuräumen, der
versucht, als "Trägheits" (anstelle des blauen Trägheitsbeobachters) betrachtet zu werden.

Erstens ist, wie andere bereits gesagt haben, die allgemeine Relativitätstheorie nicht erforderlich, um dieses Problem zu analysieren. Spezielle Relativitätstheorie, die in der Lage ist, die Situation zu analysieren.

Ich werde ein Raumzeitdiagramm auf gedrehtem Millimeterpapier zeichnen, damit wir das Intervall zwischen Ereignissen leichter berechnen können.

Die kausale Raute von OZ ist der Schnittpunkt der kausalen Zukunft von O und der kausalen Vergangenheit von Z. Die zeitähnliche Diagonale OZ hat eine Länge gleich der Quadratwurzel der Fläche in Einheiten des Gitters, dessen Rauten Lichtsignalen nachempfunden sind durch eine in diesem Rahmen ruhende Lichtuhr nachgezeichnet.

Lassen Sie uns die Berechnung von @Marek überprüfen.

Durch Zählen und Verwenden der$(+,-)$-Unterschrift,

• die Fläche des Diamanten OZ ist (20)(20)=400. Die zeitlose diagonale OZ hat also die Größe 20.
• die Fläche des Diamanten OQ ist (15)(5)=75 und ähnlich für QZ.
  Die stückweise Trägheits-Weltlinie OQZ hat also eine Länge$2\sqrt{75}\approx 17.32$.

Das könnte man argumentieren$OTZ$ist auch stückweise inertial.
Also, was macht$OTZ$Trägheit und$OQZ$nicht träge?

• Kinematisch,$OTZ$ist träge, weil$O$,$T$, und$Z$sind kollinear und erfüllen:$\sqrt{AreaOZ}=\sqrt{AreaOT}+\sqrt{AreaTZ}=\sqrt{100}+\sqrt{100}=\sqrt{400}$.
• In der Tat, für jede Veranstaltung zusammen$OZ$, zB Veranstaltung$M$: wir haben
  $\sqrt{AreaOZ}=\sqrt{AreaOM}+\sqrt{AreaMZ}=\sqrt{49}+\sqrt{169}=\sqrt{400}$).
• Allerdings z$OQZ$, wir haben$\sqrt{AreaOQ}+\sqrt{AreaQZ}=\sqrt{75}+\sqrt{75}\neq \sqrt{400}$.
  So,$OQZ$ist nicht träge.

Beachten Sie, dass keine Lorentz-Transformation diese Ergebnisse ändern kann.

Seit$v_{OQ}=\frac{1}{2}$, sein Dopplerfaktor$k=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$ist nicht rational und daher sind die Häkchen entlang der Diagonalen nicht einfach zu zeichnen.

Verwenden Sie stattdessen$v_{OR}=\frac{3}{5}$, oder$v_{OS}=\frac{4}{5}$, die rationale Dopplerfaktoren ($k=2$und$k=3$) können wir die Häkchen einfacher entlang ihrer Diagonalen zeichnen und zählen.
Diese Diamanten werden von ihren jeweiligen Lichtuhren verfolgt.

Beachten Sie, dass die Fläche der Lichtuhrrauten invariant ist, weil die Boost-Transformation die Determinante 1 hat.
Außerdem Rational$k$'s sind mit pythagoräischen Tripeln verbunden.

Für verwandte Argumente siehe meine Antworten zur
Äquivalenz von zwei Definitionen der Eigenzeit in der speziellen Relativitätstheorie
https://physics.stackexchange.com/questions/553682/twins-paradox-why-is-one-frame-considered-to-be- the-accelerating-frame
https://physics.stackexchange.com/questions/242043/what-is-the-proper-way-to-explain-the-twin-paradox

Am Ende ist die Lektion des Zwillingsparadoxons, dass
„in der Lage sein, in Ruhe zu sein“≠ „inertial sein“.

Weitere Informationen zu diesem Ansatz finden Sie in meinem Artikel
"Relativität auf gedrehtem Millimeterpapier"
American Journal of Physics 84, 344 (2016);
https://doi.org/10.1119/1.4943251
(früher Entwurf unter: https://arxiv.org/abs/1111.7254 )

Das Problem ist der Symmetriebruch, den der reisende Zwilling verursacht, wenn er seine Richtung ändert. Dieser Bruch macht die beiden Zwillinge voneinander unterscheidbar. Bevor der Reisende die Richtung ändert, halten beide ihren Partner für den jüngeren (weil die Zeit im eigenen System immer die schnellstmögliche Zeit ist). Meiner Meinung nach hat dieses Paradoxon also nicht viel mit der allgemeinen Relativitätstheorie zu tun - die spezielle Relativitätstheorie kann natürlich keine beschleunigten Bewegungen beschreiben, aber was wirklich zählt, ist, dass der Zwilling umkehrt, nicht wie er beschleunigt und so weiter.

Es ist leicht von der Person auf der Erde zu lösen - er nahm den Doppler-Effekt während seiner Beobachtungen des Raumschiffs aus der Gleichung heraus und beobachtete, dass die Uhr auf dem Raketenschiff langsam lief, und bestätigte dies, als das Schiff zurück im Hafen ankam, durch Vergleich der beiden Uhren.

Die Beobachtung nach Angaben des Reisenden ist etwas mysteriös. Der Reisende blickt zurück auf die Erde, entfernt die Dopplereffekte und sieht scheinbar die Erdzeit langsam ablaufen. Ohne die beiden Uhren im Auge zu behalten, muss irgendwann die dem Dopplereffekt entzogene Zeit auf der Erde schneller werden und die der Reiseuhr überholen. Wann passiert das? - Steht das nicht im Widerspruch zu dem, was uns beigebracht wird?