Äquivalenz zweier Definitionen der Eigenzeit in der speziellen Relativitätstheorie

Betrachten Sie zwei zeitlich verwandte Ereignisse.
Ziehen Sie nun eine Weltlinie für einen Beobachter, der beide Ereignisse besucht [war dabei].
Die richtige Zeit für diese Weltlinie ist die auf der Armbanduhr dieses Beobachters verstrichene Zeit.
Im Rahmen dieses Beobachters befinden sich diese Ereignisse an derselben Position (hier am Ursprung).

Für eine andere Weltlinie, die diese beiden Ereignisse besucht, erhält man eine richtige Zeit für diese Weltlinie, die sich im Allgemeinen von der ersten unterscheidet. (Dies ist der Clock-Effekt.)

Im Gegensatz dazu befinden sich bei einer Weltlinie, die eines der Ereignisse nicht besucht, die beiden Ereignisse nicht an derselben Position in diesem Rahmen. Da diese Weltlinie nicht beide Ereignisse besuchte, wäre die von diesem Beobachter gemessene verstrichene Zeit im Allgemeinen [streng genommen] nicht „eine richtige Zeit für eine Weltlinie zwischen diesen beiden Ereignissen“.

Sie haben vielleicht schon von dem "richtigen Zeitintervall zwischen zwei [in der Nähe] Ereignissen" gehört.
Das würde der richtigen Zeit für die Trägheits- Weltlinie entsprechen, die beide Ereignisse besucht.

AKTUALISIEREN

Ein Raum-Zeit-Diagramm könnte helfen.
Ich habe es auf gedrehtes Millimeterpapier gezeichnet, um uns zu helfen, die Ticks zu sehen und zu zählen.
Im Gegensatz zu den Segmentlängen in diesem Diagramm sind die Flächen dieser Lichtuhr-Diamanten Lorentz-invariant. Diese Lichtuhr-Diamanten werden von den Lichtsignalen in einer Standard-Lichtuhr, die mit jedem Beobachter mitreist, aufgespürt.

Wie im Wikipedia-Link zur richtigen Zeit (oben im OP) beschrieben,
ist die "richtige Zeit" mit einer Weltlinie verbunden - nicht nur mit den Endpunktereignissen.
Das Adjektiv „angemessen“ bezieht sich auf „Eigentum“ oder „Eigentum“ [nicht „richtig“ oder „das Gegenteil von unsachgemäß“].
(Minkowski verwendete „eigenzeit“ , was Google Translate mit „eigene Zeit“ übersetzt.)

Armbanduhrzeit (in Taylor/Wheelers „Spacetime Physics“) oder Privatzeit (in Bondis „Relativity and Common Sense“) sind vielleicht bessere Begriffe.

Nachfolgend sind mehrere Weltlinien von Ereignis O bis Ereignis Z aufgeführt.
Für den Beobachter entlang jeder Weltlinie gilt:

• Ihre Uhren, die diesen Weltlinien folgten, besuchten beide Ereignisse O und Z.
• O und Z befinden sich in ihrem Rahmen an der gleichen Position : "hier bei (x,y,z)=(0,0,0)".

Ich überlasse es Ihnen, die Diamanten der Lichtuhr zu zählen, um die Eigenzeit entlang jeder Weltlinie zu bestimmen. Dass diese Eigenzeiten nicht alle übereinstimmen, wird in der Relativitätstheorie als „Uhreneffekt“ bezeichnet . Die Weltlinie mit der längsten verstrichenen Eigenzeit von O bis Z ist die Trägheitslinie.

[Das "Zwillingsparadoxon" ist der Missbrauch des Relativitätsprinzips, um
fälschlicherweise "sich selbst als ruhend betrachten zu dürfen" (was sie alle können)
mit "sich selbst als träge betrachten zu dürfen" (nur einer der fünf oben ist von O bis Z vollständig träge).]

UPDATE 2:

Um die Frage von Shashaank im Kommentarbereich zu beantworten ...

Lassen$P$das Umkehrereignis auf der violetten Weltlinie sein (die eine nicht-träge, aber stückweise träge Weltlinie ist).

In Betracht ziehen$\tilde \tau_{OZ}=\tilde \tau_{OP}+\tilde \tau_{PZ}$, die Summe zweier zukünftiger zeitartiger 4er-Vektoren.

Durch Nehmen der Quadratgröße (unter Verwendung des Minkowski-Punktprodukts mit dem$(+,-,-,-)$Signatur) erhalten wir den Kosinussatz in der Minkowski-Raumzeit (unter Verwendung des externen [Schnelligkeits]-Winkels at$P$)

Ich ziehe es vor, mir die Eigenzeit als die „Entfernung“ zwischen den beiden Ereignissen in der Raumzeit vorzustellen. Stellen Sie sich eine Art Weltlinie in einer vierdimensionalen Raumzeit vor

$x^\mu = \left(ct, \mathbf{r}\right)^\mu$

Wo$c$ist die Lichtgeschwindigkeit,$t$ist Zeit u$\mathbf{r}$ist Stellung. Lassen Sie uns einen Punkt (Ereignis) auf dieser Kurve als „Start“ definieren:$x_0^\mu =\left(ct_0, \mathbf{r}_0\right)$

Betrachten Sie nun ein Ereignis auf derselben Weltlinie, das kurz vor dem „Start“ steht:$x_\delta^\mu =\left(ct_0+c\delta t, \mathbf{r}_0+\delta \mathbf{r}\right)$

Was ist die Viererdistanz ($\delta s$) zwischen diesen beiden Ereignissen? Das Quadrat der Entfernung ist:

$\delta s^2 = c^2\delta t^2-\delta r^2$

Vorausgesetzt, wir beschäftigen uns mit zeitähnlichen Weltlinien (dh$\delta s^2 > 0$), kann man, indem man in kleinen Schritten vorgeht und kleine Distanzen hinzufügt, die volle Viererdistanz zwischen zwei beliebigen Ereignissen auf der Weltlinie finden. Es ist daher bequem, die Weltlinie mit dieser Entfernung (auch bekannt als Bogenlänge) zu parametrisieren:

$x^\mu=x^\mu\left(s\right)=\left(ct\left(s\right),\mathbf{r}\left(s\right)\right)^\mu,\quad x^\mu_0=x^\mu\left(0\right)$

Wir können uns jetzt dafür entscheiden, die Entfernung in Sekunden zu messen, indem wir die Eigenzeit einführen$\tau=s/c$. Das ist es - überhaupt keine Uhren beteiligt. Es dreht sich alles um die Bogenlänge. Und da diese Bogenlänge Lorentz-invariant ist, werden sich alle Beobachter darauf einigen.

Wenn Sie nun Uhren zurück haben wollen, denken Sie an die Weltlinie im Ruhesystem ($\bar{S}$) des Beobachters, der sich entlang dieser Weltlinie bewegt. Für diesen Beobachter ist die Weltlinie gerade und „vertikal“ (zumindest lokal), dh nur entlang der zeitlichen Achse:

$\bar{x}^\mu\left(s\right)=\left(c\bar{t}\left(s\right),\mathbf{0}\right)^\mu$

Der Abstand zwischen zwei nahe gelegenen Ereignissen auf dieser Weltlinie ist also per Definition:

$\delta s^2=c^2\delta \tau^2 = c^2 \delta \bar{t}^2 - 0$

Somit,$\delta \tau = \delta \bar{t}$dh die vom Ruhesystembeobachter getragene Uhr misst die Eigenzeit.

Als Bonus ist es von hier aus einfach, zum Lorentz-Faktor zu gelangen. Betrachten Sie die Ableitung der Weltlinie in Bezug auf ihre eigene Bogenlänge:

$\frac{dx^\mu\left(s\right)}{ds}=c^{-1}\frac{d}{d\tau}\left(ct,\mathbf{r}\right)^\mu$

Wir können definieren$\frac{dt}{d\tau}=\gamma$als Lorentzfaktor

Dann:

$\frac{dx^\mu\left(s\right)}{ds}=c^{-1}\gamma\cdot\left(c,\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)^\mu=c^{-1}\gamma\cdot\left(c,\mathbf{v}\right)^\mu$

Wo$\mathbf{v}$ist die Geschwindigkeit. Der Schritt zwischen den beiden nahe gelegenen Ereignissen auf der Weltlinie ist:

$x^\mu\left(s+\delta s\right)^\mu-x^\mu\left(s\right)^\mu=\delta s\, c^{-1}\gamma\cdot\left(c,\mathbf{v}\right)^\mu$

Eindeutig ist der Abstand zwischen diesen beiden Ereignissen$\delta s$, So:

$\left|x^\mu\left(s+\delta s\right)^\mu-x^\mu\left(s\right)^\mu\right|^2=\delta s^2 = \delta s ^2 \, c^{-2}\gamma^2 \cdot\left(c^2-v^2\right)$

Deshalb:

$\gamma^2=\frac{c^2}{\left(c^2-v^2\right)}$

unabhängig davon, ob die Weltlinie gerade oder gekrümmt ist.

Die eigentliche Zeit wurde ursprünglich auf die Armbanduhrenzeit der Ortsansässigen festgelegt. . . und ist immer noch zusammen mit zusätzlichen Beschreibungen, die zu verschiedenen mathematischen Konstrukten passen. Einfachheit hilft.

Der erste definiert die Zeit und der zweite definiert ein Intervall, ein Intervall liegt zwischen zwei Ereignissen, nicht zwischen Beobachtern.