Extreme Verwirrung mit den metrischen Tensoren

Die Verwirrung kommt von der Tatsache, dass anscheinend 2 Konzepte in Ihre Frage involviert sind, was das Thema ziemlich kompliziert macht. Die 2 Konzepte sind:

Beschreibung des metrischen Tensors in koordinatenabhängiger Form (klassischer Weg)

Beschreibung des metrischen Tensors in koordinatenfreier Form (moderner Weg), was eigentlich die Verwendung von Differentialformen erfordert.

Es ist so einfach, eine Gleichung wie zu schreiben$e_i \cdot e_j = \delta_{ij}$, und es sieht so intuitiv aus, dass man keinen Moment zögert, es zu glauben, aber dahinter steckt die ziemlich abstrakte Theorie von Tangentialvektoren und Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten. In dieser Theorie die Symbole$e_i$sind Tangentenvektoren eines frei gewählten Punktes einer Mannigfaltigkeit, und diese werden tatsächlich als Ausdrücke partieller Ableitungen geschrieben und in Ihrer Frage als orthonormal gewählt. In 2-dim. Flache Mannigfaltigkeit gibt es zum Beispiel -- es ist unsere Wahl -- 2 orthonormale Tangentenvektoren$\frac{\partial}{\partial x}$Und$\frac{\partial}{\partial y}$die die (nette) Eigenschaft haben, orthonormal zu ihren entsprechenden Covektoren zu sein${ dx , dy}$. (Kovektoren sind die Basis des Dualraums, hier Kotangensraum genannt, der punktweise definiert ist, dh an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit gibt es einen anderen Tangentenraum und Kotangensraum usw. ... ) Explizit:

$dx(\frac{\partial}{\partial x})=1$Und$dy(\frac{\partial}{\partial y})=1$wohingegen$dy(\frac{\partial}{\partial x})=0$Und$dx(\frac{\partial}{\partial y})=0$.

Jetzt definieren wir, was gemeint ist$\cdot$das Produkt zwischen Tangentenvektoren. Dazu benötigen wir den metrischen Tensor$g$was ein symmetrischer Tensor ist$e_i \cdot e_j := g(e_i, e_j)$. Wenn unsere Basis also orthonormal gewählt wird, erhalten wir tatsächlich:$e_i \cdot e_j = g(e_i, e_j)=\delta_{ij}$. Wir werden das noch ein bisschen ausarbeiten. Unser Tensor$g$ist eigentlich im Formalismus der Differentialformen:

$g = dx \otimes dx + dy \otimes dy$

Wenn wir seine Komponenten wissen wollen, müssen wir es anhand der Basisvektoren auswerten (erinnern Sie sich$dx(\frac{\partial}{\partial x})=1$Und$dy(\frac{\partial}{\partial y})=1$wohingegen$dy(\frac{\partial}{\partial x})=0$Und$dx(\frac{\partial}{\partial y})=0$. ):

$e_x \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial x} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial x} ) = g_{xx} = 1+0= 1.$

$e_x \cdot e_y = g(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial y} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{ \partial}{\partial y} ) = g_{xy} = 0 + 0 =0.$

$e_y \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial x})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial x} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial x} ) = g_{yx} =0 + 0 =0.$

$e_y \cdot e_x = g(\frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y})= dx \otimes dx ( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y} ) + dy \otimes dy( \frac{\partial}{\partial y}, \frac{ \partial}{\partial y} ) = g_{yy}= 0 + 1 =1.$

Wir haben das gewünschte Ergebnis erhalten, die Basisvektoren sind wie erforderlich orthonormal. Was passiert, wenn wir die Metrik ändern? Kommen wir zu den Polarkoordinaten$(r,\phi)$. (Erinnern$(x,y) =(r cos\phi, r sin\phi)$, die folgenden Ableitungen müssen mit dieser Definition durchgeführt werden) Mit diesen Koordinaten können wir die folgenden Tangentenvektoren konstruieren$\left(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{\partial}{\partial \phi}\right)$. Die entsprechenden Covektoren sind$(dr, d\phi)$:

Die Metrik in Polarkoordinaten sieht so aus:$g = dr \otimes dr + r^2 d\phi \otimes d\phi$

$g_{rr}= g(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial r} ) = 1 + 0 =1.$

$g_{r\phi}= g(\frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial r}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) = 0 + 0 =0.$

Wenn$r$Und$\phi$in den Tangentenvektoren vertauscht wird, ist das Ergebnis ebenfalls Null:$g_{\phi r}=0$.

$g_{rr}= g(\frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{ \partial}{\partial \phi})= dr \otimes dr ( \frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{ \partial}{\partial \phi} ) + r^2 d\phi \otimes d\phi( \frac{\partial}{\partial \phi}, \frac{\partial}{\partial \phi} ) = 0 + r^2 =r^2$.

Wir stellen tatsächlich fest, dass unsere gewählten Tangentenvektoren normal zueinander sind, aber nicht orthonormal. Das ist okay. Das ist unsere Wahl. Das Basissystem muss nicht orthonormal sein. Wir können das Problem tatsächlich leicht beheben, indem wir auswählen$e_\phi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}$. Aber es gibt eine kleine Einschränkung. Bisher waren unsere Covektoren (die dualen Vektoren unserer Tangentenvektoren) totale Differentiale. Das ist bei der neuen Koordinatenwahl nicht mehr möglich. Der Covektor von$e_\phi = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}$Ist$r d\phi$die nicht mehr durch ein totales Differential dargestellt werden kann. Solche Basen werden anholonom genannt. Sie sind äußerst praktisch für Berechnungen, aber irgendwie unnatürlich. Trotzdem findet man sie im modernen Formalismus der Differentialformen überall.

Schließlich, wenn Sie eine Koordinatentransformation anwenden, die Komponenten des metrischen Tensors$g(e_i,e_j)$wandle dich nach der Regel um

$g(e'_i,e'_j) = \frac{\partial x^k}{\partial x'^i} \frac{\partial x^l}{\partial x'^j} g(e_k,e_l)$. Die Summierung erfolgt über doppelt vorkommende Indizes.

Transformation von polaren (nicht gestrichenen) Koordinaten zu kartesischen (gestrichenen) Koordinaten: Zunächst wissen wir aus unseren obigen Berechnungen (wir verwenden die Holonomkoordinaten).$(r,\phi)$):$g_{rr}=1$,$g_{r\phi}=0$, Und$g_{\phi\phi}=r^2$. Dazu stellen wir die Transformationsgleichungen auf:

$g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial x} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial x} g_{\phi\phi} = cos^2\phi g_{rr} + 0+ \frac{(-sin\phi)^2}{r^2} g_{\phi\phi} = cos^2\phi + sin^2\phi =1.$

Denken Sie daran, dass der metrische Tensor symmetrisch ist, also fassen wir die beiden gemischten Terme zu einem zusammen und realisieren das auch als$g_{r\phi}= g_{\phi r} =0$, können wir die gemischten Begriffe ganz vergessen.

$g_{xy} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial r}{\partial y} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{\phi\phi} = cos\phi sin\phi g_{rr} + 0 + \frac{cos\phi}{r} \frac{-sin\phi}{r} g_{\phi\phi} = cos \phi sin\phi - cos\phi sin\phi =0.$

$g_{xx} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial r}{\partial y} g_{rr} + 2 \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{r\phi} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial \phi}{\partial y} g_{\phi\phi} = sin^2\phi g_{rr} + \frac{cos\phi}{r} \frac{cos\phi}{r} g_{\phi\phi} = sin^2\phi + cos^2\phi =1.$

Wir können bestätigen, dass die Formel zur Transformation des metrischen Tensors bei der Koordinatentransformation von Polar- auf kartesische Koordinaten korrekt funktioniert.
Eigentlich kann man das auch mit anholonomen Koordinaten machen, vielleicht gibt es eine kleine Änderung im Transformationsgesetz, aber a priori sollte es auch klappen. Ich hoffe, das hilft, aber möglicherweise wäre es notwendig, etwas mehr über Differentialformen zu lernen, um diese Antwort noch klarer zu machen.

OK, also ist die Verwirrung, die ich hier sehe, im Grunde Terminologie.

In den meisten Gedanken haben wir den metrischen Tensor$g_{ab}$, was eine Verallgemeinerung des normalen Skalarprodukts auf einen Vektorraum ist. Um einen konsistenten Satz von Regeln für Vektor- und Ein-Form-Transformationen zu haben und Heben und Senken als invertierbare Operationen zu haben, ist es notwendig, dass in Komponenten das innere Produkt zweier Ein-Formen durch die inverse Matrix von gegeben ist$g_{ab}$, die wir nennen$g^{ab}$vereinbarungs. Wenn Leute "inverse Metrik" sagen, meinen sie wörtlich, dass es sich um die inverse Matrix handelt$g_{ab}g^{bc} = \delta_{a}{}^{c}$per Definition.

OK, was hat es jetzt mit diesen Tetradenvektoren auf sich?${\bf e}^{a}$?, nun, es ist am besten, sie sich als einen Satz von Vektoren vorzustellen, die eine orthonormale Basis des aufgespannten Vektorraums bilden$g_{ab}$Daher müssen es vier sein, die wir mit einem niedrigeren Index kennzeichnen können (ich werde lateinische Großbuchstaben verwenden). Per Konstruktion haben wir:

$${\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b}g_{ab} = \eta_{IJ}$$

Wo$eta$ist die Minkowski-Metrik. Multipliziere links mit$\eta^{JK}$, und wir erhalten:

$$\eta^{JK}{\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b}g_{ab} = \delta_{I}{}^{J}$$

woraus man am einfachsten schließen kann

$$\eta^{JK}{\bf e}_{I}^{a}{\bf e}_{J}^{b} = \frac{1}{4}g^{ab}\delta_{I}{}^{K}$$

oder einfacher

$$\eta^{IJ}g_{I}^{a}g_{J}^{b} = g^{ab}$$

Dies ist die Beziehung, die Sie in der expliziter geschriebenen Frage zitieren. Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, sich die Tetrade als "Quadratwurzel" des metrischen Tensors vorzustellen

Es stellt sich heraus, dass wir die gesamte Allgemeine Relativitätstheorie in Bezug auf die Tetraden-Vektoren (manchmal wird dies auch mit ihrem deutschen Namen „Vierbein“ bezeichnet) vollständig umformulieren können$\bf e$ohne jemals direkt auf den metrischen Tensor zu verweisen, und tatsächlich ist dies die EINZIGE Möglichkeit, Spinoren in die allgemeine Relativitätstheorie aufzunehmen.