(Hyper)Oberfläche der Gleichzeitigkeit [geschlossen]

Question

(Hyper)Oberfläche der Gleichzeitigkeit [geschlossen]

Anonym

Wie kann ich die Gleichzeitigkeitsflächen bestimmen, wenn ich die Metrik kenne? Was sind insbesondere die Gleichzeitigkeitsflächen für rotierende Scheiben mit Langevin-Metrik:

D S^{2} = - (1 - ω^{2} R^{2}) D T^{2} + 2 R^{2} ω D ϕ D T + D R^{2} + R^{2} D ϕ^{2} + D z^{2}

$ds^2=-(1-\omega^2r^2)dt^2+2r^2\omega d\phi dt+dr^2+r^2d\phi^2+dz^2$ Wo

ω

$\omega$ ist eine konstante Winkelgeschwindigkeit?

ACuriousMind

Was ist eine "Oberfläche der Gleichzeitigkeit"?

Benutzer111331

@ACuriousMind Das ist auch meine Frage! Ich denke, es ist die Oberfläche, die orthogonal zur Zeitachse ist.

ACuriousMind

Es gibt keine eindeutige "Zeitachse" in einer allgemeinen Lorentzschen Mannigfaltigkeit. Am nächsten werden Sie überall in die Zukunft gerichtete zeitähnliche Vektorfelder bekommen, aber selbst diese existieren nicht immer, und sie sind in keiner Weise einzigartig. Mit anderen Worten, wenn Sie "Oberfläche der Gleichzeitigkeit" nicht definieren können, halte ich diese Frage nicht für beantwortbar.

Benutzer111331

@ACuriousMind Ok. Vielleicht sollte ich meine Frage bearbeiten. Eine Scheibe dreht sich bezüglich eines Inertialsystems (Minkowski-Raum) mit Winkelgeschwindigkeit um die z-Achse. Nun möchte ich die Oberfläche der Gleichzeitigkeit bestimmen. Könnte ich meine Frage genauer erläutern?

Prahar

@ACuriousMind - Ich denke, das Problem ist, dass OP irgendwo den Begriff "Surface of Simultaneity" gehört hat und ihn nicht verstehen kann. Ich denke, die Frage könnte gelöst werden, wenn wir herausfinden würden, was das bedeutet. OP, können Sie uns helfen, den Kontext zu erklären, in dem Ihnen das vorgestellt wurde?

Benutzer111331

@Prahar Ich bin darauf gestoßen, als ich die Möglichkeit der Uhrensynchronisation eines rotierenden Systems in Bezug auf den Minkowski-Raum bestimmen wollte. Wir wissen, dass die Metrik in einem solchen System die Form hat, die ich geschrieben habe. Jetzt möchte ich die Oberfläche (oder Hyperoberfläche) der Gleichzeitigkeit erhalten.

ACuriousMind

Das Problem ist, dass "Oberfläche der Gleichzeitigkeit" meines Wissens kein Fachbegriff ist, daher bin ich mir nicht sicher, nach welcher Art von Oberfläche Sie suchen.

Benutzer107153

Eines der grundlegendsten Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie ist, dass unterschiedliche Ereignisse, die gleichzeitig in einem Inertialsystem auftreten, in einem anderen nicht so erscheinen. Da alle Inertialsysteme gleichermaßen gültig sind, folgt unmittelbar, dass es keine wohldefinierte 'Oberfläche der Gleichzeitigkeit' gibt . Was du suchst, existiert also nicht.

Emilio Pisanty

Ich habe gesehen, dass dies in der Überprüfungswarteschlange auftauchte, und ehrlich gesagt ist es nicht gut genug gestellt, um es wieder zu öffnen. Der Begriff „Oberfläche der Gleichzeitigkeit“ ist mir klar (dh eine Untermannigfaltigkeit der Dimension 3, deren Tangentenvektoren alle raumartig sind), aber wie die Antwort von Timaeus zeigt, sind diese alles andere als einzigartig, und die Angabe einer Metrik trägt wenig dazu bei, sie zu reduzieren . Angesichts der Tatsache, dass das OP schon lange nicht mehr da ist (anscheinend war dies ihr einziger Beitrag) und die Frage nicht klären kann, sollte es am besten geschlossen bleiben. Wenn die Leute möchten, dass dies wiedereröffnet wird, ist es am besten, erneut zu fragen, wobei das Problem der Nichteindeutigkeit berücksichtigt wird.

Antworten (2)

(Hyper)Oberfläche der Gleichzeitigkeit [geschlossen]

@ACuriousMind Das ist auch meine Frage! Ich denke, es ist die Oberfläche, die orthogonal zur Zeitachse ist.
Es gibt keine eindeutige "Zeitachse" in einer allgemeinen Lorentzschen Mannigfaltigkeit. Am nächsten werden Sie überall in die Zukunft gerichtete zeitähnliche Vektorfelder bekommen, aber selbst diese existieren nicht immer, und sie sind in keiner Weise einzigartig. Mit anderen Worten, wenn Sie "Oberfläche der Gleichzeitigkeit" nicht definieren können, halte ich diese Frage nicht für beantwortbar.
@ACuriousMind Ok. Vielleicht sollte ich meine Frage bearbeiten. Eine Scheibe dreht sich bezüglich eines Inertialsystems (Minkowski-Raum) mit Winkelgeschwindigkeit um die z-Achse. Nun möchte ich die Oberfläche der Gleichzeitigkeit bestimmen. Könnte ich meine Frage genauer erläutern?
@ACuriousMind - Ich denke, das Problem ist, dass OP irgendwo den Begriff "Surface of Simultaneity" gehört hat und ihn nicht verstehen kann. Ich denke, die Frage könnte gelöst werden, wenn wir herausfinden würden, was das bedeutet. OP, können Sie uns helfen, den Kontext zu erklären, in dem Ihnen das vorgestellt wurde?
@Prahar Ich bin darauf gestoßen, als ich die Möglichkeit der Uhrensynchronisation eines rotierenden Systems in Bezug auf den Minkowski-Raum bestimmen wollte. Wir wissen, dass die Metrik in einem solchen System die Form hat, die ich geschrieben habe. Jetzt möchte ich die Oberfläche (oder Hyperoberfläche) der Gleichzeitigkeit erhalten.
Das Problem ist, dass "Oberfläche der Gleichzeitigkeit" meines Wissens kein Fachbegriff ist, daher bin ich mir nicht sicher, nach welcher Art von Oberfläche Sie suchen.
Eines der grundlegendsten Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie ist, dass unterschiedliche Ereignisse, die gleichzeitig in einem Inertialsystem auftreten, in einem anderen nicht so erscheinen. Da alle Inertialsysteme gleichermaßen gültig sind, folgt unmittelbar, dass es keine wohldefinierte 'Oberfläche der Gleichzeitigkeit' gibt . Was du suchst, existiert also nicht.
Ich habe gesehen, dass dies in der Überprüfungswarteschlange auftauchte, und ehrlich gesagt ist es nicht gut genug gestellt, um es wieder zu öffnen. Der Begriff „Oberfläche der Gleichzeitigkeit“ ist mir klar (dh eine Untermannigfaltigkeit der Dimension 3, deren Tangentenvektoren alle raumartig sind), aber wie die Antwort von Timaeus zeigt, sind diese alles andere als einzigartig, und die Angabe einer Metrik trägt wenig dazu bei, sie zu reduzieren . Angesichts der Tatsache, dass das OP schon lange nicht mehr da ist (anscheinend war dies ihr einziger Beitrag) und die Frage nicht klären kann, sollte es am besten geschlossen bleiben. Wenn die Leute möchten, dass dies wiedereröffnet wird, ist es am besten, erneut zu fragen, wobei das Problem der Nichteindeutigkeit berücksichtigt wird.

Timäus · Answer 1

Erinnern Sie sich daran, dass es in der speziellen Relativitätstheorie mehrere Oberflächen der Gleichzeitigkeit gibt? Dasselbe gilt für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Erinnern Sie sich, wie Sie in der speziellen Relativitätstheorie irgendwo einen Vektor auswählen und eine einzelne Oberfläche der Gleichzeitigkeit finden können, bei der alle ihre Tangentenvektoren überall raumartig und bei diesem einen Ereignis orthogonal zu diesem einen einzigen zeitartigen Vektor sind?

Das stimmt in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht. Mehrere Oberflächen könnten überall raumähnliche Tangentenvektoren haben und bei diesem einen Ereignis orthogonal zu diesem einen zeitähnlichen Vektor sein.

Damit ist die Frage, wie man die Flächen eigentlich findet, nicht beantwortet.
@ 0celo7 Die Grammatik der ursprünglichen Frage ließ es klingen, als wollten sie eine unveränderliche Blätterung. Diese Bearbeitung klingt so, als wollten sie eine Formel für jede mögliche raumähnliche Oberfläche? Oder jeder Unerweiterbare? So oder so, sicher, jetzt, da es bearbeitet wurde, werde ich meine Antwort einfach löschen, wenn ich an einen Computer komme.

udrv · Answer 2

In diesem speziellen Fall kann eine einfache Änderung der Variablen auf der Winkelkoordinate die Zeitvariable trennen und zeigen, dass die (lokale) Oberfläche der Gleichzeitigkeit immer der 3D-Euklidische Raum ist oder andernfalls immer eine 3D-Euklidische Metrik hat:

Definieren $\phi = \phi' - \omega t$ , so dass

D ϕ = D ϕ^{'} - ω D T

$d\phi = d\phi' - \omega dt$ und ersetzen Sie den ursprünglichen Ausdruck, der die Metrik definiert:

D S^{2} = - (1 - R^{2} ω^{2}) D T^{2} + 2 R^{2} ω (D ϕ^{'} - ω D T) D T + D R^{2} + R^{2} (D ϕ^{'} - ω D T)^{2} + D z^{2} = = - D T^{2} + R^{2} ω^{2} D T^{2} + 2 R^{2} ω D ϕ^{'} D T - 2 R^{2} ω D T^{2} + D R^{2} + R^{2} D ϕ^{' 2} + R^{2} ω^{2} D T^{2} - 2 R^{2} ω D ϕ^{'} D T + D z^{2} = = - D T^{2} + D R^{2} + R^{2} D ϕ^{' 2} + D z^{2} = - D T^{2} + D σ^{2}

$ds^2 = -(1 - r^2\omega^2)dt^2 + 2r^2 \omega ( d\phi' - \omega dt) dt + dr^2 + r^2 ( d\phi' - \omega dt)^2 +dz^2 =\\ = -dt^2 + r^2\omega^2 dt^2 + 2r^2 \omega d\phi' dt - 2r^2 \omega dt^2 + dr^2 + r^2 d\phi' ^2 + r^2\omega^2 dt^2 - 2r^2 \omega d\phi' dt + dz^2 =\\ = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\phi' ^2 + dz^2 = -dt^2 + d\sigma^2$ Wo

d σ^{2} = d r^{2} + r^{2} d ϕ^{' 2} + d z^{2}

$d\sigma^2 = dr^2 + r^2 d\phi' ^2 + dz^2$ ist offensichtlich die euklidische Metrik in Zylinderkoordinaten.

Mit anderen Worten, die Metrik beschreibt den 3D-Raum, wie er von einem lokal rotierenden Rahmen aus gesehen wird, der durch gegeben ist $\phi' = \phi + \omega t$ .

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