Perfekte Flüssigkeits- und Cauchy-Impulsgleichung

Der Spannungs-Energie-Tensor eines perfekten Fluids ist gegeben durch

T μ v = ( ρ + P C − 2 ) u μ u v + P G μ v

Die Divergenz des Spannungs-Energie-Tensors ist Null : ∇ μ T μ v = 0 . Somit

∇ μ ( ρ + P C − 2 ) u μ u v + ∇ μ P G μ v = 0

Erweitern des ersten Terms und Verwenden der Produktregel auf den zweiten Term ergibt

∇ μ ρ u μ u v + ∇ μ P C − 2 u μ u v + ( ∇ μ P ) G μ v + P ∇ μ G μ v = 0

Die erneute Anwendung der Produktregel auf den ersten Term liefert

( ∇ μ ρ u μ ) u v + ρ u μ ∇ μ u v + ∇ μ P C − 2 u μ u v + ( ∇ μ P ) G μ v + P ∇ μ G μ v = 0

Durch die Kontinuitätsgleichung ∇ μ ρ u μ = 0 . Somit

ρ u μ ∇ μ u v + ∇ μ P C − 2 u μ u v + ( ∇ μ P ) G μ v + P ∇ μ G μ v = 0

Die Divergenz des metrischen Tensors ist Null : ∇ μ G μ v = 0 . Somit

ρ u μ ∇ μ u v + ∇ μ P C − 2 u μ u v + ( ∇ μ P ) G μ v = 0

Schließlich verwendet man die Tensorkontraktion für die letzten Termergebnisse

ρ u μ ∇ μ u v + ∇ μ P C − 2 u μ u v + ∇ v P = 0

Wir wenden uns nun der Cauchy-Impulsgleichung in den Euler-Gleichungen zu :

0 = ρ ( ∂ ∂ T + u → ⋅ ∇ → ) u → + ∇ → P = ρ ( C ∇ 0 + u → ⋅ ∇ → ) u → + ∇ → P

Unter Verwendung der nicht-relativistischen Näherung γ ≈ 1 wir erhalten:

0 ≈ ρ ( γ C ∇ 0 + γ u → ⋅ ∇ → ) γ u → + ∇ → P = ρ u μ ∇ μ u ich + ∇ ich P

Vergleichen Sie dies mit dem Ergebnis des Spannungs-Energie-Tensors:

0 = ρ u μ ∇ μ u v + ∇ μ P C − 2 u μ u v + ∇ v P

Warum gibt es einen zusätzlichen Begriff ( ∇ μ P C − 2 u μ u v )? Verschwindet es in der nichtrelativistischen Grenze, einfach wegen der C − 2 Faktor?

Um die relativistische Grenze der Energie-Impuls-Erhaltungsgleichung zu nehmen, machen Sie die folgende Annäherung: u ich klein, u 0 ≈ 1 , ∂ λ u μ = Ö ( u ich ) ∀ μ , λ ; P = Ö ( u ich ) , und behalte nur Terme erster Ordnung in u ich . Das führt zumindest für mich zur richtigen Gleichung.

Antworten (1)

Beachten Sie, dass ∇ μ ( ρ u μ ) = 0 ist nicht korrekt (und nicht die Kontinuitätsgleichung). Denken Sie daran, dass (basierend auf Ihrer Definition des Spannungstensors) ρ die Energiedichte ist und der Energieerhaltungsstrom ist T 0 μ .

Die relativistische Euler-Gleichung (Impulserhaltung) ist

D u μ = − 1 ρ + P ∇ μ ⊥ P
Wo D = u μ ∇ μ Und ∇ μ ⊥ = ( G μ v − u μ u v ) ∇ v , was zeigt, dass die relativistische Trägheit die Enthalpiedichte ist, w = ρ + P . Im nichtrelativistischen Limes gilt u 0 ≃ 1 , D ist die mitbewegte Ableitung, w ist die Massendichte, und ∇ ich ⊥ ≃ ∇ ich . Dies führt auf die Standard-Euler-Gleichung.

Ich bin mir ziemlich sicher ∇ μ ( ρ u μ ) = 0 ist die richtige Kontinuitätsgleichung. Sie gilt in beliebigen Raumzeiten für jedes perfekte Fluid mit konservierter Ruhemassendichte ρ .
Nein. Wenn es eine konservierte Teilchenzahl gibt und wenn ρ ist die Dichte der Teilchen, und wenn u μ als Geschwindigkeit der Teilchen definiert ist (das sogenannte Eckart-System), dann wäre diese Gleichung richtig. Aber, wie aus dem Ausdruck für klar wird T μ v , ρ ist die Energiedichte.
Es muss die Energiedichte sein, sonst ist die Formel für den Spannungstensor falsch.
Terminologie scheint hier ein Problem zu sein. Siehe Abschnitt 3.2 („Stress-Energie-Tensor“) in mathreview.uwaterloo.ca/archive/voli/2/olsthoorn.pdf . Darin steht, dass beides T μ v = ( ρ + P ) u μ u v + P G μ v (vorausgesetzt ϵ = 0 ) Und ∇ μ ( ρ u μ ) = 0 , also sind beide Gleichungen richtig.
Ich denke, das ist nicht nur eine Terminologie. T μ v = ( ρ + P ) u μ u v + P G μ v Und J μ = ρ u μ kann nicht beides stimmen. Sie können überlegen ϵ = 0 (in Ihrer Notation), aber i) dem Menschen ist kein solches Fluid bekannt (endlicher Druck, aber keine innere Energie), ii) die ursprüngliche Frage ist sinnlos, weil wir uns von Anfang an in der nichtrelativistischen Grenze befinden.
Ich verstehe nicht, warum diese Gleichungen nicht beide richtig sein können. i) Genau genommen gibt es auch keine perfekte Flüssigkeit. Diese Modelle sind Annäherungen, und wir können davon ausgehen, dass die innere Energie (im Vergleich zu anderen Parametern) vernachlässigbar ist. ii) Was meinen Sie mit „wir befinden uns von Anfang an in der nicht-relativistischen Grenze“?
1) Das perfekte Fluid ist eine systematische Annäherung (Gradientenkorrekturen können beliebig klein gemacht werden, indem glatte Strömungen berücksichtigt werden, und können in der Gradientenexpansion Reihenfolge für Reihenfolge berücksichtigt werden). 2) ϵ = 0 ist keine systematische Annäherung. 3) Das einzige, was ich mir vorstellen kann, ist das ϵ = 0 entspricht der Vernachlässigung der inneren Energie im Vergleich zur Energiedichte der Ruhemasse, was für ein nichtrelativistisches Fluid sinnvoll ist. Es gibt immer noch keinen triftigen Grund zu fallen ρ ϵ , aber halten P .
Perfekte Flüssigkeits- und Cauchy-Impulsgleichung
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