Wie wirkt sich die Lorentz-Transformation auf den metrischen Tensor aus?

Sie müssen sehr vorsichtig sein. Der$\mathbf{e}_i$sind Vektoren, haben also einen Lorentz-Index:$\mathbf{e}_i^\mu.$Wenn du schreibst

Bearbeiten: In der Relativitätstheorie bezeichnen Physiker diese Objekte als Rahmen oder Vierbein . Könnte Ihnen helfen, nach anderen Ressourcen zu suchen, wenn Sie möchten.

Vibert hat natürlich vollkommen recht. Ich werde eine etwas geometrischere Version dessen vorschlagen, was er sagt. Der metrische Minkowski-Tensor ist gegeben durch:

Nun, das wissend$v = \tanh\phi$, lässt sich leicht zeigen, dass die Lorentz-Transformationen gegeben sind durch:

Bilden des Differentials, Auflösen nach$dt$Und$dx$und durch Einsetzen in das Linienelement oben finden wir:

Da wir die grundlegende trigonometrische Identität kennen$\cosh^{2} - \sinh^{2} = 1$, wir glauben, dass

und es ist klar, dass die Komponenten des metrischen Tensors gleich sind.

BEARBEITEN: um zu sehen, wie dies zur gewöhnlichen Lorentz-Transformation wird:

Den Rest kannst du dir ausrechnen

Das Transformationsgesetz für einen kovarianten Vektor$e$(wie ein Basisvektor) ist:

Für einen 2-kovarianten Tensor wie die Metriken$g$, lautet das Transformationsgesetz:

Das bedeutet einfach$g_{ij}$verwandelt sich als$e_i e_j$

Die Beziehung zwischen$e_i^\mu$und die partiellen Ableitungen ist einfach:

So,$e_i^\mu$ist die Komponente des neuen Basisvektors$e_i$, im alten Basisvektor$e_\mu$

Das Problem ergibt sich aus der euklidischen Darstellung der Orthogonalität zweier Vektoren im Minkowskischen Raum: das Skalarprodukt zweier Vektoren x,y mit Koordinaten$x_{i},y_{i}$(in 2D) wird im Sinne der Minkowski-Geometrie durch definiert$xy=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}$.

Die beiden Vektoren stehen im Sinne von Minkowski senkrecht aufeinander, wenn$xy=x_{1}y_{1}-x_{2 }y_{2}=0$, im euklidischen Sinne übersetzt diese Gleichheit die Symmetrie der Richtungen der beiden Vektoren in Bezug auf die Winkelhalbierenden der Koordinatenwinkel. Insbesondere stehen in der Minkowski-Geometrie zwei auf derselben Winkelhalbierenden liegende Vektoren senkrecht aufeinander.

Ich denke, das Diagramm könnte Sie verwirren. Dieses Diagramm zeigt nichts "schief". Der$x'$Und$ct'$Achsen sind hier im raumzeitlichen Sinne orthogonal . Auf dem Diagramm (mit standardmäßig gewählten Maßstäben) sind zwei 4-Vektoren orthogonal, wenn eine Linie, die den Winkel zwischen ihnen halbiert, 45 Grad beträgt.

Im eigenen Ruherahmen sind die x- und ct-Achse orthogonal ... x'-ct' sind orthogonal zum Beobachter, der sich mit dem grundierten Rahmen bewegt (Ruherahmen der grundierten Beobachter) ... aber für einen Rahmen den anderen Rahmen keine Orthogonalität haben ... tatsächlich Invarianz (siehe Beweisen, dass der Minkowski-Metrik-Tensor unter Lorentz-Transformationen invariant ist) des metrischen Tensors diag. (1,-1,-1,-1) ist aus der früheren Perspektive gerechtfertigt ... aus der späteren Perspektive ist es so, als ob neue Komponenten (gestrichen) des metrischen Tensors bezüglich der alten Basis gefragt werden und Sie nur den Diagonalterm verlassen. .. all dies hängt mit der Illusion des Zeichnens zusammen: Der Versuch, die 'Zeit'-Koordinate in Ihr 'Papier' zu schreiben, wo wir unbewusst ein räumliches Verhalten zur Zeit annehmen (in der speziellen Relativitätstheorie vermischt sich alles, aber nicht auf der gleichen Grundlage; siehe +; - beides metrisch): diese Idee kam mir in den Sinn, als ich schriftliche Notizen neben einer Figur von Goldstein sah (cl. mech.; entsprechendes Kapitel)