Beweis, dass der metrische Minkowski-Tensor unter Lorentz-Transformationen invariant ist

Wie Sie darauf hingewiesen haben, ist die Matrixform für die Transformationsgleichung von$\eta$Ist:

$$\eta' = \Lambda \eta \Lambda^T$$

Das kann man zeigen$\eta' = \eta$, da$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$, daran erinnernd$\eta = \eta^{-1}$:

$$\begin{align} \eta &= \Lambda^T \eta \Lambda \\ \Lambda \eta \eta &= (\Lambda \eta \Lambda^T) \eta \Lambda \\ \Lambda &=(\Lambda \eta \Lambda^T) \eta \Lambda \end{align}$$

Das bedeutet, dass$\Lambda \eta \Lambda^T = \eta$ebenso, also$\eta = \eta'$.

Alternativ können wir die Tatsache verwenden, dass$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$muss für alle Lorentztransformationen gelten$\Lambda$und wenn$\Lambda$eine Lorentz-Transformation ist, dann ist es so$\Lambda^{-1}$. Nehmen wir die Umkehrung beider Seiten:

$$\begin{align} \eta = \Lambda^{-1} \eta {(\Lambda^{-1})}^T \end{align}$$

Was aber eigentlich ist$\Lambda^{-1}$ist Semantik, da diese Gleichung für alle gilt$\Lambda$sowieso, also könnten wir genauso gut schreiben$\eta = \Lambda \eta \Lambda^T$.

Eine letzte Möglichkeit, das zu zeigen$\eta' = \eta$ist durch die Umwandlung von$\eta_{\mu \nu}$anstatt$\eta^{\mu \nu}$:

$$\begin{align} \eta'_{\mu \nu} &= \Lambda^{\alpha}{}_{\mu} \Lambda^{\beta}{}_{\nu} \eta_{\alpha \beta} \\ &= (\Lambda^T)_{\mu}{}^{\alpha} \eta_{\alpha \beta} \Lambda^{\beta}{}_{\nu} \end{align}$$

was die direkte Matrixinterpretation von hat$\eta' = \Lambda^T \eta \Lambda = \eta$. Dies kann dann auch verwendet werden, um zu zeigen, warum$\Lambda^T \eta \Lambda = \Lambda \eta \Lambda^T$.

Hier ist eine sachliche Herangehensweise an die Frage. Die Metrik$\eta$ist ein Objekt, das auf Vektorpaare wirkt$v, w$. In Matrixschreibweise können wir das schreiben als

$$\eta(v, w) = v^{T} \eta w$$ Was passiert nun, wenn wir die Transformation anwenden$\Lambda$zu diesen Vektoren? Wir bekommen: $$\eta(\Lambda v, \Lambda w) = (\Lambda v)^{T} \eta (\Lambda w) = v^{T}(\Lambda^{T} \eta \Lambda)w = v^T \eta w = \eta(v, w)$$ Daher die Verwandlung$\Lambda$bewahrt die Metrik. Tatsächlich ist es nicht schwer, sich davon zu überzeugen$\Lambda$behält die Metrik (für alle möglichen Vektorpaare) genau dann bei, wenn die Identität$\eta = \Lambda^t \eta \Lambda$hält.

Nun, in Bezug auf Ihre Ableitung vermute ich, dass das Problem irgendwo auf der ganzen Linie liegt, wenn Ihre Indexnotation niedrigere Indizes mit oberen Indizes vertauscht. Es ist also nicht verwunderlich, dass Sie am Ende transponiert werden.

Die Lorentz-Transformationen sind insbesondere Koordinatentransformationen und der metrische Tensor ist gut, ein Tensor, daher transformiert er sich als Tensor (linke Seite der folgenden Gleichung) und wir fordern, dass er die Metrik unverändert lässt (rechte Seite der Gleichung):

$$\eta_{\alpha\beta} = \Lambda^{\mu}_{\;\;\alpha} \Lambda^{\nu}_{\;\;\beta}\eta_{\mu\nu}\tag{1}\label{eq:lorentz}$$ oder die kontravariante Version der Metrik, wenn Sie so wollen $$\eta^{\alpha\beta} = \Lambda^{\alpha}_{\;\;\mu} \Lambda^{\beta}_{\;\;\nu}\eta^{\mu\nu},$$ damit gelangt man zur definierenden Eigenschaft der Lorentz-Transformationen. Die Probleme beginnen, wenn Sie versuchen, eine Matrix an den beteiligten Objekten anzubringen, daher ist die Transponierung mit Vorsicht zu genießen. Mein Vorschlag ist, bei der Tensornotation zu bleiben, um etwas geometrischer zu verstehen, was sie bedeutet. Gesucht werden Transformationen, die die Raum-Zeit-Intervalle unverändert lassen: $$\Delta s^2 = t^2 - \vec{x}\cdot\vec{x} = x^\mu\, \eta_{\mu\nu}\, x^\nu$$ Lassen Sie uns dann untersuchen, was passiert, wenn wir die Koordinaten gemäß einer Lorentz-Transformation transformieren $$x'^\mu = \Lambda^\mu_{\;\;\nu}\,x^\nu,\tag{2}\label{eq:coords}$$ durch Berechnung des Raum-Zeit-Intervalls in diesen neuen Koordinaten: $$\Delta s'^2 = x'^\mu x'_\mu = x'^\mu \eta_{\mu\nu} x'^\nu = \Lambda^\mu_{\;\;\beta}\, x^\beta\, \eta_{\mu\nu}\,\Lambda^\nu_{\;\;\alpha}\, x^\alpha = x^\beta (\Lambda^\mu_{\;\;\beta}\,\eta_{\mu\nu}\,\Lambda^\nu_{\;\;\alpha})x^\alpha$$ und jetzt mit der Definition $\eqref{eq:lorentz}$der Lorentz-Transformationen erhalten wir $$\Delta s'^2 = x^\beta \eta_{\beta\alpha}x^\alpha = \Delta s^2$$ Es entspricht also dem Intervall in den ursprünglichen Koordinaten, wie wir es wollten.

Wenn wir der Vollständigkeit halber die Konvention haben, dass Kontravariante (Index nach oben) eine Spalte bedeutet, dann können Sie die Transponierte der Koordinatentransformation erhalten/definieren$\eqref{eq:coords}$, indem Sie einen Vertrag mit der Metrik abschließen und erreichen:

$$x'_\mu = (\eta_{\mu\alpha}\Lambda^\alpha_{\;\;\beta}\eta^{\beta\nu})\,x_\nu\equiv x_\nu (\Lambda^T)_{\;\;\mu}^{\nu}$$ Damit können Sie sehen, dass Ihr Eigentum mit meiner Gleichung übereinstimmt $\eqref{eq:lorentz}$.

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Für Kinder zu Hause nicht zu empfehlen

Um zu sehen, wie dies sofort Ihre Gleichung ist, denken Sie daran, dass, wenn Sie diese Tensoren in Matrizen abbilden möchten, der erste Index als auf die Zeilen und der zweite Index auf die Spalten zu interpretieren ist (oben oder unten bedeuten dabei nichts egal, nur die Reihenfolge des Erscheinens der Indizes). Das Kontrahieren der ersten Indizes von zwei Objekten ist also äquivalent zum Kontrahieren des zweiten Index des ersten Objekts, transponiert mit dem ersten Index des zweiten Objekts (dasselbe gilt für Summen, bei denen beide Indizes der zweite Index sind).

$$(A B)^{\;\,k}_{j} = A^{j}_{\;i} B^{i k} = (A^T)^{i}_{\;j} B^{i k}$$ Beachten Sie, dass die obige Gleichung als Matrizen in Ordnung ist, jedoch die Tensorstruktur verloren geht. Ihre Gleichung verwendet diese "Matrix" -Karte der Tensoren. Wenn Sie also den metrischen Tensor schreiben, haben die Indizes eine feste Bedeutung.

$$\eta^{\alpha\beta} = \Lambda^{\alpha}_{\;\;\mu} \Lambda^{\beta}_{\;\;\nu}\eta^{\mu\nu} = (\Lambda^T)_{\mu}^{\;\;\alpha}\Lambda^{\beta}_{\;\;\nu} \eta^{\mu\nu}$$ Das bedeutet, dass Sie eine Matrix von Zeilen haben, die von indiziert sind$\alpha$und Spaltenindex nach$\beta$Der letzte Ausdruck sagt Ihnen nur, wie Sie ihn berechnen. Das heißt, wir fügen eine Zeile gegen eine Zeile hinzu. Aus diesem Grund empfehle ich nicht, alle Tensoren als Matrizen zu betrachten, ein gemischter (1,1)-Tensor hat eine solche natürliche Interpretation, ist aber ansonsten mit Vorsicht zu verwenden. Ich hoffe wirklich, Sie sehen, dass es nur darum geht, aufzuschreiben, was mit was multipliziert wird.