In welchen Teilbereichen und wie weit lässt sich die naive Grenze c→∞c→∞c\rightarrow\infty der speziellen Relativitätstheorie tragen?

Question

In welchen Teilbereichen und wie weit lässt sich die naive Grenze c→∞c→∞c\rightarrow\infty der speziellen Relativitätstheorie tragen?

Nikolaj-K

Auch wenn viele interessante Gemeinsamkeiten zwischen dem klassischen und dem quantenmechanischen Framework herausgearbeitet wurden, zB im Bereich der Deformationsquantisierung, gibt es im Allgemeinen einige mathematische Probleme. Und bei der konventionellen Formulierung will man sowas nicht machen $\hbar\rightarrow 0$ für den Ausdruck $P=-\text i\hbar\tfrac{\partial}{\partial x}$ .

In der speziellen Relativitätstheorie gibt es viele Formeln, bei denen man die nicht-relativistische Formel erhält, indem man die naive Grenze nimmt $c\rightarrow \infty$ , z.B

\vec{P} = \frac{M \vec{v}}{\sqrt{1 - | v | / C}} \to \frac{M \vec{v}}{\sqrt{1 - 0}} = M \vec{v} .

$\vec p=\frac{m\vec v}{\sqrt{1-|v|/c}}\ \rightarrow\ \frac{m\vec v}{\sqrt{1-0}}=m\vec v.$

Ich frage mich, ob Sie wissen, dass Sie das immer tun können. Gibt es eine Formulierung der speziellen Relativitätstheorie (vielleicht ist es bereits die Standardformulierung), bei der die Ausgangsannahmen / Axiome / Darstellungen von Diskursobjekten die Konstante beinhalten? $c$ , und wenn Sie sie mitnehmen, um alle Standardableitungen durchzuführen, erhalten Sie am Ende immer Ergebnisse, die sich auf die Newtonsche Mechanik reduzieren, wenn Sie diese Grenze nehmen?

DJBunk

Haben Sie ein Beispiel, wo das im üblichen Rahmen scheitert? Soweit ich das beurteilen kann, können Sie immer die nicht-relativistische Grenze nehmen, solange es angemessen ist. Das heißt, wir können bei viel niedrigeren Geschwindigkeiten als c über Geschwindigkeitsaddition sprechen, und es ist eine vernünftige Sache, darüber zu sprechen, aber es gibt keinen vernünftigen Weg, nicht-relativistisch über ein Photon zu sprechen.

Nikolaj-K

@DJBunk: Ich kenne keine Gegenbeispiele, wo es eine relativistische Theorie und klassische Überlegungen gibt und etwas Schlimmes passiert. Aber ich könnte mir solche Fälle vorstellen. ZB wann

c

$c$ steht drin

\frac{v}{c}

$\tfrac{v}{c}$ und Sie möchten die Geschwindigkeit nicht wirklich töten oder wenn es einen Term gibt, der mit multipliziert wird

\frac{1}{c^{2}}

$\tfrac{1}{c^2}$ in den Maxwell-Gleichungen und wenn Sie nur die Grenze nehmen, dann verschwindet der Term zusammen mit einer Funktion, deren Existenz Sie benötigen, wenn Sie sie nicht-relativistisch modellieren. Bei klassischen Betrachtungen werden schließlich elektrische Kräfte verwendet. Vielleicht sind diese immer dadurch zu retten

c \frac{1}{c} = 1

$c\tfrac{1}{c}=1$ usw.

Ron Maimon

@NickKidman: Warte, was ist falsch an deinem letzten Beispiel? Das Weggehen von Ableitungstermen ist genauso wie hbar auf Null. Ich habe es gerade als Antwort gepostet, aber anscheinend haben Sie dies in Betracht gezogen und es abgelehnt.

Nikolaj-K

@RonMaimon: Ja, ich denke, ich habe es "abgelehnt", indem ich sagte, wenn Sie diese Zeitableitung des E-Feld-Terms haben, dann befinden Sie sich nicht in der Elektrostatik (Ihre Laplace-Gleichung), sondern in einer Theorie mit sich ausbreitenden Wellen und das ist kein Modell der klassischen nichtrelativistischen Physik. Ich habe es grundsätzlich als ein Phänomen akzeptiert, das nicht einmal in der Newtonschen Physik vorkommt und daher nicht berücksichtigt werden muss. Der

ℏ

$\hbar$ Das Problem ist insofern schwerwiegender, als Sie zwar keine Wellen brauchen, aber Schwung in allen klassischen Modellen.

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In welchen Teilbereichen und wie weit lässt sich die naive Grenze c→∞c→∞c\rightarrow\infty der speziellen Relativitätstheorie tragen?

Haben Sie ein Beispiel, wo das im üblichen Rahmen scheitert? Soweit ich das beurteilen kann, können Sie immer die nicht-relativistische Grenze nehmen, solange es angemessen ist. Das heißt, wir können bei viel niedrigeren Geschwindigkeiten als c über Geschwindigkeitsaddition sprechen, und es ist eine vernünftige Sache, darüber zu sprechen, aber es gibt keinen vernünftigen Weg, nicht-relativistisch über ein Photon zu sprechen.
@DJBunk: Ich kenne keine Gegenbeispiele, wo es eine relativistische Theorie und klassische Überlegungen gibt und etwas Schlimmes passiert. Aber ich könnte mir solche Fälle vorstellen. ZB wann $c$ steht drin $\tfrac{v}{c}$ und Sie möchten die Geschwindigkeit nicht wirklich töten oder wenn es einen Term gibt, der mit multipliziert wird $\tfrac{1}{c^2}$ in den Maxwell-Gleichungen und wenn Sie nur die Grenze nehmen, dann verschwindet der Term zusammen mit einer Funktion, deren Existenz Sie benötigen, wenn Sie sie nicht-relativistisch modellieren. Bei klassischen Betrachtungen werden schließlich elektrische Kräfte verwendet. Vielleicht sind diese immer dadurch zu retten $c\tfrac{1}{c}=1$ usw.
@NickKidman: Warte, was ist falsch an deinem letzten Beispiel? Das Weggehen von Ableitungstermen ist genauso wie hbar auf Null. Ich habe es gerade als Antwort gepostet, aber anscheinend haben Sie dies in Betracht gezogen und es abgelehnt.
@RonMaimon: Ja, ich denke, ich habe es "abgelehnt", indem ich sagte, wenn Sie diese Zeitableitung des E-Feld-Terms haben, dann befinden Sie sich nicht in der Elektrostatik (Ihre Laplace-Gleichung), sondern in einer Theorie mit sich ausbreitenden Wellen und das ist kein Modell der klassischen nichtrelativistischen Physik. Ich habe es grundsätzlich als ein Phänomen akzeptiert, das nicht einmal in der Newtonschen Physik vorkommt und daher nicht berücksichtigt werden muss. Der $\hbar$ Das Problem ist insofern schwerwiegender, als Sie zwar keine Wellen brauchen, aber Schwung in allen klassischen Modellen.

Diego Mazon · Answer 1

Das Problem entsteht, wenn man naiv die Grenze eines Ausdrucks als Konstante nimmt , wie z $c$ oder $\hbar$ , geht auf einen Wert (oder unendlich). Was diese Grenzen physikalisch bedeuten, ist, dass ein dimensionsloses Verhältnis zwischen einer charakteristischen Größe und dieser Konstante einen bestimmten Wert (oder unendlich) erreicht.

Spezielle Relativität

Der sogenannte nicht-relativistische Grenzwert (der Name ist schrecklich, weil die Galileische Physik so relativistisch ist wie die spezielle Relativitätstheorie) der speziellen Relativitätstheorie besteht darin, den Grenzwert als das Verhältnis zu nehmen $v/c$ oder $p/(mc)$ geht auf Null, mit $c$ Fest. Als $c$ nur durch diese Verhältnisse sehr oft auftaucht, ist es formal gleichbedeutend mit der Grenze $c$ bis unendlich gehen (in diesen Fällen wo $c$ erscheint nur durch diese Quotienten). Es gibt jedoch Fälle, bei denen es beispielsweise um Feldtheorien geht, wo man den Ausdruck ein wenig ausarbeiten muss, um diese Verhältnisse zu finden. (Übrigens ist auch die Carroll-Kinematik durch den Grenzwert gekennzeichnet $v/c \rightarrow 0$ , aber in diesem Fall $c$ selbst geht zusätzlich auf Null (als $\sqrt v$ ), etwas mit wenig physikalischer Bedeutung, soweit ich weiß).

Quantenmechanik

Die klassische Grenze ist häufig schwieriger, da es schwieriger ist, charakteristische Größen mit Dimensionen von zu identifizieren $\hbar$ . In einigen Fällen ist es jedoch ziemlich klar. Zum Beispiel in der Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik der dimensionslose Exponent $S/\hbar$ den klassischen Grenzwert bestimmen. Wenn dieser Quotient gegen unendlich geht (oder formal wann $\hbar$ gegen Null geht) heben sich alle Pfadbeiträge außer demjenigen auf, der minimiert wird $S$ , der klassische Weg. Ähnliches passiert bei der Sommerfeld-Quantisierung für große Quantenzahlen. Obwohl das Problem das gleiche ist wie in der speziellen Relativitätstheorie, gibt es weniger Ausdrücke, die einfache dimensionslose Verhältnisse beinhalten, und dies macht die klassische Grenze schwieriger als die nicht-relativistische Grenze. Und tatsächlich kann man in zig guten Büchern und Artikeln falsche Dinge lesen, wie die Identifizierung der klassischen Grenze mit dem Beitrag auf Baumebene (nullte Ordnung in der Störungstheorie), was nicht in allen Fällen zutrifft (obwohl es richtig ist meiste Fälle).

es ist formal äquivalent zum Grenzwert c, der ins Unendliche geht. Wenn es formal äquivalent ist, was bringt es dann, sich Gedanken darüber zu machen, wie wir es machen?
Wann muss man aufpassen $c$ erscheint nicht direkt durch diese dimensionslosen Verhältnisse. Zum Beispiel in der Larmor-Formel oder in der massiven Klein-Gordon-Gleichung. @BenCrowell
Können Sie ein Beispiel dafür geben, wie Ihre Argumentation auf die Larmor-Formel zutrifft? Tut mir leid, aber ich verstehe deinen Punkt immer noch nicht.
Die Larmor-Formel ist bereits nicht-relativistisch. Ebenso, wenn Sie die naive Grenze nehmen $c\rightarrow \infty$ In der massiven Klein-Gordon-Gleichung erhalten Sie den Schr nicht. Gleichung. Hilft das?
Interessante Punkte - vielleicht könnten Sie sie in Ihre Antwort integrieren? Ich kann Ihrer Logik immer noch nicht folgen.
@BenCrowell Die Logik ist folgende: Das OP sagt richtig, dass Sie das klassische Limit nicht bekommen $\hbar$ auf Null gehen $P=-i\hbar\partial _x$ während in der speziellen Relativitätstheorie die nicht-relativistische Grenze (häufig) erhalten wird $c$ ins Unendliche gehen. Mein Punkt ist, dass dies auf die Tatsache zurückzuführen ist, dass die oben genannten dimensionslosen Verhältnisse in der Relativitätstheorie häufiger vorkommen als in der Quantenmechanik. Das Pfadintegral in der Quantenmechanik (dimensionsloses Verhältnis) und die massiven Klein-Gordon-Gleichungen (Fehlen des dimensionslosen Verhältnisses) sind "Ausnahmen" (es gibt viele). Das ist alles.

Ron Maimon · Answer 2

Angenommen, ich habe ein Skalarfeld. Die Gleichung für die Feldentwicklung lautet

\frac{1}{C^{2}} \partial_{T}^{2} ϕ - \nabla^{2} ϕ = 0

${1\over c^2} \partial_t^2 \phi -\nabla^2\phi =0$

Also das Problem mit dem Nehmen des Limits $c\rightarrow\infty$ ist genau das gleiche wie nehmen $\hbar$ auf Null in der Quantenmechanik, ein abgeleiteter Term verschwindet.

Der Grund, den Sie denken $\hbar\rightarrow 0$ irgendwie schwieriger ist, liegt an der Abstraktheit des Quantenformalismus. Wenn Sie umschreiben $p=\hbar {\partial\over\partial x}$ als $p={h\over \lambda}$ (dasselbe gilt für ebene Wellen), das kleine $\hbar$ Grenze wird offensichtlicher --- die Wellenlänge geht auf Null, wobei p fest gehalten wird, so dass die Beugungseffekte verschwinden.

Ich denke, das ist tatsächlich ein Beispiel, wo $c\rightarrow\infty$ gibt die richtige Antwort. Die angegebene Wellengleichung gilt für ein masseloses Skalarfeld (nicht irgendein Skalarfeld). In der nichtrelativistischen Grenze erwarten wir nicht, dass wir Wellenstörungen von masselosen Feldern sehen können, also sollten nur statische Felder existieren. Dies wurde explizit für den Elektromagnetismus in dem Artikel von le Bellac entwickelt, auf den in meiner Antwort verwiesen wird.
@BenCrowell: Ich stimme zu, ich habe damit argumentiert, dass hbar auf Null ebenfalls nicht problematisch ist.
OK das passt. Ich kann meine Ablehnung nicht entfernen, es sei denn, Sie ändern Ihre Antwort. Wenn Sie eine Bearbeitung vornehmen möchten, um Ihre Interpretation zu verdeutlichen, würde dies funktionieren.

Benutzer4552 · Answer 3

Gute Frage!

Es gibt eine verrückte Grenze namens Carroll-Kinematik, die 1965 in Levy-Leblond eingeführt wurde. Baccetti 2011 ist ein frei verfügbares Papier, das sie beschreibt.

Es gibt zwei verschiedene Galileische Grenzen des Elektromagnetismus (Le Bellac 1973). Siehe de Montigny 2005 für eine Beschreibung.

Da die Galileische Grenze oft nicht eindeutig ist, sollte es ziemlich klar sein, dass wir sie nicht in allen Fällen einfach durch Nehmen erhalten können $c\rightarrow\infty$ .

Eine andere Möglichkeit, um zu sehen, dass dieser Ansatz auf Probleme stößt, ist die in $c\rightarrow\infty$ Grenze, wird die Metrik entartet. Die gesamte Standardmaschinerie der Relativitätstheorie, z. B. die Fähigkeit, Indizes zu erhöhen und zu verringern, basiert auf der Annahme, dass die Metrik nicht entartet ist.

Baccetti, Tate und Visser, 2011, „Inertial Frames without the Relativity Principle“, http://arxiv.org/abs/1112.1466

Le Bellac M und Levy-Leblond JM 1973, „Galilean electromagnetism“, Nuov. Cim. B 14 217-233

Levy-Leblond, „Une nouvelle limite non-relativiste du group de Poincaré“, Ann. Inst. Henri Poincaré 3 (1965)

Marc De Montigny, Germain Rousseaux, 2005, „Zur Elektrodynamik sich bewegender Körper bei niedrigen Geschwindigkeiten“, http://arxiv.org/abs/physics/0512200

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